2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)超幾何分布及其應(yīng)用試題一、選擇題（每題5分，共30分）下列隨機變量中，服從超幾何分布的是（）A.將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數(shù)為XB.從7男3女共10名學(xué)生干部中隨機選出5名，記選出女生的人數(shù)為XC.某射手的射擊命中率為0.8，現(xiàn)對目標(biāo)射擊1次，記命中的次數(shù)為XD.盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1個球且不放回，記第一次摸出黑球時摸取的次數(shù)為X解析：超幾何分布的特征是“不放回抽樣”且總體由兩類元素組成。選項B符合：總體10人（7男3女），抽取5人，符合超幾何分布定義；A為二項分布，C為兩點分布，D為幾何分布。答案：B從5件正品和3件次品共8件產(chǎn)品中任取2件，記取出次品數(shù)為X，則P(X=1)=（）A.15/28B.13/28C.11/28D.9/28解析：X~H(N=8,n=2,M=3)，則P(X=1)=C(3,1)C(5,1)/C(8,2)=(3×5)/28=15/28。答案：A某班有12名學(xué)生干部，其中5名“三好學(xué)生”，現(xiàn)從中選6人參加競賽，設(shè)X為這6人中“三好學(xué)生”的人數(shù)，則P(X=2)=（）A.C(5,2)C(7,4)/C(12,6)B.C(5,2)C(7,2)/C(12,6)C.C(5,2)/C(12,6)D.C(7,4)/C(12,6)解析：總體12人（5名三好學(xué)生+7名非三好學(xué)生），抽取6人，X=2表示選2名三好學(xué)生和4名非三好學(xué)生。答案：A袋中有8個紅球和4個白球，從中不放回地取3個球，設(shè)取到紅球數(shù)為X，則X的可能取值個數(shù)是（）A.3B.4C.5D.6解析：X的最小值為max(0,3-4)=0，最大值為min(3,8)=3，故X=0,1,2,3，共4個取值。答案：B若X~H(10,4,5)，則P(X=2)=（）A.10/21B.15/21C.20/21D.25/21解析：直接套用公式：P(X=2)=C(5,2)C(5,2)/C(10,4)=(10×10)/210=100/210=10/21。答案：A從10件產(chǎn)品（7正品3次品）中任取3件，記次品數(shù)為X，則E(X)=（）A.0.7B.0.8C.0.9D.1.0解析：超幾何分布的期望公式E(X)=nM/N=3×3/10=0.9。答案：C二、填空題（每題5分，共30分）下列隨機變量中服從超幾何分布的序號是________。①從10件產(chǎn)品中有3件次品，不放回取4次，記次品數(shù)為X；②從3臺甲型和2臺乙型電視機中任取2臺，記甲型臺數(shù)為X；③學(xué)生騎自行車上學(xué)，途中6個交通崗遇到的紅燈數(shù)為X。解析：①②滿足“不放回抽樣+兩類元素”，③為獨立重復(fù)試驗（二項分布）。答案：①②袋中有7個球（4紅3黃），隨機摸4球，紅色球與黃色球個數(shù)相等的概率為________。解析：“個數(shù)相等”即2紅2黃，概率為C(4,2)C(3,2)/C(7,4)=(6×3)/35=18/35。答案：18/3512人的興趣小組中有5名三好學(xué)生，選6人參加競賽，X表示6人中三好學(xué)生人數(shù)，則X的分布列中k=3對應(yīng)的概率表達式為________。答案：C(5,3)C(7,3)/C(12,6)某魚塘有100條魚，其中草魚30條，現(xiàn)捕20條，設(shè)草魚數(shù)為X，則X~H(____,____,____)。解析：總體N=100，樣本量n=20，特殊元素M=30。答案：100,20,30從5男3女中選4人，記女生數(shù)為X，則P(X≥2)=________。解析：X~H(8,4,3)，P(X≥2)=P(2)+P(3)=[C(3,2)C(5,2)+C(3,3)C(5,1)]/C(8,4)=[(3×10)+(1×5)]/70=35/70=1/2。答案：1/2超幾何分布X~H(N,n,M)中，若N=1000，n=50，M=100，則X近似服從二項分布B(____,____)。解析：當(dāng)N很大時，超幾何分布近似二項分布B(n,p)，其中p=M/N=0.1。答案：50,0.1三、解答題（共40分）（10分）某班有6名男生和4名女生，從中任選3人參加演講比賽。（1）求所選3人中女生人數(shù)X的分布列；（2）求“至少有1名女生”的概率。解答：（1）X~H(10,3,4)，X可取0,1,2,3。P(X=0)=C(4,0)C(6,3)/C(10,3)=20/120=1/6；P(X=1)=C(4,1)C(6,2)/120=60/120=1/2；P(X=2)=C(4,2)C(6,1)/120=36/120=3/10；P(X=3)=C(4,3)C(6,0)/120=4/120=1/30。分布列為：|X|0|1|2|3||----|----|----|----|----||P|1/6|1/2|3/10|1/30|（2）P(X≥1)=1-P(X=0)=1-1/6=5/6。（12分）某工廠生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中，有2件不合格品，現(xiàn)從中不放回地抽取4件。（1）求取出不合格品數(shù)Y的分布列；（2）求Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)和方差D(Y)。解答：（1）Y~H(10,4,2)，Y=0,1,2。P(Y=0)=C(2,0)C(8,4)/C(10,4)=70/210=1/3；P(Y=1)=C(2,1)C(8,3)/210=112/210=8/15；P(Y=2)=C(2,2)C(8,2)/210=28/210=2/15。（2）E(Y)=nM/N=4×2/10=0.8；D(Y)=nM/N·(1-M/N)·(N-n)/(N-1)=0.8×0.8×6/9=0.4267。（18分）某超市有15瓶飲料，其中5瓶已過保質(zhì)期?，F(xiàn)從中隨機抽取4瓶進行檢查。（1）求恰有2瓶過期的概率；（2）若抽到過期飲料≥2瓶則整箱下架，求該箱飲料下架的概率；（3）若每瓶飲料售價10元，過期飲料需賠償20元，求超市銷售這4瓶飲料的期望利潤。解答：（1）設(shè)過期飲料數(shù)為Z~H(15,4,5)，P(Z=2)=C(5,2)C(10,2)/C(15,4)=(10×45)/1365=450/1365=30/91≈0.3297。（2）P(Z≥2)=P(2)+P(3)+P(4)=[C(5,2)C(10,2)+C(5,3)C(10,1)+C(5,4)C(10,0)]/1365=(450+100+5)/1365=555/1365=37/91≈0.4066。（3）設(shè)利潤為L元，L=10×4-20Z=40-20Z，E(L)=40-20E(Z)=40-20×(4×5/15)=40-20×(4/3)=40-80/3=40/3≈13.33元。四、附加題（20分）某中學(xué)從8名教師（5男3女）中選派4人參加支教。（1）求女教師人數(shù)X的分布列；（2）若至少有2名女教師，則不同的選派方案有多少種？（3）記“選派女教師人數(shù)多于男教師”為事件A，求P(A)。解答：（1）X~H(8,4,3)，X=0,1,2,3。P(X=0)=C(3,0)C(5,4)/C(8,4)=5/70=1/14；P(X=1)=C(3,1)C(5,3)/70=30/70=3/7；P(X=2)=C(3,2)C(5,2)/70=30/70=3/7；P(X=3)=C(3,3)C(5,1)/70=5/70=1/14。（2）方案數(shù)=C(3,2)C(5,2)+C(3,3)C(5,1)=30+5=35種。（3）“女教師多于男教師”即X≥3（4人中有3女1男），P(A)=P