1/5拓展專(zhuān)題02巧用柯西不等式、權(quán)方和不等式、不等式鏈求最值考點(diǎn)01利用柯西不等式求最值(共8小題) 1考點(diǎn)02利用權(quán)方和不等式求最值（共6小題） 3考點(diǎn)03利用不等式鏈求最值（共9小題） 4【知識(shí)點(diǎn)綜述】1．柯西不等式（Cauchy不等式）（拓展）（1）二元柯西不等式：對(duì)于任意的，都有．（2）元柯西不等式：，取等條件：或（）．2．權(quán)方和不等式（1）二維形式的權(quán)方和不等式對(duì)于任意的，都有．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．（2）一般形式的權(quán)方和不等式若，，，則，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．3.基本不等式鏈,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.其中分別為平方平均數(shù),算術(shù)平均數(shù),幾何平均數(shù),調(diào)和平均數(shù).可利用上述不等式鏈在各平均數(shù)間進(jìn)行放縮、轉(zhuǎn)化.考點(diǎn)01利用柯西不等式求最值(共8小題)1．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）柯西不等式的三元形式如下：對(duì)實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，已知，請(qǐng)你用柯西不等式，求出的最大值是（）A．14 B．12 C．10 D．82．（2024·北京朝陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．3．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，都在區(qū)間內(nèi)，且，則函數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．4．（22-23高二上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）若）（n為偶數(shù)），則的最小值為（

）A．25 B．8 C． D．5．（23-24高三上·山東青島·期中）柯西不等式（Caulhy-SchwarzLnequality）是法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西與德國(guó)數(shù)學(xué)家施瓦茨分別獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的，它在數(shù)學(xué)分析中有廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)給出一個(gè)二維柯西不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.根據(jù)柯西不等式可以得知函數(shù)的最大值為（

）A． B． C．12 D．206．（多選）（24-25高一上·江西景德鎮(zhèn)·期中）柯西不等式（Cauchy-SchwarzInequality）是一種在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中廣泛使用的不等式，它是由法國(guó)數(shù)學(xué)家?jiàn)W古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于證明其他不等式，也可以用于解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題.以下是柯西不等式的原始形式：①對(duì)于所有實(shí)數(shù)和，有.②等式條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.例：已知，由柯西不等式，可得.運(yùn)用柯西不等式，判斷以下正確的選項(xiàng)有（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則7．（多選）（24-25高一上·新疆·期中）已知，，且不等式恒成立，則的取值可能是（

）A． B． C． D．8.（多選）（2023·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．.C．的最大值為 D．考點(diǎn)02利用權(quán)方和不等式求最值（共6小題）9．（24-25高一下·四川宜賓·期末）權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個(gè)變化，在求二元變量最值時(shí)有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)a，b，x，y>0，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，函數(shù)的最小值為（

）A．16 B．25 C．36 D．4910．（24-25高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個(gè)變化，在求二元變量最值時(shí)有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)正數(shù)a，b，x，y，滿(mǎn)足，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．則函數(shù)的最小值為（

）A．16 B．25 C．36 D．4911．（24-25高一下·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個(gè)變化，在求二元變量最值時(shí)有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)，，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.根據(jù)權(quán)方和不等式，函數(shù)的最小值為（

）A．39 B．52 C．49 D．3612．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x、y、z的和為1，則的最小值為．13．（24-25高一上·江蘇無(wú)錫·期中）權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個(gè)變化，在求二元變量最值時(shí)有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)正數(shù)a，b，x，y，滿(mǎn)足，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則函數(shù)的最小值為．14．（24-25高一上·河北·期中）若，，，則不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.這個(gè)不等式叫做權(quán)方和不等式，稱(chēng)為該不等式的權(quán)，它的特點(diǎn)是分子的冪指數(shù)比分母的冪指數(shù)高1次.權(quán)方和不等式是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的不等式.(1)若，證明二維形式的權(quán)方和不等式：.(2)已知，，求的最小值.(3)某同學(xué)運(yùn)用權(quán)方和不等式解決下列問(wèn)題，指出這種解法是否正確，并說(shuō)明理由.已知正數(shù)，滿(mǎn)足，求的最大值.解：由權(quán)方和不等式得，所以的最大值是5.考點(diǎn)03利用不等式鏈求最值（共9小題）15．（多選）已知正數(shù)滿(mǎn)足，則（）A． B．C． D．16．（多選）若x，y滿(mǎn)足，則（）A． B．C． D．17．（多選）若，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．18．（多選）設(shè)a＞0，b＞0，則下列不等式中一定成立的是（）A.a＋b＋1ab≥22 B.2abaC.a2＋b2ab≥a＋b D.（a＋b19.（多選）已知且，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．的最大值是 B．的最大值是C．的最小值是 D．的最小值是20．若，，且，則下列不等式不恒成立的是（

）A． B．C． D．21．（多選）