2/37專題03玩轉抽象函數(shù)問題的八大題型題型一：抽象函數(shù)的定義域 4題型二：抽象函數(shù)求值 4題型三：抽象函數(shù)的值域 5題型四：抽象函數(shù)的解析式 6題型五：抽象函數(shù)的單調(diào)性 7題型六：抽象函數(shù)的奇偶性 8題型七：抽象函數(shù)的對稱性 10題型八：抽象函數(shù)的周期性（拓展） 12【知識點綜述】1.抽象函數(shù)的概念所謂抽象函數(shù)是指用函數(shù)符號（如表示），卻沒有給出具體解析式的函數(shù).2.周期函數(shù)（拓展）(1)定義：設函數(shù)的定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對于任意，都有恒成立，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，非零常數(shù)T稱為這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期：若函數(shù)存在周期，則它有無數(shù)個周期，所有周期的絕對值中最小的那個正數(shù)（如果存在），叫做這個函數(shù)的最小正周期.3．抽象函數(shù)的性質(1)定義域：求抽象函數(shù)的定義域問題，關鍵是注意對應法則.在同一對應法則的作用下，不論接受法則的對象是什么字母或代數(shù)式，其制約條件是一致的，都在同一取值范圍內(nèi).=1\*GB3①若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數(shù)f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出．=2\*GB3②若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域．(2)周期性（拓展）；；；（為常數(shù)）；(3)對稱性：對稱軸：或者關于對稱；對稱中心：或者關于對稱；特別地，如果同時關于對稱，又關于對稱，則的周期4.單調(diào)性與對稱性（或奇偶性）結合解不等式問題(1)在上是奇函數(shù)，且單調(diào)遞增若解不等式，則有；在上是奇函數(shù)，且單調(diào)遞減若解不等式，則有；(2)在上是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增若解不等式，則有（不變號加絕對值）；在上是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減若解不等式，則有（變號加絕對值）；(3)關于對稱，且單調(diào)遞增若解不等式，則有；關于對稱，且單調(diào)遞減若解不等式，則有；(4)關于對稱，且在單調(diào)遞增若解不等式，則有（不變號加絕對值）；關于對稱，且在單調(diào)遞減若解不等式，則有（不變號加絕對值）；5.抽象函數(shù)的模型（1）正比例函數(shù)模型：，對應：；(2)反比例函數(shù)模型：,對應:.(3)一次函數(shù)模型:模型1：若，則；模型2：若，則為奇函數(shù)；模型3：若則；模型4：若則；(4)二次函數(shù)模型：，對應：；(5)三次函數(shù)模型：，對應：(6)冪函數(shù)模型：模型1：,對應：；模型2：，對應：.(7)指數(shù)函數(shù)模型（供提前了解，詳見必修第一冊第三章）:模型1：,對應：（其中）；模型2：，對應：（其中）；模型3：，對應：；模型4：，對應：.(8)對數(shù)函數(shù)模型（供提前了解，詳見必修第一冊第四章）：模型1：，對應：；模型2：，對應：;模型3：，對應：；模型4：,對應：，則模型5：，對應：.(9)正弦函數(shù)模型供提前了解，詳見必修第一冊第四章）：：，對應：，來源于；（10）余弦函數(shù)模型（供提前了解，詳見必修第二冊第一章）：模型1：,對應：，則模型2：，對應：；模型3：，對應：.（11）正切函數(shù)模型（供提前了解，詳見必修第二冊第一章）：,對應：.題型一：抽象函數(shù)的定義域若y＝f(x)的定義域為(a，b)，則解不等式a＜g(x)＜b即可求出y＝f(g(x))的定義域；若y＝f(g(x))的定義域為(a，b)，則求出g(x)在(a，b)上的值域即得y＝f(x)的定義域．1．（24-25高一上·山東濟寧·階段練習）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二下·吉林·期末）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．3．（24-25高二上·廣東陽江·階段練習）函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．4．（24-25高一上·遼寧鞍山·階段練習）已知的定義域為，則的定義域為（

）A． B． C． D．5．（24-25高一上·江西贛州·期末）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為.6．（2025高三·全國·專題練習）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為．題型二：抽象函數(shù)求值一般采用賦值法，0,1，x,-x是常見的賦值手段.7．（24-25高三上·福建泉州·階段練習）若對任意的，函數(shù)滿足，則（

）A．6 B．4 C．2 D．08．（24-25高三上·廣東深圳·期中）已知函數(shù)的定義域為，，，都有，且，則（

）A． B． C． D．9．（24-25高三上·廣東江門·階段練習）函數(shù)滿足對任意的實數(shù)，，均有，且，則（

）A．1014 B．1012 C．2024 D．202510．（2025·廣東深圳·模擬預測）已知函數(shù)滿足：，，，若，則（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．202511．（2025·安徽·模擬預測）已知函數(shù)滿足，則以下結論錯誤的是（

）A． B． C． D．12．（2025·浙江紹興·三模）已知定義在R上的函數(shù)滿足且，則．13．（2025·重慶·模擬預測）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則.題型三：抽象函數(shù)的值域求解方法有二：一是借助函數(shù)圖象的變換求解，如函數(shù)圖象左右平移，其值域不變；函數(shù)圖象上下平移，其值域也相應平移相同個單位；二是利用賦值法求解.14．（24-25高三下·湖南長沙·階段練習）已知函數(shù)的定義域和值域分別為和，則函數(shù)的定義域和值域分別為（

）A．和 B．和C．和 D．和15．(多選)（24-25高一上·廣東廣州·階段練習）已知函數(shù)的定義域為，值域為，則下列函數(shù)的值域也為的是（

）A． B．C． D．16．（2025高三·全國·專題練習）已知函數(shù)的定義域為，值域為，則函數(shù)的值域為.17．（24-25高二下·浙江麗水·期末）已知定義在上的函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是.18．（24-25高三下·重慶·階段練習）已知滿足，且，則的值域為19．（2025·山東聊城·模擬預測）已知偶函數(shù)的定義域為，且，則的值域為.題型四：抽象函數(shù)的解析式主要方法有二：一是方程法，即構造關于函數(shù)(如)的方程（組），通過解方程（組）即得所求函數(shù)（如）的解析式；二是模型法，即結合所給條件確定相應函數(shù)的模型，再求出其待定系數(shù)，即得函數(shù)的解析式.20．（24-25高一上·廣東·期中）的定義域為，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．21．（24-25高三上·安徽合肥·期中）已知函數(shù)對任意滿足，則.22．（2025高三·全國·專題練習）已知函數(shù)的定義域為，且滿足，，若，則函數(shù)的解析式為.23．（2025高三上·全國·專題練習）已知函數(shù)具有下列性質：①，，；②，，當時，，則函數(shù)可能的一個解析式為．24．（24-25高二下·浙江·期末）定義在上的函數(shù)滿足且是一個增函數(shù)，請寫出滿足條件的一個函數(shù).（寫出一個即可）25．（2025·重慶·模擬預測）設定義域為R的函數(shù)滿足：，都有且（a為常數(shù)），則函數(shù)．26．（2025高三·全國·專題練習）函數(shù)滿足，，且，則.題型五：抽象函數(shù)的單調(diào)性(1)若給出的是“和型”抽象函數(shù)…，判斷符號時要比要變形為，或變形為。(2)若給出的是“積型”抽象函數(shù)…，判斷符號時要比要變形為，或變形為.27．（23-24高二下·四川南充·階段練習）已知fx是定義在R上的函數(shù)，且對任意實數(shù)，.(1)若，求，的值.(2)若x>0時恒有，試判斷函數(shù)fx單調(diào)性，并說明理由.28．（24-25高一下·貴州六盤水·期中）已知函數(shù)的定義域為，對任意，都滿足，且.當時，，且.(1)求，的值；(2)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明在上單調(diào)遞增；(3)若對任意的，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.29．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函數(shù)的定義域為，對任意正實數(shù)，都有，且當時，．(1)求的值；(2)試判斷的單調(diào)性，并證明；(3)若，求的取值范圍．題型六：抽象函數(shù)的奇偶性判斷抽象函數(shù)奇偶性的步驟：(1)驗證定義域的對稱性；(2)應用賦值法構造關于和的關系。(3)處理非標準自變量形式：若條件中出現(xiàn)如為奇函數(shù)的描述，需注意自變量替換規(guī)則：奇函數(shù)定義應改寫為.30.湖北省武漢市問津教育聯(lián)合體2024-2025學年高三上學期12月月考數(shù)學試題）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增．若，則實數(shù)x的取值范圍是（

）A． B． C． D．31．（24-25高三上·福建泉州·期中）已知函數(shù)，則滿足的實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．32．（23-24高三上·浙江杭州·期末）若定義在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的x的取值范圍是（）A． B．C． D．33．（24-25高三上·河北邢臺·期末）已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且為奇函數(shù)，對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．34．（2025高二下·山東青島·競賽）已知是定義在上不恒為的函數(shù)，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．35.（2025·江蘇·二模）已知函數(shù)和的定義域均為.若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．36．（多選）（24-25高三下·重慶·階段練習）已知定義域為R的函數(shù)不是常值函數(shù)，當時，，而且對任意的有，則下列說法正確的有（

）A．B．若，則C．在單調(diào)遞減D．若，則不等式的解集為37．（23-24高一下·河北保定·階段練習）已知定義在上的函數(shù)滿足：．(1)判斷的奇偶性并證明；(2)若，求；(3)若，判斷并證明的單調(diào)性．38．（23-24高一上·山東·階段練習）已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，，且．(1)求；(2)判斷的奇偶性，并說明理由；(3)判斷在上的單調(diào)性，并說明理由．題型七：抽象函數(shù)的對稱性1.對稱性：對稱軸：或者關于對稱；對稱中心：或者關于對稱；2.如果同時關于對稱，又關于對稱，則的周期3．單調(diào)性與對稱性（或奇偶性）結合解不等式問題①在上是奇函數(shù)，且單調(diào)遞增若解不等式，則有；在上是奇函數(shù)，且單調(diào)遞減若解不等式，則有；②在上是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增若解不等式，則有（不變號加絕對值）；在上是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減若解不等式，則有（變號加絕對值）.③關于對稱，且單調(diào)遞增若解不等式，則有；關于對稱，且單調(diào)遞減若解不等式，則有；④關于對稱，且在單調(diào)遞增若解不等式，則有（不變號加絕對值）；關于對稱，且在單調(diào)遞減若解不等式，則有（不變號加絕對值）；39．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)．則（

）A．2000 B．1999 C．4000 D．399940．（2025高三·全國·專題練習）若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖像關于對稱．41．（2025高三·全國·專題練習）已知定義在上的函數(shù)滿足．若方程有5個根，則這5個根之和為．42．（2026高三·全國·專題練習）已知函數(shù)是奇函數(shù)，若函數(shù)與圖象的交點分別為，則交點的所有橫坐標和縱坐標之和為.43．（24-25高二下·山東青島·期末）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，設函數(shù)的最大值為，最小值為，則.44．（24-25高二下·廣東云浮·期末）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當，且時，都有成立，則不等式的解集為．45．（24-25高二下·山東臨沂·階段練習）已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，若函數(shù)為偶函數(shù)，且，則不等式的解集為題型八：抽象函數(shù)的周期性（拓展）巧妙賦值，從而得到函數(shù)的周期，再借助函數(shù)的周期求值.46．（2025·湖北十堰·三模）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則（

）A． B．0 C．1 D．247.(多選)（24-25高