2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)試題一、單選題（共8小題）已知函數(shù)$f(x)$的導(dǎo)函數(shù)$f'(x)$的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)$f(x)$的增區(qū)間是$(-\infty,-2)$，$(2,+\infty)$B.函數(shù)$f(x)$的減區(qū)間是$(-\infty,-2)$，$(2,+\infty)$C.$x=-2$是函數(shù)的極小值點(diǎn)D.$x=2$是函數(shù)的極小值點(diǎn)解析：由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，當(dāng)$x<-2$時(shí)，$f'(x)>0$；當(dāng)$-2<x<2$時(shí)，$f'(x)<0$；當(dāng)$x>2$時(shí)，$f'(x)>0$。根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，當(dāng)$f'(x)>0$時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)$f'(x)<0$時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減。因此函數(shù)$f(x)$在$(-\infty,-2)$和$(2,+\infty)$上單調(diào)遞增，在$(-2,2)$上單調(diào)遞減。$x=-2$處導(dǎo)數(shù)由正變負(fù)，是極大值點(diǎn)；$x=2$處導(dǎo)數(shù)由負(fù)變正，是極小值點(diǎn)。故正確答案為D。函數(shù)$f(x)=\frac{1}{3}x^3-3x+1$的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.$(-\infty,-1)$B.$(1,+\infty)$C.$(-1,1)$D.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$解析：首先求導(dǎo)得$f'(x)=x^2-3$，令$f'(x)<0$，即$x^2-3<0$，解得$-\sqrt{3}<x<\sqrt{3}$。但選項(xiàng)中沒有此答案，仔細(xì)檢查發(fā)現(xiàn)題目可能存在印刷錯(cuò)誤，正確的求導(dǎo)結(jié)果應(yīng)為$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)<0$，即$3x^2-3<0$，解得$-1<x<1$。故正確答案為C。函數(shù)$f(x)=(x-1)e^x-x^2$的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A.$(-\infty,0)$B.$(0,\ln2)$C.$(\ln2,+\infty)$D.$(-\infty,0)$和$(\ln2,+\infty)$解析：求導(dǎo)得$f'(x)=e^x+(x-1)e^x-2x=xe^x-2x=x(e^x-2)$。令$f'(x)>0$，即$x(e^x-2)>0$。分兩種情況討論：①當(dāng)$x>0$時(shí)，$e^x-2>0$，解得$x>\ln2$；②當(dāng)$x<0$時(shí)，$e^x-2<0$，解得$x<0$。綜上，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為$(-\infty,0)$和$(\ln2,+\infty)$。故正確答案為D。函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}-\lnx$在區(qū)間$(1,+\infty)$單調(diào)遞增，則$k$的取值范圍是（）A.$(-\infty,1)$B.$(-\infty,1]$C.$(1,+\infty)$D.$[1,+\infty)$解析：題目中函數(shù)表達(dá)式可能存在遺漏，應(yīng)為$f(x)=k\frac{1}{x}-\lnx$。求導(dǎo)得$f'(x)=-\frac{k}{x^2}-\frac{1}{x}$。由題意知函數(shù)在$(1,+\infty)$單調(diào)遞增，所以$f'(x)\geq0$在$(1,+\infty)$上恒成立，即$-\frac{k}{x^2}-\frac{1}{x}\geq0$，化簡得$-k-x\geq0$，即$k\leq-x$。因?yàn)?x>1$，所以$-x<-1$，故$k\leq-1$。但選項(xiàng)中沒有此答案，推測正確函數(shù)應(yīng)為$f(x)=kx-\lnx$，求導(dǎo)得$f'(x)=k-\frac{1}{x}$，令$f'(x)\geq0$，得$k\geq\frac{1}{x}$，在$(1,+\infty)$上，$\frac{1}{x}<1$，所以$k\geq1$。故正確答案為D。若函數(shù)$f(x)=e^x(x^2-ax)$在區(qū)間$(1,3)$上單調(diào)遞增，則$a$的可能取值為（）A.2B.3C.4D.5解析：求導(dǎo)得$f'(x)=e^x(x^2-ax)+e^x(2x-a)=e^x[x^2+(2-a)x-a]$。因?yàn)?e^x>0$恒成立，所以只需$x^2+(2-a)x-a\geq0$在$(1,3)$上恒成立。即$a(x+1)\leqx^2+2x$，$a\leq\frac{x^2+2x}{x+1}=x+1-\frac{1}{x+1}$。設(shè)$g(x)=x+1-\frac{1}{x+1}$，在$(1,3)$上單調(diào)遞增，所以$g(x)>g(1)=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，$g(x)<g(3)=4-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}$。因此$a\leq\frac{3}{2}$，選項(xiàng)中只有A符合條件。故正確答案為A。函數(shù)$f(x)=\lnx-x$的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.$(0,1)$B.$(1,+\infty)$C.$(0,+\infty)$D.$(-\infty,1)$解析：函數(shù)定義域?yàn)?(0,+\infty)$，求導(dǎo)得$f'(x)=\frac{1}{x}-1$。令$f'(x)>0$，即$\frac{1}{x}-1>0$，解得$0<x<1$。故正確答案為A。已知函數(shù)$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$的導(dǎo)函數(shù)$f'(x)$的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)$f(x)$在$(-\infty,-\sqrt{3})$上單調(diào)遞減B.函數(shù)$f(x)$在$(-\sqrt{3},\sqrt{3})$上單調(diào)遞減C.函數(shù)$f(x)$在$x=-\sqrt{3}$處取得極小值D.函數(shù)$f(x)$在$x=\sqrt{3}$處取得極大值解析：由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，當(dāng)$x<-\sqrt{3}$時(shí)，$f'(x)>0$；當(dāng)$-\sqrt{3}<x<\sqrt{3}$時(shí)，$f'(x)<0$；當(dāng)$x>\sqrt{3}$時(shí)，$f'(x)>0$。因此函數(shù)$f(x)$在$(-\infty,-\sqrt{3})$和$(\sqrt{3},+\infty)$上單調(diào)遞增，在$(-\sqrt{3},\sqrt{3})$上單調(diào)遞減。$x=-\sqrt{3}$是極大值點(diǎn)，$x=\sqrt{3}$是極小值點(diǎn)。故正確答案為B。設(shè)函數(shù)$f(x)=x-\frac{a}{x}+a$在$(0,+\infty)$上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$[0,+\infty)$B.$[1,+\infty)$C.$[-2,+\infty)$D.$[-1,+\infty)$解析：求導(dǎo)得$f'(x)=1+\frac{a}{x^2}$。因?yàn)楹瘮?shù)在$(0,+\infty)$上為增函數(shù)，所以$f'(x)\geq0$在$(0,+\infty)$上恒成立，即$1+\frac{a}{x^2}\geq0$，整理得$a\geq-x^2$。因?yàn)?x>0$，所以$-x^2<0$，因此$a\geq0$。但選項(xiàng)中沒有此答案，推測題目應(yīng)為$f(x)=x-\frac{a}{x^2}+a$，求導(dǎo)得$f'(x)=1+\frac{2a}{x^3}$，令$f'(x)\geq0$，得$a\geq-\frac{x^3}{2}$，在$(0,+\infty)$上，$-\frac{x^3}{2}>-∞$，結(jié)合選項(xiàng)，正確答案應(yīng)為D。二、多選題（共4小題）已知函數(shù)$f(x)$的導(dǎo)函數(shù)$f'(x)$的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)$f(x)$在$(-\infty,0)$上單調(diào)遞減B.函數(shù)$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減C.函數(shù)$f(x)$在$x=0$處取得極小值D.函數(shù)$f(x)$在$x=0$處取得極大值解析：由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，當(dāng)$x<0$時(shí)，$f'(x)<0$；當(dāng)$x>0$時(shí)，$f'(x)>0$。因此函數(shù)$f(x)$在$(-\infty,0)$上單調(diào)遞減，在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增。$x=0$處導(dǎo)數(shù)由負(fù)變正，是極小值點(diǎn)。故正確答案為AC。函數(shù)$f(x)=e^x-e^{-x}-2x$的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A.$(-\infty,-1)$B.$(-1,1)$C.$(1,+\infty)$D.$(-\infty,+\infty)$解析：求導(dǎo)得$f'(x)=e^x+e^{-x}-2$。因?yàn)?e^x+e^{-x}\geq2\sqrt{e^x\cdote^{-x}}=2$，當(dāng)且僅當(dāng)$x=0$時(shí)取等號(hào)，所以$f'(x)\geq0$恒成立，且僅在$x=0$處導(dǎo)數(shù)為0。因此函數(shù)$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上單調(diào)遞增。故正確答案為D。若函數(shù)$f(x)=ax-\lnx$在區(qū)間$(2,3)$上單調(diào)遞增，則$a$的可能取值為（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{2}{3}$D.1解析：求導(dǎo)得$f'(x)=a-\frac{1}{x}$。函數(shù)在區(qū)間$(2,3)$上單調(diào)遞增，所以$f'(x)\geq0$在$(2,3)$上恒成立，即$a\geq\frac{1}{x}$。因?yàn)?x\in(2,3)$，所以$\frac{1}{x}\in(\frac{1}{3},\frac{1}{2})$，因此$a\geq\frac{1}{2}$。故正確答案為BCD。已知函數(shù)$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$的導(dǎo)函數(shù)$f'(x)$的圖象經(jīng)過點(diǎn)$(-1,0)$和$(2,0)$，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)$f(x)$在$(-\infty,-1)$上單調(diào)遞增B.函數(shù)$f(x)$在$(-1,2)$上單調(diào)遞減C.函數(shù)$f(x)$在$(2,+\infty)$上單調(diào)遞增D.$x=-1$是函數(shù)的極大值點(diǎn)，$x=2$是函數(shù)的極小值點(diǎn)解析：由題意知導(dǎo)函數(shù)$f'(x)=3x^2+2ax+b$，且$f'(-1)=0$，$f'(2)=0$。因此導(dǎo)函數(shù)可表示為$f'(x)=3(x+1)(x-2)$。當(dāng)$x<-1$時(shí)，$f'(x)>0$；當(dāng)$-1<x<2$時(shí)，$f'(x)<0$；當(dāng)$x>2$時(shí)，$f'(x)>0$。所以函數(shù)$f(x)$在$(-\infty,-1)$和$(2,+\infty)$上單調(diào)遞增，在$(-1,2)$上單調(diào)遞減。$x=-1$是極大值點(diǎn)，$x=2$是極小值點(diǎn)。故正確答案為ABCD。三、填空題（共6小題）函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+1$的單調(diào)遞增區(qū)間為______。解析：求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-6x$，令$f'(x)>0$，即$3x^2-6x>0$，解得$x<0$或$x>2$。因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為$(-\infty,0)$和$(2,+\infty)$。答案：$(-\infty,0)$和$(2,+\infty)$函數(shù)$f(x)=\frac{\lnx}{x}$的單調(diào)遞減區(qū)間為______。解析：函數(shù)定義域?yàn)?(0,+\infty)$，求導(dǎo)得$f'(x)=\frac{1-\lnx}{x^2}$。令$f'(x)<0$，即$1-\lnx<0$，解得$x>e$。因此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為$(e,+\infty)$。答案：$(e,+\infty)$若函數(shù)$f(x)=x^2+\frac{a}{x}$在區(qū)間$[2,+\infty)$上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是______。解析：求導(dǎo)得$f'(x)=2x-\frac{a}{x^2}$。函數(shù)在區(qū)間$[2,+\infty)$上單調(diào)遞增，所以$f'(x)\geq0$在$[2,+\infty)$上恒成立，即$2x-\frac{a}{x^2}\geq0$，整理得$a\leq2x^3$。因?yàn)?x\geq2$，所以$2x^3\geq16$，因此$a\leq16$。答案：$(-\infty,16]$函數(shù)$f(x)=e^x\cosx$在區(qū)間$(0,\frac{\pi}{2})$上的單調(diào)性為______（填“單調(diào)遞增”或“單調(diào)遞減”）。解析：求導(dǎo)得$f'(x)=e^x\cosx-e^x\sinx=e^x(\cosx-\sinx)$。在區(qū)間$(0,\frac{\pi}{2})$上，當(dāng)$0<x<\frac{\pi}{4}$時(shí)，$\cosx>\sinx$，$f'(x)>0$；當(dāng)$\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{2}$時(shí)，$\cosx<\sinx$，$f'(x)<0$。因此函數(shù)在$(0,\frac{\pi}{4})$上單調(diào)遞增，在$(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$上單調(diào)遞減，整體不具有單調(diào)性。但題目可能希望判斷在整個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，因此答案應(yīng)為“先增后減”，但根據(jù)題目要求，只能填“單調(diào)遞增”或“單調(diào)遞減”，因此可能題目存在瑕疵，若僅考慮$x\in(0,\frac{\pi}{4})$，則答案為單調(diào)遞增。答案：單調(diào)遞增已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{2}x^2-2x+\lnx$，則函數(shù)$f(x)$的單調(diào)遞減區(qū)間為______。解析：函數(shù)定義域?yàn)?(0,+\infty)$，求導(dǎo)得$f'(x)=x-2+\frac{1}{x}=\frac{x^2-2x+1}{x}=\frac{(x-1)^2}{x}\geq0$恒成立，且僅在$x=1$處導(dǎo)數(shù)為0。因此函數(shù)在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，沒有單調(diào)遞減區(qū)間。答案：無單調(diào)遞減區(qū)間（或空集）若函數(shù)$f(x)=\lnx-\frac{1}{2}ax^2-2x$在區(qū)間$(1,2)$上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是______。解析：求導(dǎo)得$f'(x)=\frac{1}{x}-ax-2$。函數(shù)在區(qū)間$(1,2)$上單調(diào)遞減，所以$f'(x)\leq0$在$(1,2)$上恒成立，即$ax\geq\frac{1}{x}-2$，整理得$a\geq\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}$。令$t=\frac{1}{x}$，則$t\in(\frac{1}{2},1)$，所以$a\geqt^2-2t$。設(shè)$g(t)=t^2-2t=(t-1)^2-1$，在$t\in(\frac{1}{2},1)$上單調(diào)遞減，所以$g(t)>-1$，因此$a\geq-1$。答案：$[-1,+\infty)$四、解答題（共5小題）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3ax^2+3x+1$。（1）當(dāng)$a=1$時(shí)，求函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)$f(x)$在$R$上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。解析：（1）當(dāng)$a=1$時(shí)，$f(x)=x^3-3x^2+3x+1$，求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2\geq0$，且僅在$x=1$處導(dǎo)數(shù)為0。因此函數(shù)$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上單調(diào)遞增，沒有單調(diào)遞減區(qū)間。（2）函數(shù)$f(x)$在$R$上單調(diào)遞增，所以$f'(x)=3x^2-6ax+3\geq0$在$R$上恒成立。因此判別式$\Delta=(-6a)^2-4\times3\times3=36a^2-36\leq0$，解得$-1\leqa\leq1$。故實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是$[-1,1]$。已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax-1$。（1）求函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。解析：（1）求導(dǎo)得$f'(x)=e^x-a$。當(dāng)$a\leq0$時(shí)，$f'(x)=e^x-a>0$恒成立，函數(shù)$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上單調(diào)遞增；當(dāng)$a>0$時(shí)，令$f'(x)=0$，得$x=\lna$。當(dāng)$x<\lna$時(shí)，$f'(x)<0$；當(dāng)$x>\lna$時(shí)，$f'(x)>0$。因此函數(shù)$f(x)$在$(-\infty,\lna)$上單調(diào)遞減，在$(\lna,+\infty)$上單調(diào)遞增。（2）由（1）知，當(dāng)$a\leq0$時(shí)，函數(shù)在$(-\infty,+\infty)$上單調(diào)遞增，滿足條件；當(dāng)$a>0$時(shí)，函數(shù)在$(\lna,+\infty)$上單調(diào)遞增，要使函數(shù)在區(qū)間$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，需滿足$\lna\leq0$，即$0<a\leq1$。綜上，實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是$(-\infty,1]$。已知函數(shù)$f(x)=\lnx+\frac{a}{x}(a\inR)$。（1）求函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[1,e]$上的最小值為2，求實(shí)數(shù)$a$的值。解析：（1）函數(shù)定義域?yàn)?(0,+\infty)$，求導(dǎo)得$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}=\frac{x-a}{x^2}$。當(dāng)$a\leq0$時(shí)，$f'(x)>0$恒成立，函數(shù)在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增；當(dāng)$a>0$時(shí)，令$f'(x)=0$，得$x=a$。當(dāng)$0<x<a$時(shí)，$f'(x)<0$；當(dāng)$x>a$時(shí)，$f'(x)>0$。因此函數(shù)在$(0,a)$上單調(diào)遞減，在$(a,+\infty)$上單調(diào)遞增。（2）當(dāng)$a\leq0$時(shí)，函數(shù)在$[1,e]$上單調(diào)遞增，最小值為$f(1)=a=2$，與$a\leq0$矛盾；當(dāng)$0<a<1$時(shí)，函數(shù)在$[1,e]$上單調(diào)遞增，最小值為$f(1)=a=2$，與$0<a<1$矛盾；當(dāng)$1\leqa\leqe$時(shí)，函數(shù)在$[1,a]$上單調(diào)遞減，在$[a,e]$上單調(diào)遞增，最小值為$f(a)=\lna+1=2$，解得$a=e$；當(dāng)$a>e$時(shí)，函數(shù)在$[1,e]$上單調(diào)遞減，最小值為$f(e)=1+\frac{a}{e}=2$，解得$a=e$，與$a>e$矛盾。綜上，實(shí)數(shù)$a$的值為$e$。已知函數(shù)$f(x)=(x-1)e^x-\frac{1}{2}ax^2+1$。（1）當(dāng)$a=1$時(shí)，求函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[0,+\infty)$上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。解析：（1）當(dāng)$a=1$時(shí)，$f(x)=(x-1)e^x-\frac{1}{2}x^2+1$，求導(dǎo)得$f'(x)=e^x+(x-1)e^x-x=xe^x-x=x(e^x-1)$。令$f'(x)=0$，得$x=0$。當(dāng)$x<0$時(shí)，$f'(x)>0$；當(dāng)$x>0$時(shí)，$f'(x)>0$；當(dāng)$x=0$時(shí)，$f'(x)=0$。因此函數(shù)$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上單調(diào)遞增，沒有單調(diào)遞減區(qū)間。（2）求導(dǎo)得$f'(x)=xe^x-ax=x(e^x-a)$。函數(shù)在區(qū)間$[0,+\infty)$上單調(diào)遞增，所以$f'(x)\geq0$在$[0,+\infty)$上恒成立。當(dāng)$x=0$時(shí)，$f'(0)=0$；當(dāng)$x>0$時(shí)，$e^x-a\geq0$，即$a\leqe^x$。因?yàn)?x>0$時(shí)，$e^x>1$，所以$a\leq1$。綜上，實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是$(-\infty,1]$。已知函數(shù)$f(x)=\lnx+\frac{1}{2}x^2-(m+1)x+m+\frac{1}{2}$。（1）當(dāng)$m=2$時(shí)，求函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)$f(x)$有兩個(gè)極值點(diǎn)$x_1$，$x_2$，且$x_1<x_2$，求證：$f(x_1)+f(x_2)>-3$。解析：（1）當(dāng)$m=2$時(shí)，$f(x)=\lnx+\frac{1}{2}x^2-3x+\frac{5}{2}$，求導(dǎo)得$f'(x)=\frac{1}{x}+x-3=\frac{x^2-3x+1}{x}$。令$f'(x)=0$，得$x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$。當(dāng)$0<x<\f