2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)函數(shù)的極值與最值試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）下列函數(shù)中存在極值點的是（）A.(f(x)=x^3)B.(f(x)=\lnx)C.(f(x)=e^x)D.(f(x)=x^2-2x)函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)的極大值點為（）A.(x=0)B.(x=1)C.(x=2)D.(x=3)若函數(shù)(f(x)=x^3+ax^2+bx+c)在(x=-1)處取得極大值，在(x=3)處取得極小值，則（）A.(a=-3),(b=-9)B.(a=-3),(b=9)C.(a=3),(b=-9)D.(a=3),(b=9)函數(shù)(f(x)=xe^{-x})在區(qū)間([0,2])上的最大值為（）A.(0)B.(e^{-1})C.(2e^{-2})D.(e^{-2})已知函數(shù)(f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2+mx+1)在區(qū)間([1,2])上單調(diào)遞減，則實數(shù)(m)的取值范圍是（）A.(m\leq0)B.(m\geq0)C.(m\leq-1)D.(m\geq-1)函數(shù)(f(x)=\sinx+\cosx)在區(qū)間([0,\frac{\pi}{2}])上的最小值為（）A.(-1)B.(0)C.(1)D.(\sqrt{2})若函數(shù)(f(x)=x^3-3ax+2)在區(qū)間((1,+\infty))內(nèi)有極小值，則實數(shù)(a)的取值范圍是（）A.(a>0)B.(a>1)C.(0<a<1)D.(a<1)函數(shù)(f(x)=\lnx-x)的最大值為（）A.(-1)B.(0)C.(1)D.不存在已知函數(shù)(f(x)=x^2-2x+a\lnx)有兩個極值點，則實數(shù)(a)的取值范圍是（）A.(a<1)B.(a>1)C.(0<a<1)D.(a\leq0)若不等式(x^3-3x+m\geq0)在區(qū)間([-2,2])上恒成立，則實數(shù)(m)的最小值為（）A.(-2)B.(0)C.(2)D.(4)二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）函數(shù)(f(x)=x^3-3x)的極小值為________。函數(shù)(f(x)=e^x-x-1)在區(qū)間([-1,1])上的最大值為________。若函數(shù)(f(x)=\frac{1}{2}x^2-\lnx)在區(qū)間([a,a+1])上單調(diào)遞增，則(a)的取值范圍是________。已知函數(shù)(f(x)=x^3+bx^2+cx+d)的圖象過點((0,2))，且在(x=-1)處的切線方程為(6x-y+7=0)，則(b=)，(c=)，(d=)________。函數(shù)(f(x)=x^2-4x+3)在區(qū)間([t,t+2])上的最小值為(g(t))，則(g(t)=)________。三、解答題（本大題共6小題，共75分）（12分）求函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2-9x+5)的極值。解析：(f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1))令(f'(x)=0)，得(x=-1)或(x=3)。當(dāng)(x<-1)時，(f'(x)>0)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)(-1<x<3)時，(f'(x)<0)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)(x>3)時，(f'(x)>0)，函數(shù)單調(diào)遞增。因此，(f(x))在(x=-1)處取得極大值(f(-1)=10)，在(x=3)處取得極小值(f(3)=-22)。（12分）已知函數(shù)(f(x)=xe^x-a(x+1)^2)有兩個極值點，求實數(shù)(a)的取值范圍。解析：(f'(x)=e^x+xe^x-2a(x+1)=(x+1)(e^x-2a))令(f'(x)=0)，得(x=-1)或(e^x=2a)。若(a\leq0)，則(e^x=2a)無解，此時(f(x))僅有一個極值點(x=-1)，不符合題意；若(a>0)，則(x=\ln(2a))。當(dāng)(\ln(2a)\neq-1)，即(a\neq\frac{1}{2e})時，(f(x))有兩個極值點。綜上，(a>0)且(a\neq\frac{1}{2e})。（13分）已知函數(shù)(f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}mx^2+4x-3)在區(qū)間([1,2])上的最大值為(\frac{10}{3})，求實數(shù)(m)的值。解析：(f'(x)=x^2-mx+4)若(f'(x)\geq0)在([1,2])上恒成立，則(m\leqx+\frac{4}{x})。由于(x+\frac{4}{x}\geq4)（當(dāng)(x=2)時取等號），則(m\leq4)，此時(f(x))在([1,2])上單調(diào)遞增，最大值為(f(2)=\frac{8}{3}-2m+8-3=\frac{20}{3}-2m=\frac{10}{3})，解得(m=\frac{5}{3})，符合題意；若(f'(x))在([1,2])內(nèi)有零點，則需分類討論極值點與區(qū)間的關(guān)系，此處略。綜上，(m=\frac{5}{3})。（12分）已知函數(shù)(f(x)=\lnx+\frac{a}{x})，若對任意(x\in(0,+\infty))，都有(f(x)\geq1)，求實數(shù)(a)的取值范圍。解析：由(f(x)\geq1)，得(a\geqx(1-\lnx))。令(g(x)=x(1-\lnx))，則(g'(x)=-\lnx)。當(dāng)(x\in(0,1))時，(g'(x)>0)，(g(x))單調(diào)遞增；當(dāng)(x\in(1,+\infty))時，(g'(x)<0)，(g(x))單調(diào)遞減。因此，(g(x))的最大值為(g(1)=1)，故(a\geq1)。（13分）已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+3x+1)，求其在區(qū)間([-1,3])上的最值。解析：(f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2\geq0)，因此(f(x))在([-1,3])上單調(diào)遞增。最小值為(f(-1)=-6)，最大值為(f(3)=10)。（12分）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月產(chǎn)量(x)（噸）與每噸產(chǎn)品的價格(p)（元/噸）之間的關(guān)系為(p=24200-\frac{1}{5}x^2)，且生產(chǎn)(x)噸的成本為(C=50000+200x)元。問每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤達(dá)到最大？最大利潤是多少？解析：利潤函數(shù)(L(x)=xp-C=x(24200-\frac{1}{5}x^2)-(50000+200x)=-\frac{1}{5}x^3+24000x-50000)(L'(x)=-\frac{3}{5}x^2+24000)，令(L'(x)=0)，得(x=200)（負(fù)值舍去）。當(dāng)(x=200)時，(L(x))取得最大值(L(200)=3150000)元。因此，每月生產(chǎn)200噸時利潤最大，最大利潤為315萬元。四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax^2-bx-1)，若(f(1)=0)，且(f(x))在區(qū)間((0,1))內(nèi)有零點，求(a)的取值范圍。設(shè)函數(shù)(f(x)=\lnx+\frac{k}{x})（(k\in\mathbb{R})），若對任意兩個不相等的正數(shù)(x_1,x_2)，都有(\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>2)恒成立，求(k)的取值范圍。參考答案1-5:DABBA6-10:CBACC11.-212.(e-2)1