2025年下學期高二數(shù)學科技創(chuàng)新背景試題一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）量子計算中的概率問題某量子計算機的量子比特系統(tǒng)中，每個量子比特的狀態(tài)由|0?和|1?疊加而成，其概率分布滿足|α|2+|β|2=1。若某操作后量子比特處于|ψ?=a|0?+b|1?狀態(tài)，且a=√3/2，b∈R，則測量后得到|1?狀態(tài)的概率為（）A.1/4B.1/2C.√3/2D.3/4人工智能訓練數(shù)據(jù)擬合為優(yōu)化某AI模型的訓練效率，工程師記錄了不同訓練樣本量x（單位：千條）對應的模型準確率y（%），數(shù)據(jù)如下表：|x|1|2|3|4|5||---|---|---|---|---|---||y|62|75|82|88|91|若用線性回歸模型y=bx+a擬合數(shù)據(jù)，且已計算出b≈7.3，則a的值約為（）A.54.7B.58.2C.60.5D.63.1自動駕駛路徑規(guī)劃某自動駕駛汽車在平面直角坐標系中沿拋物線y=x2-4x+5行駛，當汽車在點P處的切線斜率為2時，點P的坐標為（）A.(2,1)B.(3,2)C.(1,2)D.(4,5)區(qū)塊鏈加密算法區(qū)塊鏈技術中常用哈希函數(shù)將任意長度數(shù)據(jù)映射為固定長度哈希值。若某哈希函數(shù)h(x)滿足h(x?)=h(x?)僅當x?=x?（即抗碰撞性），且x取值為1到100的整數(shù)，h(x)=xmod7，則該函數(shù)的碰撞率（存在x?≠x?使h(x?)=h(x?)的概率）為（）A.0B.28/100C.43/100D.1元宇宙空間幾何在元宇宙虛擬展廳中，某展品的底座為正四棱錐，底面邊長為4，側棱長為3，則該棱錐的體積為（）A.8√5/3B.16√5/3C.8√2/3D.16√2/3新能源電池容量衰減模型某鋰電池的剩余容量C（單位：mAh）與充放電次數(shù)n滿足關系C=C?e^(-kn)，其中C?為初始容量，k為衰減系數(shù)。若經過200次充放電后容量變?yōu)槌跏贾档?0%，則k的值約為（）（ln0.8≈-0.223）A.1.115×10?3B.2.23×10?3C.5.575×10??D.4.46×10??腦機接口信號處理腦機接口設備采集的神經信號可視為周期函數(shù)f(t)=Asin(ωt+φ)，若信號的頻率為50Hz（即每秒50個周期），則ω的值為（）A.25πB.50πC.100πD.200π3D打印材料優(yōu)化某3D打印機使用的光敏樹脂體積V（cm3）與打印時間t（分鐘）的關系為V(t)=t3-6t2+12t（t≥0），則打印過程中樹脂體積增長最快的時刻為（）A.t=1B.t=2C.t=3D.t=4衛(wèi)星軌道參數(shù)計算北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)中某衛(wèi)星的軌道為橢圓，以地球球心為一個焦點，其近地點距離地面360km，遠地點距離地面21500km（地球半徑約6400km），則該橢圓的離心率為（）A.0.18B.0.25C.0.32D.0.41基因測序數(shù)據(jù)壓縮某基因片段的堿基序列由A、T、C、G四種字符組成，現(xiàn)用二進制編碼表示：A=00，T=01，C=10，G=11。若某序列經編碼后為“00101101”，則對應的堿基序列為（）A.ACTGB.ATCGC.ACGTD.ATGC量子通信信道容量根據(jù)量子信道容量公式C=max{I(ρ;E)}，其中互信息I(ρ;E)=S(ρ)-∑p?S(ρ?)，S為馮·諾依曼熵。若量子態(tài)ρ=1/2|0??0|+1/2|1??1|，則S(ρ)=（）（log?2=1）A.0B.1/2C.1D.2智能工廠供應鏈優(yōu)化某工廠的A、B兩個車間生產同一種零件，A車間產能為500個/天，成本8元/個；B車間產能為300個/天，成本10元/個。若需在5天內生產不少于3000個零件，且總成本最低，則A車間應生產（）天A.3B.4C.5D.2二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）機器人運動控制某工業(yè)機器人的機械臂末端在空間直角坐標系中沿參數(shù)方程x=2cost，y=2sint，z=t運動（t為時間，單位：秒），則t=π秒時末端的速度大小為________（速度向量模長）。5G信號覆蓋范圍某5G基站的信號覆蓋區(qū)域為半徑500米的圓形，且信號強度與距離平方成反比。若基站中心為原點，某用戶在點(300,400)處的信號強度為S，則該用戶向基站移動100米后，信號強度變?yōu)開_______。生物信息學序列比對兩條DNA序列的相似度可通過動態(tài)規(guī)劃計算得分矩陣?，F(xiàn)有序列A=“ATCG”和序列B=“AGCT”，匹配得分2分，錯配-1分，空位罰分-2分，則最優(yōu)比對得分（對角線方向移動為匹配/錯配，水平/垂直為空位）為________。太空電梯力學模型設想某太空電梯的纜繩為均勻彈性體，長度L隨所受拉力F變化，滿足胡克定律ΔL=(FL)/(ES)，其中E為楊氏模量，S為橫截面積。若地球同步軌道高度約36000km，纜繩原長30000km，E=1011Pa，S=10??m2，纜繩密度ρ=5×103kg/m3，則纜繩最低點的拉力F≈________N（重力加速度g=10m/s2，結果用科學記數(shù)法表示）。三、解答題（共6小題，共70分）（10分）無人機測繪面積計算某測繪無人機在100米高空拍攝矩形區(qū)域ABCD，相機鏡頭焦距為50mm（即成像時物距與像距滿足1/f=1/u+1/v，其中u≈100m），感光元件尺寸為36mm×24mm（長×寬）。（1）求像距v的近似值（保留兩位小數(shù)）；（2）若拍攝圖像中矩形區(qū)域ABCD的像長為18mm，寬為12mm，求實際測繪區(qū)域的面積（單位：平方米）。（12分）新能源微電網優(yōu)化某社區(qū)微電網由太陽能電池板（輸出功率P?=200sin(πt/12)kW，t為小時，0≤t≤12）、儲能電池（容量1000kWh）和柴油發(fā)電機（最大功率500kW）組成，居民用電需求Q(t)=150+50sin(πt/6)kW。（1）求t=3時的太陽能發(fā)電功率；（2）若儲能電池初始電量為300kWh，且僅在太陽能發(fā)電過剩時充電（充電效率100%），求t=12時的電池電量；（3）判斷是否需要啟動柴油發(fā)電機，并說明理由。（12分）元宇宙社交網絡分析某元宇宙平臺的用戶關系可用無向圖G=(V,E)表示，V為用戶集合，E為好友關系。已知平臺共有1000個用戶，每個用戶的好友數(shù)X服從正態(tài)分布N(50,102)。（1）求P(30<X≤70)的值（參考數(shù)據(jù)：Φ(2)=0.9772）；（2）若用戶A的好友數(shù)為60，且好友的好友數(shù)平均值為52，求用戶A的“間接好友”（好友的好友但非直接好友）數(shù)量的期望值。（12分）自動駕駛決策樹算法某自動駕駛系統(tǒng)的決策模型為二叉決策樹，每個內部節(jié)點代表一個判斷條件，葉節(jié)點代表決策結果（直行/左轉/右轉）。已知樹的深度為3（根節(jié)點為第1層），且每個內部節(jié)點有2個子節(jié)點。（1）求該決策樹最多可包含的葉節(jié)點數(shù)；（2）若每個判斷條件的準確率為0.9，且各節(jié)點判斷獨立，求從根節(jié)點到葉節(jié)點的決策路徑中所有判斷均正確的概率；（3）若系統(tǒng)需識別5種路況，現(xiàn)有深度為3的決策樹是否足夠？說明理由。（12分）量子通信糾錯編碼量子糾錯碼中，某碼長n=7的穩(wěn)定子碼可糾正t個量子比特錯誤，滿足不等式n≥2t+1。（1）求t的最大值；（2）若每個量子比特的錯誤概率為p=0.01，且錯誤獨立發(fā)生，求該碼未被糾正的概率（即錯誤數(shù)>t的概率）；（3）對比經典二進制碼（n,k,d）中d=2t+1的糾錯能力，說明量子糾錯的特殊性。（14分）腦機接口信號解碼某腦機接口系統(tǒng)通過分析EEG信號中的α波（8-13Hz）和β波（13-30Hz）頻率成分控制機械臂。設α波功率為A，β波功率為B，控制指令由比值R=A/B決定：若R≥2.5，機械臂執(zhí)行“抓取”動作；若1.5≤R<2.5，執(zhí)行“移動”動作；若R<1.5，執(zhí)行“釋放”動作。已知A和B均服從正態(tài)分布：A~N(10,22)，B~N(5,12)，且A與B相互獨立。（1）求P(R≥2.5)的概率；（2）若某次實驗中測得A=13，B=4，判斷機械臂執(zhí)行的動作；（3）為提高解碼準確率，現(xiàn)增加γ波（30-80Hz）功率C作為輔助特征，建立三維特征空間(A,B,C)，請設計一個基于線性分類器的決策規(guī)則，并說明理由。四、附加題（共2小題，不計入總分，供學有余力的學生選做）（10分）量子退火算法優(yōu)化量子退火算法通過量子隧穿效應尋找全局最優(yōu)解，其能量函數(shù)H(s)=-J∑s?s?+h∑s?，其中s?∈{-1,1}為自旋狀態(tài)，J>0為耦合系數(shù)，h為外磁場。（1）對含2個自旋的系統(tǒng)（s?,s?），寫出所有可能的能量值；（2）若J=1，h=0.5，求系統(tǒng)的基態(tài)能量（最低能量）及對應的自旋狀態(tài)。（10分）星際航行軌道設計某探測器從地球沿雙切橢圓軌道飛往火星，地球軌道半徑R?=1.5×10?km，火星軌道半徑R?=2.3×10?km，太陽質量M=2×103?kg，萬有引力常數(shù)G=6.67×10?11N·m2/kg2。（1）求橢圓軌道的半長軸a；（2）估算探測器的飛行時間（根據(jù)開普勒第三定律：T2/a3