2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)領(lǐng)導(dǎo)力評估試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知函數(shù)$f(x)=\ln(x^2-ax+3)$的定義域為$R$，則實數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$(-2\sqrt{3},2\sqrt{3})$B.$[-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]$C.$(-\infty,-2\sqrt{3})\cup(2\sqrt{3},+\infty)$D.$(-\infty,-2\sqrt{3}]\cup[2\sqrt{3},+\infty)$若曲線$y=x^3-2x+1$在點$(1,0)$處的切線與直線$ax+y+1=0$垂直，則$a=$（）A.$-1$B.$1$C.$-2$D.$2$在空間直角坐標(biāo)系中，已知點$A(1,2,3)$，$B(2,-1,4)$，則線段$AB$的中點坐標(biāo)及$|AB|$分別為（）A.$\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2},\frac{7}{2}\right)$，$\sqrt{6}$B.$\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2},\frac{7}{2}\right)$，$\sqrt{14}$C.$\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$，$\sqrt{6}$D.$\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$，$\sqrt{14}$已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點$(2,1)$，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$B.$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$C.$\frac{x^2}{4}+y^2=1$D.$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$某工廠生產(chǎn)的零件長度$X$（單位：mm）服從正態(tài)分布$N(50,4)$，若$P(X<48)=0.2$，則$P(48\leqX\leq52)=$（）A.$0.3$B.$0.4$C.$0.5$D.$0.6$已知向量$\vec{a}=(1,2,-1)$，$\vec=(2,m,1)$，若$\vec{a}\perp\vec$，則$m=$（）A.$-1$B.$0$C.$1$D.$2$若雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的一條漸近線方程為$y=2x$，且焦距為$2\sqrt{5}$，則該雙曲線的方程為（）A.$\frac{x^2}{4}-y^2=1$B.$x^2-\frac{y^2}{4}=1$C.$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{8}=1$D.$\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{2}=1$用數(shù)學(xué)歸納法證明“$1+2+3+\cdots+n^2=\frac{n^2(n^2+1)}{2}$”時，從$n=k$到$n=k+1$左邊需添加的項是（）A.$(k+1)^2$B.$k^2+1+k^2+2+\cdots+(k+1)^2$C.$k+1$D.$(k^2+1)+(k^2+2)+\cdots+(k+1)^2$已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$，則函數(shù)$f(x)$的極大值與極小值之和為（）A.$-4$B.$-2$C.$2$D.$4$在三棱錐$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB\perpBC$，$PA=AB=BC=2$，則三棱錐$P-ABC$的外接球表面積為（）A.$4\pi$B.$8\pi$C.$12\pi$D.$16\pi$已知隨機變量$X$的分布列為：|$X$|$0$|$1$|$2$||------|------|------|------||$P$|$0.2$|$0.5$|$0.3$|則$E(X)$和$D(X)$分別為（）A.$1.1$，$0.49$B.$1.1$，$0.59$C.$1.2$，$0.49$D.$1.2$，$0.59$已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{3}x^3-ax^2+bx$在$x=1$處有極值$-1$，則$a+b=$（）A.$-1$B.$0$C.$1$D.$2$二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）曲線$y=e^x-2x$在點$(0,1)$處的切線方程為________。若拋物線$y^2=2px(p>0)$的焦點與雙曲線$\frac{x^2}{3}-y^2=1$的右焦點重合，則$p=$________。在區(qū)間$[0,2]$上隨機取一個數(shù)$x$，則事件“$x^2-2x\leq0$”發(fā)生的概率為________。已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x^2-2x,x\leq0\\ln(x+1),x>0\end{cases}$，則$f(f(-1))=$________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，求：（1）函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[-1,2]$上的最大值與最小值。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AC=AA_1=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$D$為$BC$的中點。（1）求證：$A_1B\parallel$平面$ADC_1$；（2）求異面直線$A_1B$與$AC_1$所成角的余弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦點分別為$F_1$，$F_2$，離心率為$\frac{1}{2}$，點$P$在橢圓$C$上，且$\trianglePF_1F_2$的周長為$6$。（1）求橢圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線$l:y=kx+m$與橢圓$C$交于$A$，$B$兩點，$O$為坐標(biāo)原點，若$OA\perpOB$，求$\triangleAOB$面積的最大值。（本小題滿分12分）某商場為提升服務(wù)質(zhì)量，隨機調(diào)查了$100$名顧客的購物體驗評分（滿分$100$分），得到如下頻率分布直方圖：（1）求頻率分布直方圖中$a$的值，并估計這$100$名顧客購物體驗評分的平均數(shù)；（2）若評分在$[80,90)$和$[90,100]$的顧客分別為“滿意顧客”和“非常滿意顧客”，現(xiàn)從這兩類顧客中按分層抽樣的方法抽取$5$人，再從這$5$人中隨機選取$2$人進行回訪，求至少有$1$人是“非常滿意顧客”的概率。（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax-1(a\inR)$。（1）討論函數(shù)$f(x)$的單調(diào)性；（2）若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(0,+\infty)$上有兩個零點，求$a$的取值范圍。（本小題滿分12分）已知拋物線$E:y^2=4x$的焦點為$F$，過點$F$的直線$l$與拋物線$E$交于$A$，$B$兩點，點$M$在拋物線$E$的準(zhǔn)線上，且$MA\perpMB$。（1）求證：直線$AB$過定點；（2）求點$M$的軌跡方程。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（此處省略，實際試題需附詳細解析）命題說明：試卷嚴格依據(jù)2025年高二數(shù)學(xué)教學(xué)大綱要求，覆蓋函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、立體幾何、解析幾何、概率統(tǒng)計等核心模塊，