2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)媒體素養(yǎng)評(píng)估試題注意事項(xiàng)本試卷共6頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。答題前，考生需在答題卡指定位置填寫姓名、班級(jí)及考號(hào)。作答選擇題時(shí)，用2B鉛筆將答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆書寫在答題卡對(duì)應(yīng)區(qū)域，超出區(qū)域的答案無效。考試結(jié)束后，將答題卡交回，試卷自行保存。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）（一）數(shù)據(jù)解讀與邏輯推理社交媒體信息可信度評(píng)估某短視頻平臺(tái)對(duì)“高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法”相關(guān)視頻的點(diǎn)贊量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下表所示：視頻類型發(fā)布賬號(hào)類型點(diǎn)贊量（萬）評(píng)論區(qū)爭(zhēng)議度公式推導(dǎo)類教育機(jī)構(gòu)128低解題技巧類個(gè)人博主95中趣味數(shù)學(xué)類娛樂賬號(hào)210高若用點(diǎn)贊量與爭(zhēng)議度的比值衡量信息“權(quán)威性”，則權(quán)威性最高的視頻類型是（）A.公式推導(dǎo)類B.解題技巧類C.趣味數(shù)學(xué)類D.無法確定網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)可視化分析某教育類公眾號(hào)發(fā)布的“高二數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)掌握率”折線圖顯示：函數(shù)模塊從開學(xué)初的62%提升至學(xué)期末的89%，立體幾何模塊從58%提升至75%。若假設(shè)兩個(gè)模塊的提升率均勻分布，則函數(shù)模塊的月均提升幅度比立體幾何模塊高（）A.3.2%B.4.5%C.5.8%D.7.1%（二）空間幾何與現(xiàn)實(shí)應(yīng)用3D打印模型的幾何計(jì)算某學(xué)生使用3D打印機(jī)制作正三棱柱教具，已知底面邊長(zhǎng)為4cm，側(cè)棱長(zhǎng)為10cm。為增強(qiáng)穩(wěn)定性，需在內(nèi)部嵌入一個(gè)半徑最大的球體，則該球體的體積為（）A.(\frac{4}{3}\pi)B.(\frac{8\sqrt{3}}{3}\pi)C.(\frac{16}{3}\pi)D.(\frac{32\sqrt{3}}{3}\pi)無人機(jī)航拍的視角問題無人機(jī)在距離地面120米的高空拍攝校園平面圖，鏡頭焦距為50mm（即成像時(shí)物距與像距的比值為2400:1）。若操場(chǎng)上一個(gè)圓形花壇的成像直徑為3mm，則該花壇的實(shí)際面積為（）A.(9\pi)平方米B.(36\pi)平方米C.(81\pi)平方米D.(144\pi)平方米（三）函數(shù)與媒體信息處理算法推薦的函數(shù)模型某視頻平臺(tái)的推薦算法基于用戶停留時(shí)長(zhǎng)構(gòu)建函數(shù)模型：(f(t)=\frac{1}{1+e^{-0.5t}})，其中(t)為用戶連續(xù)使用天數(shù)。若某用戶第3天的推薦精準(zhǔn)度為(f(3))，則第7天的精準(zhǔn)度比第3天提升了（）（參考數(shù)據(jù)：(e^{2}\approx7.39)，(e^{3}\approx20.09)）A.28%B.42%C.57%D.73%信息傳播的函數(shù)模擬一條數(shù)學(xué)冷知識(shí)在微博上的傳播滿足函數(shù)(N(t)=N_0\cdot2^{0.2t})，其中(N(t))為(t)小時(shí)后的轉(zhuǎn)發(fā)量，(N_0)為初始轉(zhuǎn)發(fā)量。若3小時(shí)后轉(zhuǎn)發(fā)量達(dá)到10萬，則初始轉(zhuǎn)發(fā)量(N_0)約為（）A.3.1萬B.4.2萬C.5.6萬D.6.9萬（四）概率統(tǒng)計(jì)與風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估網(wǎng)絡(luò)投票的公正性檢驗(yàn)?zāi)嘲嗉?jí)通過微信群發(fā)起“數(shù)學(xué)作業(yè)形式”投票，選項(xiàng)為“A.紙質(zhì)作業(yè)”“B.線上提交”“C.混合模式”。投票數(shù)據(jù)顯示：50人參與，其中選項(xiàng)A得票率為40%，但后臺(tái)日志顯示有12個(gè)賬號(hào)在同一IP地址投票。若剔除異常投票后A的得票率降至30%，則異常投票中選擇A的人數(shù)為（）A.5B.7C.9D.11數(shù)據(jù)抽樣的誤差分析某調(diào)研機(jī)構(gòu)為了解高二學(xué)生“數(shù)學(xué)焦慮指數(shù)”，隨機(jī)抽取100人調(diào)查，結(jié)果顯示均值為68.5，方差為36。若樣本量擴(kuò)大至400人，且總體分布不變，則新樣本的標(biāo)準(zhǔn)差約為（）A.3B.6C.12D.18（五）解析幾何與技術(shù)工具導(dǎo)航軟件的路徑優(yōu)化某同學(xué)使用導(dǎo)航軟件從家到學(xué)校，系統(tǒng)提供三條路線：路線1：沿直線行駛3km，再右轉(zhuǎn)行駛4km；路線2：沿半徑為5km的圓弧行駛(\frac{\pi}{3})弧度；路線3：先向東北方向行駛(2\sqrt{2})km，再向東南方向行駛(2\sqrt{2})km。若忽略路況影響，最短路線的距離為（）A.5kmB.(\frac{5\pi}{3})kmC.6kmD.8km屏幕分辨率與坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換某數(shù)學(xué)軟件界面的坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(200,150)（單位：像素）。若屏幕分辨率為1920×1080像素，且以屏幕中心為原點(diǎn)建立新坐標(biāo)系（x軸水平向右，y軸豎直向上），則點(diǎn)A在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（）A.(-760,390)B.(-760,-390)C.(760,390)D.(760,-390)（六）綜合素養(yǎng)與批判性思維虛假信息的數(shù)學(xué)識(shí)別某營(yíng)銷號(hào)聲稱“通過特定公式可在3天內(nèi)提高數(shù)學(xué)成績(jī)50%”，其“公式”為：(成績(jī)提升值=\frac{刷題量\times點(diǎn)贊數(shù)}{睡眠時(shí)長(zhǎng)})。從數(shù)學(xué)邏輯看，該公式的主要缺陷是（）A.單位不統(tǒng)一導(dǎo)致量綱錯(cuò)誤B.變量間無因果關(guān)系C.未考慮成績(jī)上限的約束D.以上三項(xiàng)均正確跨媒體信息整合結(jié)合以下三則信息：新聞報(bào)道：“2024年全國(guó)高考數(shù)學(xué)平均分較去年提升2.3分”；論壇帖子：“某高中實(shí)驗(yàn)班數(shù)學(xué)平均分連續(xù)三年超130分”；短視頻評(píng)論：“數(shù)學(xué)太難了，我周圍沒人及格”。下列推斷合理的是（）A.全國(guó)考生數(shù)學(xué)水平普遍提升B.實(shí)驗(yàn)班成績(jī)不具有代表性C.短視頻評(píng)論樣本存在偏差D.三則信息均不可信二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）數(shù)據(jù)壓縮與編碼某文件的壓縮率(r=1-\frac{壓縮后大小}{原大小})。若一段數(shù)學(xué)教學(xué)視頻原大小為800MB，經(jīng)兩次壓縮后變?yōu)?80MB，且兩次壓縮率相同，則每次壓縮率為______（結(jié)果保留兩位小數(shù)）。網(wǎng)絡(luò)傳播的指數(shù)增長(zhǎng)某數(shù)學(xué)競(jìng)賽通知通過校園網(wǎng)傳播，初始時(shí)有5人知曉，經(jīng)過(t)小時(shí)后，知曉人數(shù)(N(t)=5\times2^{kt})。若3小時(shí)后有20人知曉，則預(yù)計(jì)______小時(shí)后知曉人數(shù)將超過1000人。立體幾何與3D建模用一個(gè)平面截半徑為5的球，得到一個(gè)面積為16π的圓面，則球心到該截面的距離為______。算法優(yōu)化的邏輯推理某程序的運(yùn)行時(shí)間(T(n))與輸入數(shù)據(jù)量(n)的關(guān)系為(T(n)=an^2+bn+c)。已知當(dāng)(n=10)時(shí)(T=120)，(n=20)時(shí)(T=460)，(n=30)時(shí)(T=960)，則當(dāng)(n=50)時(shí)，(T(n)=)______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（一）數(shù)據(jù)建模與分析（10分）社交媒體數(shù)學(xué)話題熱度分析某平臺(tái)統(tǒng)計(jì)了2025年9月“函數(shù)”“幾何”“概率”三個(gè)話題的日搜索量（單位：萬次），數(shù)據(jù)如下：函數(shù)：均值52，方差16；幾何：均值48，方差9；概率：均值36，標(biāo)準(zhǔn)差4。（1）計(jì)算三個(gè)話題搜索量的極差（最大值與最小值之差）的估計(jì)值（提示：極差≈4×標(biāo)準(zhǔn)差）；（2）若用“熱度指數(shù)”=均值×（1+0.1×方差）衡量話題受關(guān)注程度，判斷哪個(gè)話題熱度最高，并說明理由。（二）空間幾何與工程應(yīng)用（12分）校園雕塑的設(shè)計(jì)與計(jì)算某校計(jì)劃在廣場(chǎng)建造一個(gè)組合幾何體雕塑，由一個(gè)正四棱錐和一個(gè)同底的正四棱柱組成（如圖）。已知棱柱的高為2m，錐頂?shù)嚼庵酌娴木嚯x為5m，底面邊長(zhǎng)為4m。（1）求該組合體的表面積（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）為防止攀爬，需在幾何體表面安裝防護(hù)欄，要求防護(hù)欄距離表面不超過0.5m，求防護(hù)欄圍成的幾何體體積比原幾何體增加了多少？（三）函數(shù)與優(yōu)化問題（12分）在線學(xué)習(xí)時(shí)間的函數(shù)優(yōu)化某學(xué)生制定數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)計(jì)劃：每天學(xué)習(xí)時(shí)間(x)（單位：小時(shí)）與知識(shí)掌握度(y)的關(guān)系滿足(y=1-e^{-0.5x})。已知每小時(shí)學(xué)習(xí)的成本（包括時(shí)間與精力）為(C(x)=2x+1)，收益為(R(x)=10y)。（1）求收益(R(x))關(guān)于學(xué)習(xí)時(shí)間(x)的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)每天學(xué)習(xí)時(shí)間為多少小時(shí)時(shí)，凈收益（(R(x)-C(x))）最大？（四）概率統(tǒng)計(jì)與決策分析（12分）數(shù)學(xué)競(jìng)賽的選拔機(jī)制某學(xué)校通過兩輪考試選拔數(shù)學(xué)競(jìng)賽選手：第一輪為筆試（滿分100分），第二輪為答辯（滿分50分）。已知學(xué)生甲筆試成績(jī)(X)服從正態(tài)分布(N(75,10^2))，答辯成績(jī)(Y)服從均勻分布(U(30,50))，且兩輪成績(jī)相互獨(dú)立。（1）求甲筆試成績(jī)超過90分的概率（參考：若(Z\simN(0,1))，則(P(Z\leq1.5)=0.9332)）；（2）若綜合成績(jī)(S=0.6X+0.4Y)，求甲綜合成績(jī)的期望與方差。（五）解析幾何與信息技術(shù)（12分）衛(wèi)星定位與坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換某北斗衛(wèi)星定位系統(tǒng)中，地面兩點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為((x_1,y_1,z_1))和((x_2,y_2,z_2))，距離公式為(d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2})?，F(xiàn)已知：點(diǎn)A在東經(jīng)116°，北緯40°，海拔500m；點(diǎn)B在東經(jīng)116°，北緯40°+Δθ，海拔500m，且兩點(diǎn)球面距離為111km（地球半徑取6370km）。（1）求Δθ的度數(shù)（1°緯度對(duì)應(yīng)的球面距離約為111km）；（2）若將A、B兩點(diǎn)投影到平面直角坐標(biāo)系（以A為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸，正北方向?yàn)閥軸），求點(diǎn)B的坐標(biāo)（精確到1km）。（六）開放探究與創(chuàng)新應(yīng)用（12分）數(shù)學(xué)工具的媒體評(píng)價(jià)某研究小組對(duì)三款數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)APP的“輔助效果”進(jìn)行評(píng)估，數(shù)據(jù)如下表：APP類型樣本量平均提分標(biāo)準(zhǔn)差用戶滿意度（滿分5分）題庫(kù)類20012.54.84.2視頻課類15015.86.33.8智能輔導(dǎo)類10018.25.54.5（1）若用“提分效率”=平均提分÷標(biāo)準(zhǔn)差衡量穩(wěn)定性，哪種