2025年下學期高二數(shù)學數(shù)學建模初步實踐試題一、基礎(chǔ)應(yīng)用題（共40分）1.校園共享單車調(diào)度優(yōu)化問題（15分）某中學為解決學生通勤需求，投放了100輛共享單車。根據(jù)一周運營數(shù)據(jù)，早高峰（7:00-8:00）教學樓區(qū)域單車需求量為60輛，宿舍區(qū)域需求量為30輛，而此時教學樓區(qū)域僅有20輛可用，宿舍區(qū)域有50輛閑置。假設(shè)單車在區(qū)域間的調(diào)度成本與距離成正比，教學樓與宿舍區(qū)直線距離為800米，單車平均調(diào)度速度為2米/秒，每輛單車調(diào)度耗時不超過10分鐘。（1）建立數(shù)學模型描述調(diào)度問題，明確變量、目標函數(shù)及約束條件；（2）若每調(diào)度1輛單車的成本為0.5元/百米，計算最小調(diào)度成本及對應(yīng)的調(diào)度方案。2.疫情期間口罩佩戴率預(yù)測（15分）某社區(qū)在疫情防控期間記錄了口罩佩戴率與新增病例數(shù)的關(guān)系，數(shù)據(jù)如下表：|新增病例數(shù)（人/日）|0|1|2|3|4||---------------------|---|---|---|---|---||口罩佩戴率（%）|60|75|85|92|96|（1）選擇合適的函數(shù)模型（如線性、指數(shù)、Logistic模型）擬合數(shù)據(jù)，寫出模型表達式；（2）若次日新增病例數(shù)預(yù)計為5人，預(yù)測口罩佩戴率，并分析模型的適用范圍。3.教室照明節(jié)能方案設(shè)計（10分）某教室長10米、寬6米、高3米，安裝8盞40W日光燈，平均照度需達到300lux（勒克斯）。已知單盞燈照度與距離平方成反比，且燈具效率為0.8。（1）建立單盞燈在桌面某點的照度模型；（2）若僅開啟部分燈具即可滿足照度要求，設(shè)計最節(jié)能的開燈方案（需說明假設(shè)條件）。二、模型分析題（共30分）4.人口增長模型的改進與應(yīng)用（15分）傳統(tǒng)Logistic模型假設(shè)環(huán)境容納量為常數(shù)，而實際中資源變化會影響容納量。某地區(qū)人口數(shù)據(jù)顯示，2000年人口50萬，2010年80萬，2020年100萬，預(yù)計2030年環(huán)境容納量為120萬。（1）修正Logistic模型，引入隨時間線性增長的容納量函數(shù)；（2）預(yù)測2030年該地區(qū)人口數(shù)量，并分析模型中參數(shù)對結(jié)果的敏感性。5.交通信號燈配時優(yōu)化（15分）某十字路口東西方向車流平均速度為15km/h，紅燈時長60秒，綠燈時長40秒，路口寬度20米。假設(shè)車流密度符合均勻分布，每輛車長5米，安全車距為車速（km/h）的0.5倍（米）。（1）建立綠燈期間通過路口的車輛數(shù)模型；（2）若東西方向車流量增加20%，如何調(diào)整紅綠燈時長使通行效率最大化？三、綜合實踐題（共30分）6.校園快遞柜選址問題學校計劃在東、西、南三個校區(qū)各建一個快遞柜，需覆蓋所有宿舍樓。各校區(qū)宿舍樓位置坐標（單位：米）及每日快遞量如下表：|校區(qū)|宿舍樓坐標|每日快遞量（件）||------|------------------|------------------||東校區(qū)|(0,0),(200,100)|300,200||西校區(qū)|(500,300),(600,400)|150,250||南校區(qū)|(300,600),(400,500)|200,350|（1）假設(shè)快遞柜到宿舍樓的運輸成本為0.02元/件·百米，建立總成本最小化的選址模型（提示：使用重心法或整數(shù)規(guī)劃）；（2）若南校區(qū)新增一棟宿舍樓（坐標(350,550)，日快遞量150件），分析對選址結(jié)果的影響。7.碳排放與新能源汽車推廣策略某市2024年汽車保有量為100萬輛，其中燃油車占比90%，新能源車占比10%。燃油車年均碳排放為2.5噸/輛，新能源車為0.5噸/輛。市政府計劃通過補貼政策使新能源車年增長率達到20%，同時燃油車每年淘汰5%。（1）建立未來5年該市汽車碳排放總量的預(yù)測模型；（2）若目標是2030年碳排放較2024年減少40%，計算所需的新能源車最低年增長率。四、開放性問題（共20分）8.校園垃圾分類回收系統(tǒng)設(shè)計為提高垃圾分類效率，學校擬設(shè)計智能回收系統(tǒng)，需考慮以下因素：回收點位置（宿舍樓下、教學樓、食堂）；分類類別（可回收物、廚余垃圾、有害垃圾）；回收頻率（每日2次、每日1次、每周3次）；運輸路線（最短路徑、最少時間）。請自選角度，建立至少兩個數(shù)學模型（如優(yōu)化模型、評價模型），并提出具體實施方案。注意事項：所有題目需包