2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模初步試題（二）一、單項選擇題（每題3分，共10題）在數(shù)學(xué)建模的基本流程中，將"居民出行距離與公交站點覆蓋率的關(guān)系"轉(zhuǎn)化為函數(shù)表達式的過程屬于（）A.模型假設(shè)B.模型建立C.模型求解D.模型檢驗?zāi)吵薪y(tǒng)計顯示，周末客流量是工作日的1.5倍，這種用數(shù)據(jù)描述現(xiàn)象特征的方法屬于（）A.定性分析B.定量分析C.因果分析D.系統(tǒng)分析在回歸分析中，若某商品銷售額（y）與廣告投入（x）的回歸方程為?=2.3x+5.6，則廣告投入每增加1萬元時，銷售額平均增加（）A.2.3萬元B.5.6萬元C.7.9萬元D.無法確定下列問題中適合用線性規(guī)劃模型解決的是（）A.預(yù)測股票價格走勢B.制定學(xué)校課程表C.優(yōu)化工廠生產(chǎn)計劃以最大化利潤D.分析疫情傳播趨勢某班50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，平均分82分，標(biāo)準差5分，那么成績在77-87分之間的學(xué)生約有（）A.34人B.27人C.40人D.13人在層次分析法中，構(gòu)造判斷矩陣時若元素A比元素B"明顯重要"，則對應(yīng)標(biāo)度值應(yīng)為（）A.2B.3C.5D.7下列哪種方法不屬于數(shù)據(jù)預(yù)處理技術(shù)（）A.缺失值填充B.主成分分析C.數(shù)據(jù)標(biāo)準化D.異常值檢測某城市日最高氣溫數(shù)據(jù)（單位：℃）：28,30,32,29,31,33,30，其中位數(shù)是（）A.30B.30.5C.31D.32蒙特卡洛方法的核心思想是通過（）解決不確定性問題A.微分方程求解B.隨機抽樣模擬C.矩陣運算D.邏輯推理在建立人口增長模型時，假設(shè)"人口增長率為常數(shù)"屬于（）A.物理假設(shè)B.簡化假設(shè)C.約束假設(shè)D.驗證假設(shè)二、填空題（每空2分，共10空）數(shù)學(xué)建模的基本步驟包括：問題分析、、模型建立、模型求解、、模型應(yīng)用。某餐廳通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，顧客等待時間（分鐘）與滿意度（滿分10分）的相關(guān)系數(shù)r=-0.82，這表明兩者存在______（填"正"或"負"）的______（填"強"或"弱"）相關(guān)關(guān)系。線性規(guī)劃模型的三個基本要素是：決策變量、和。時間序列數(shù)據(jù)的四個基本特征是：趨勢性、、周期性和。數(shù)據(jù)可視化中，適合展示數(shù)據(jù)分布特征的圖表類型是______，適合展示變化趨勢的圖表類型是______。三、簡答題（每題8分，共3題）簡述數(shù)學(xué)建模中"模型假設(shè)"的作用，并舉例說明在建立"校園共享單車調(diào)度模型"時需要做出哪些關(guān)鍵假設(shè)。某中學(xué)計劃新建一個矩形操場，周長固定為400米，如何設(shè)計長和寬才能使操場面積最大？請用數(shù)學(xué)建模的方法說明理由。下表是某班級10名學(xué)生的數(shù)學(xué)（x）和物理（y）成績數(shù)據(jù)：|學(xué)生編號|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10||----------|---|---|---|---|---|---|---|---|---|----||數(shù)學(xué)成績|78|85|92|65|70|88|95|73|80|86||物理成績|75|82|88|60|68|85|90|70|78|83|（1）計算數(shù)學(xué)成績的極差和物理成績的方差；（2）判斷數(shù)學(xué)成績與物理成績是否存在線性相關(guān)關(guān)系（需計算相關(guān)系數(shù)）。四、建模應(yīng)用題（共3題，第1題15分，第2題20分，第3題20分）第1題：校園食堂排隊優(yōu)化問題某高中食堂有3個打飯窗口，午餐時間（11:30-13:00）學(xué)生就餐數(shù)據(jù)如下表所示：時間段11:30-12:0012:00-12:3012:30-13:00學(xué)生流量150人/10分鐘200人/10分鐘100人/10分鐘已知每個窗口平均打飯速度為15人/分鐘，學(xué)生接受服務(wù)后離開食堂。假設(shè)學(xué)生到達服從均勻分布，窗口前允許排隊等待。（1）建立單窗口排隊系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，用M/M/1模型分析12:00-12:10時段的平均排隊長度；（2）比較以下兩種窗口調(diào)度方案的優(yōu)劣：方案A：3個窗口同時開放至13:00方案B：11:30-12:30開放3個窗口，12:30-13:00開放2個窗口（3）提出一種更優(yōu)的窗口調(diào)度方案，并說明理由。第2題：社區(qū)快遞柜配置問題某社區(qū)有A、B、C三個居民小區(qū)，居住戶數(shù)分別為800戶、1200戶、600戶，位置坐標(biāo)分別為（0,0）、（3,4）、（6,0）（單位：百米）。計劃在社區(qū)內(nèi)設(shè)置快遞柜，每個快遞柜的服務(wù)半徑為2百米，建設(shè)成本為5萬元/個，日常維護成本為0.5萬元/個/年。（1）建立數(shù)學(xué)模型確定快遞柜的最優(yōu)位置和數(shù)量，要求覆蓋所有住戶；（2）若考慮各小區(qū)的快遞量差異（A區(qū)：15件/戶/月，B區(qū)：20件/戶/月，C區(qū)：10件/戶/月），如何調(diào)整模型；（3）假設(shè)快遞柜的最大服務(wù)容量為5000件/月，重新評估配置方案的可行性。第3題：家庭用電量預(yù)測與優(yōu)化某家庭2024年每月用電量（單位：度）及相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：月份用電量平均氣溫(℃)節(jié)假日天數(shù)居民消費價格指數(shù)128088102.52260105103.23220152103.54180221104.05160280104.56210322105.07290353105.58310340106.09240281106.510190220107.011230151107.512270107108.0（1）選擇合適的自變量，建立用電量預(yù)測的多元線性回歸模型；（2）利用該模型預(yù)測2025年1月（平均氣溫7℃，節(jié)假日10天，消費價格指數(shù)108.5）的用電量；（3）若家庭計劃通過調(diào)整用電習(xí)慣降低15%的用電量，提出具體的優(yōu)化方案并評估可行性。五、開放性建模題（25分）隨著新能源汽車的普及，某小區(qū)計劃建設(shè)電動汽車充電樁。小區(qū)現(xiàn)有住戶500戶，其中20%的家庭已擁有電動汽車，預(yù)計未來5年電動汽車保有量年均增長15%。小區(qū)公共區(qū)域可利用面積為800平方米，每個充電樁（含車位）占地面積10平方米，建設(shè)成本為0.8萬元/個，政府補貼0.3萬元/個，運營維護費用0.1萬元/個/年，充電服務(wù)費收入0.5元/度，每個充電樁平均年充電量約2000度。請你作為小區(qū)物業(yè)顧問，完成以下任務(wù)：（1）建立數(shù)學(xué)模型預(yù)測未來5年小區(qū)電動汽車的保有量；（2）設(shè)計充電樁的分年度建設(shè)方案，要求考慮資金約束（初始投資不超過20萬元）和空間約束；（3）對所建模型進行靈敏度分析，討論關(guān)鍵參數(shù)變化對方案的影響；（4）基于模型結(jié)果，給小區(qū)物業(yè)寫一份不超過300字的建議報告。（注：計算結(jié)果保留整數(shù)，建模過程需明確假設(shè)條件）參考答案及評分標(biāo)準（另附）選擇題：1-5BACCA6-10CBABB填空題：（1）模型假設(shè)模型檢驗（2）負強（3）目標(biāo)函數(shù)約束條件（4）季節(jié)性隨機性（5）直方圖折線圖簡答題：（1）模型假設(shè)作用：簡化問題、明確邊界、抓住關(guān)鍵因素（2分）；校園共享單車調(diào)度模型需考慮：用戶騎行時間分布、車輛損壞率、調(diào)度成本、站點容量限制等（6分，每點2分，答對3點即可）（2）設(shè)長x米，寬(200-x)米，面積S=x(200-x)=-x2+200x，當(dāng)x=100時面積最大為10000平方米，即設(shè)計為正方形