/2026年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)《代數(shù)式》強(qiáng)化訓(xùn)練含答案一．選擇題（共12小題）1．（2025?曲靖模擬）觀察下列按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：2，3+12，3?13，3+1A．2+(?1)nn B．2?(?1)2．（2025?涿州市校級三模）一個(gè)自然數(shù)若能表示為兩個(gè)自然數(shù)的平方差，則稱這個(gè)自然數(shù)為“智慧數(shù)”，比如99＝102﹣12，故99是一個(gè)智慧數(shù)．在下列各數(shù)中，不屬于“智慧數(shù)”的是（）A．15 B．16 C．17 D．183．（2025?任澤區(qū)一模）《九章算術(shù)》中記載一問題：今有共買物，人出七，盈四：人出六，不足三．問人數(shù)、物價(jià)各幾何？意思是：今有人合伙購物，每人出7錢，會(huì)多4錢；每人出6錢，又差3錢，問人數(shù)、物價(jià)各多少？設(shè)有x人，則表示物價(jià)的代數(shù)式可以是（）A．6（x+3） B．7x+4 C．6x﹣3 D．7x﹣44．（2025?金鄉(xiāng)縣一模）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，如圖是這類物質(zhì)前四種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個(gè)氫原子，第2種如圖②有6個(gè)氫原子，第3種如圖③有8個(gè)氫原子，…，按照這一規(guī)律，第20種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是（）A．40 B．42 C．44 D．465．（2025?西藏）觀察下列一組數(shù)：1.9，3.99，5.999，7.9999，9.99999，…按此規(guī)律，第n個(gè)數(shù)是（）A．2n﹣0.1n B．2n+1﹣0.1n C．2n﹣1+0.9n D．2n﹣1﹣0.1n6．（2025?鳳慶縣模擬）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式y(tǒng)2，3y4，5y6，7y8，?，則第n個(gè)單項(xiàng)式是（）A．（n+1）y2n B．nyn+2 C．（2n+1）y2n D．（2n﹣1）y2n7．（2025?江北區(qū)校級二模）用黑白兩種三角形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有4個(gè)黑色三角形，第②個(gè)圖案中有7個(gè)黑色三角形，第③個(gè)圖案中有10個(gè)黑色三角形，第④個(gè)圖案中有13個(gè)黑色三角形，…，依此規(guī)律排下去，則第⑧個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)為（）A．22 B．25 C．28 D．318．（2025?桑植縣一模）以下是一組按規(guī)律排列的多項(xiàng)式：1+2，a+3，a2+2，a3+A．n+n B．C．a(chǎn)n+n9．（2025?麗江模擬）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：﹣x2，4x4，﹣9x6，16x8，﹣25x10，36x12，…，則第n個(gè)單項(xiàng)式是（）A．（﹣1）n（n+1）2x2n B．（﹣1）n﹣1（n+1）2x2n C．（﹣1）nn2x2n D．（﹣1）n﹣1n2x2n10．（2025?江北區(qū)校級模擬）已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0，其中n，an﹣1，…，a1，a0為自然數(shù)，an為正整數(shù)，且滿足n+max（an，an﹣1，…，a0）＝4，其中max（an，an﹣1，…，a0）表示an，an﹣1，…，a0中最大的數(shù)．下列說法：①滿足條件的整式M中只有4個(gè)單項(xiàng)式；②在所有滿足條件的整式M中，整式M的系數(shù)和的最大值為6；③當(dāng)n≤2時(shí)，滿足條件的整式M共有19個(gè)．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．3 B．2 C．1 D．011．（2025?江北區(qū)校級模擬）五一期間，重慶無人機(jī)為游客呈現(xiàn)了一幕幕精彩的表演，在其中一幕表演中，小明發(fā)現(xiàn)無人機(jī)的數(shù)量具有規(guī)律，第①個(gè)圖案中有4架無人機(jī)，第②個(gè)圖案中有9架無人機(jī)，第③個(gè)圖案中有14架無人機(jī)，觀察圖形，按此規(guī)律，第⑥個(gè)圖案中的無人機(jī)數(shù)量是（）A．28 B．29 C．30 D．3112．（2025?江岸區(qū)校級模擬）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝用三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”，如下，這個(gè)三角形給出了的展開式的系數(shù)規(guī)律（按n的次數(shù)由大到小的順序）：11（a+b）1＝a+b121（a+b）2＝a2+2ab+b21331（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b314641（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4請依據(jù)上述規(guī)律判斷：若今天是星期三，則經(jīng)過1510天后是（）A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天二．填空題（共8小題）13．（2025?費(fèi)縣一模）有依次排列的3個(gè)數(shù)：5，12，10，對任意相鄰的兩個(gè)數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，所得之差寫在這兩個(gè)數(shù)之間，可產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)串：5，7，12，﹣2，10，這稱為第1次操作；做第2次同樣的操作后也可產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)串：5，2，7，5，12，﹣14，﹣2，12，10，繼續(xù)依次操作下去，問：從數(shù)串5，12，10，開始操作第2025次以后所產(chǎn)生的那個(gè)新數(shù)串的所有數(shù)之和是．14．（2025?遵義模擬）若單項(xiàng)式x2yn+1與單項(xiàng)式﹣2xmy4的和仍是單項(xiàng)式，則m﹣n＝．15．（2025?臨川區(qū)二模）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：4m，9m3，16m5，25m7，36m9，…據(jù)此規(guī)律，第12個(gè)單項(xiàng)式為．16．（2025?海陵區(qū)校級三模）素?cái)?shù)是只能被1和它自身整除的自然數(shù)，如2，3，5，7，11，…．已知命題“對于任意的自然數(shù)n，n2﹣n+41都是素?cái)?shù)”是一個(gè)假命題，在說明此命題是假命題時(shí)，我們只要舉一個(gè)反例就行了，例如當(dāng)n（n＜50）的值為時(shí)，n2﹣n+41不是一個(gè)素?cái)?shù)．17．（2025?玉樹市模擬）下列圖形都是由同樣大小的黑色正方形紙片組成，其中第①個(gè)圖中有3張黑色正方形紙片，第②個(gè)圖中有5張黑色正方形紙片，第③個(gè)圖中有7張黑色正方形紙片，…，按此規(guī)律排列下去第⑥個(gè)圖中黑色正方形紙片的張數(shù)為．18．（2025?徐州校級模擬）若實(shí)數(shù)x滿足x3﹣3x+2＝0，則代數(shù)式2025+6x﹣2x3的值為．19．（2025?乾縣校級二模）將形狀、大小完全相同的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律拼成圖案，其中第①個(gè)圖案中有2顆棋子，第②個(gè)圖案中有5顆棋子，第③個(gè)圖案中有8顆棋子，第④個(gè)圖案中有11顆棋子，…，按此規(guī)律，則第⑦個(gè)圖案中棋子的數(shù)量為顆．20．（2025?西城區(qū)校級三模）如圖所示，在一個(gè)半徑為1m的圓形軌道所在平面內(nèi)，垂直立一根柱子，設(shè)軌道到柱子的最近距離為d（d＞0），在圓形軌道上有精密測距儀，可以在軌道的不同的n個(gè)位置測量離柱子的距離h，用h1、h2…h(huán)n表示n個(gè)不同位置測量的距離．當(dāng)h1+h2+?+hn﹣1＝hn時(shí)，此時(shí)為軌道與柱子的最佳位置，此時(shí)的d為最佳距離，（1）當(dāng)最佳距離d＝1m時(shí)，hn的最大值為；（2）當(dāng)n的最大值為6時(shí)，最佳距離d的范圍是．三．解答題（共5小題）21．（2025?池州一模）觀察下列各式：第1個(gè)等式：?1×1第2個(gè)等式：?1第3個(gè)等式：?1（1）根據(jù)上述規(guī)律寫出第5個(gè)等式：；（2）第n個(gè)等式：；（用含n的式子表示）（3）計(jì)算：(?1×122．（2025?來安縣二模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：22﹣12＝1×3；第2個(gè)等式：42﹣22＝2×6；第3個(gè)等式：62﹣32＝3×9；第4個(gè)等式：82﹣42＝4×12；…按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第7個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．23．（2025?安徽三模）為提高學(xué)生的自主探究能力，我校開展了以興趣小組為單位的探究活動(dòng)，興趣小組在探究過程中發(fā)現(xiàn)：（n2+n+1）2＝a2+b2+c2（n，a，b，c均為正整數(shù)），探究過程如下：當(dāng)n＝1時(shí)，（12+1+1）2＝（1×2+1）2＝32；當(dāng)n＝2時(shí)，（22+2+1）2＝（2×3+1）2＝72；當(dāng)n＝3時(shí)，（32+3+1）2＝（3×4+1）2＝132；當(dāng)n＝4時(shí)，（42+4+1）2＝（4×5+1）2＝212；…（1）按照以上規(guī)律，填空：①當(dāng)n＝5時(shí)，（52+5+1）2＝（）2＝（）2；②猜想：（n2+n+1）2＝（）2．（2）興趣小組經(jīng)過探究還發(fā)現(xiàn)：12+22+（1×2）2＝9＝3222+32+（2×3）2＝49＝7232+42+（3×4）2＝169＝13242+52+（4×5）2＝441＝212……綜合以上探究，猜想：（n2+n+1）2＝（）2+（）2+（）2，并給出推理證明．24．（2025?宿松縣模擬）將10枚硬幣背面朝上放在桌子上，依次編號為①，②，③…⑩，記正面朝上為“+”，背面朝上為“﹣”，某興趣小組同學(xué)依次按照如下規(guī)則進(jìn)行翻硬幣游戲：第1次把所有編號能被1整除的硬幣翻一次，第2次把所有編號能被2整除的硬幣翻一次，第3次把所有編號能被3整除的硬幣翻一次…第n次把所有編號能被n整除的硬幣翻一次，游戲結(jié)束．（1）將下列表格補(bǔ)充完整：編號①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩翻次12232444結(jié)果+﹣﹣+﹣﹣﹣﹣（2）若有20枚硬幣，在游戲結(jié)束時(shí)，所有正面朝上的硬幣的編號為；（3）按照上述規(guī)則，若共有n枚硬幣在游戲結(jié)束時(shí)朝上，則硬幣數(shù)量最多為枚（用含有n的式子表示）．25．（2025?蚌埠模擬）閱讀材料：如果有一列數(shù)，從這列數(shù)的第2個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)與它的前一個(gè)數(shù)的比等于同一個(gè)非零的常數(shù)，這樣的一列數(shù)就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．（1）觀察一個(gè)等比數(shù)列1，13，19，127，…，它的公比q＝；若an（n為正整數(shù)）表示這個(gè)等比數(shù)列的第n項(xiàng)，則an（2）欲求1+2+22+23+24+?+230的值，可以按照如下步驟進(jìn)行：令S＝1+2+22+23+24+?+230①，等式兩邊都乘2，得2S＝2+22+23+24+25+?+231②，由②﹣①，得2S﹣S＝231﹣1，∴S＝231﹣1，即1+2+22+23+24+?+230的值為231﹣1．請根據(jù)以上解答過程，計(jì)算：1+3+32+33+?+32025．

參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題）題號1234567891011答案CDDBADBDCCB題號12答案A一．選擇題（共12小題）1．（2025?曲靖模擬）觀察下列按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：2，3+12，3?13，3+1A．2+(?1)nn B．2?(?1)【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類．【專題】規(guī)律型；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)前幾個(gè)式子的規(guī)律可得第n個(gè)式子，注意符號的變化．【解答】解：根據(jù)前面幾個(gè)式子的規(guī)律可得第n個(gè)式子為3+(?1)故選：C．【點(diǎn)評】本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，解題的關(guān)鍵是總結(jié)歸納出變化的規(guī)律．2．（2025?涿州市校級三模）一個(gè)自然數(shù)若能表示為兩個(gè)自然數(shù)的平方差，則稱這個(gè)自然數(shù)為“智慧數(shù)”，比如99＝102﹣12，故99是一個(gè)智慧數(shù)．在下列各數(shù)中，不屬于“智慧數(shù)”的是（）A．15 B．16 C．17 D．18【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】如果一個(gè)數(shù)是智慧數(shù)，就能表示為兩個(gè)非零自然數(shù)的平方差，設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別m、n，設(shè)m＞n，即智慧數(shù)＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），因?yàn)閙n是非0的自然數(shù)，因而m+n和m﹣n就是兩個(gè)自然數(shù)．要判斷一個(gè)數(shù)是否是智慧數(shù)，可以把這個(gè)數(shù)分解因數(shù)，分解成兩個(gè)整數(shù)的積，看著兩個(gè)數(shù)能否寫成兩個(gè)非0自然數(shù)的和與差．【解答】解：A、15＝42﹣12；B、16＝52﹣32；C、17＝92﹣82；D、18不能表示為兩個(gè)非零自然數(shù)的平方差．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了平方差公式，解決的方法就是對分解的每種情況進(jìn)行驗(yàn)證．3．（2025?任澤區(qū)一模）《九章算術(shù)》中記載一問題：今有共買物，人出七，盈四：人出六，不足三．問人數(shù)、物價(jià)各幾何？意思是：今有人合伙購物，每人出7錢，會(huì)多4錢；每人出6錢，又差3錢，問人數(shù)、物價(jià)各多少？設(shè)有x人，則表示物價(jià)的代數(shù)式可以是（）A．6（x+3） B．7x+4 C．6x﹣3 D．7x﹣4【考點(diǎn)】列代數(shù)式；數(shù)學(xué)常識．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】根據(jù)物價(jià)＝每人出的錢數(shù)乘以人數(shù)減去多的錢數(shù)或物價(jià)＝每人出的錢數(shù)乘以人數(shù)加上差的錢數(shù)，列出代數(shù)式即可求解．【解答】解：根據(jù)題意得，表示物價(jià)的代數(shù)式為：7x﹣4或6x+3．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了列代數(shù)式，掌握列代數(shù)式的方法是關(guān)鍵．4．（2025?金鄉(xiāng)縣一模）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，如圖是這類物質(zhì)前四種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個(gè)氫原子，第2種如圖②有6個(gè)氫原子，第3種如圖③有8個(gè)氫原子，…，按照這一規(guī)律，第20種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是（）A．40 B．42 C．44 D．46【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類．【專題】規(guī)律型；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】根據(jù)所給圖形，依次求出模型中氫原子的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．【解答】解：由所給圖形可知，第1種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)為：4＝1×2+2；第2種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)為：6＝2×2+2；第3種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)為：8＝3×2+2；第4種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)為：10＝4×2+2；第5種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)為：12＝5×2+2；…，所以第n種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)為（2n+2）個(gè)，當(dāng)n＝20時(shí)，2n+2＝42（個(gè)），即第20種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)為42個(gè)．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查圖形變化的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是關(guān)鍵．5．（2025?西藏）觀察下列一組數(shù)：1.9，3.99，5.999，7.9999，9.99999，…按此規(guī)律，第n個(gè)數(shù)是（）A．2n﹣0.1n B．2n+1﹣0.1n C．2n﹣1+0.9n D．2n﹣1﹣0.1n【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類．【專題】規(guī)律型；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】先確定整數(shù)部分規(guī)律為2n﹣1，再確定小數(shù)部分規(guī)律為1﹣0.1n，最后確定這一組數(shù)的規(guī)律即可．【解答】解：觀察這組數(shù)據(jù)可知：整數(shù)部分為1，3，5，7，9，……，則第n個(gè)數(shù)的整數(shù)部分為2n﹣1，小數(shù)部分0.9，0.99，0.999.0，9999，0.99999，……，則第n個(gè)數(shù)的小數(shù)部分為1﹣0.1n，∴按此規(guī)律，第n個(gè)數(shù)是2n﹣0.1n．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是關(guān)鍵．6．（2025?鳳慶縣模擬）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式y(tǒng)2，3y4，5y6，7y8，?，則第n個(gè)單項(xiàng)式是（）A．（n+1）y2n B．nyn+2 C．（2n+1）y2n D．（2n﹣1）y2n【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；單項(xiàng)式．【專題】規(guī)律型；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】直接利用已知單項(xiàng)式的次數(shù)與系數(shù)特點(diǎn)得出答案．【解答】解：第1個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是1，次數(shù)是2，第2個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是3，次數(shù)是4，第3個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是5，次數(shù)是6，第4個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是7，次數(shù)是8，…，∴第n個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是2（n﹣1）+1＝2n﹣1，次數(shù)是2n，∴第n個(gè)單項(xiàng)式是（2n﹣1）y2n．故選：D．【點(diǎn)評】此題考查了單項(xiàng)式，正確得出單項(xiàng)式次數(shù)與系數(shù)的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．7．（2025?江北區(qū)校級二模）用黑白兩種三角形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有4個(gè)黑色三角形，第②個(gè)圖案中有7個(gè)黑色三角形，第③個(gè)圖案中有10個(gè)黑色三角形，第④個(gè)圖案中有13個(gè)黑色三角形，…，依此規(guī)律排下去，則第⑧個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)為（）A．22 B．25 C．28 D．31【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類．【專題】猜想歸納；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)所給圖形，依次求出圖形中黑色三角形的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．【解答】解：由所給圖形可知，第①個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)為：4＝1×3+1；第②個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)為：7＝2×3+1；第③個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)為：10＝3×3+1；…，所以第n個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)為（3n+1）個(gè)．當(dāng)n＝8時(shí)，3n+1＝3×8+1＝25（個(gè)），即第⑧個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)為25個(gè)．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)黑色三角形個(gè)數(shù)變化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．8．（2025?桑植縣一模）以下是一組按規(guī)律排列的多項(xiàng)式：1+2，a+3，a2+2，a3+A．n+n B．C．a(chǎn)n+n【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；多項(xiàng)式．【專題】規(guī)律型；推理能力．【答案】D【分析】根據(jù)題意可知，1可以表示為a0，2=4，即可得出規(guī)律，即第n個(gè)多項(xiàng)式可以表示為：an﹣1+【解答】解：根據(jù)題意可知，按規(guī)律排列的多項(xiàng)式：1+2，a+3，a2+2，a其中1可以表示為a0，2=4∴第n個(gè)多項(xiàng)式可以表示為：an﹣1+n故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律，多項(xiàng)式，從題目中找出數(shù)字間的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．9．（2025?麗江模擬）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：﹣x2，4x4，﹣9x6，16x8，﹣25x10，36x12，…，則第n個(gè)單項(xiàng)式是（）A．（﹣1）n（n+1）2x2n B．（﹣1）n﹣1（n+1）2x2n C．（﹣1）nn2x2n D．（﹣1）n﹣1n2x2n【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；單項(xiàng)式．【專題】推理填空題；推理能力．【答案】C【分析】觀察﹣x2，4x4，﹣9x6，16x8，﹣25x10，36x12，的變化規(guī)，歸納出第n個(gè)單項(xiàng)式即可．【解答】解：由﹣x2，4x4，﹣9x6，16x8，﹣25x10，36x12，…，則可觀察歸納得第n個(gè)單項(xiàng)式是（﹣1）nn2x2n．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查單項(xiàng)式變化規(guī)律，解題關(guān)鍵是正確發(fā)現(xiàn)規(guī)律．10．（2025?江北區(qū)校級模擬）已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0，其中n，an﹣1，…，a1，a0為自然數(shù)，an為正整數(shù)，且滿足n+max（an，an﹣1，…，a0）＝4，其中max（an，an﹣1，…，a0）表示an，an﹣1，…，a0中最大的數(shù)．下列說法：①滿足條件的整式M中只有4個(gè)單項(xiàng)式；②在所有滿足條件的整式M中，整式M的系數(shù)和的最大值為6；③當(dāng)n≤2時(shí)，滿足條件的整式M共有19個(gè)．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．3 B．2 C．1 D．0【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；單項(xiàng)式；多項(xiàng)式．【專題】計(jì)算題；幾何直觀．【答案】C【分析】本題需要根據(jù)已知條件n+max{an，an﹣1，...，a0}＝4，對整式M的不同情況進(jìn)行分類討論，從而判斷各個(gè)說法的正確性．【解答】解：判斷說法①，當(dāng)n＝1時(shí)，若max{a1，a0}＝3，設(shè)a＝3，a＝0，則M＝3x是單項(xiàng)式；若a＝0，a＝3，則M＝3是單項(xiàng)式．當(dāng)n＝2時(shí)，若max{a2，a1，a0}＝2，設(shè)a2＝2，a1＝0，a0＝0，則M＝2x2是單項(xiàng)式；設(shè)a2＝0，a1＝0，a0＝2，則M＝2是單項(xiàng)式．設(shè)a2＝1，a1＝1，a0＝0，則M＝x2+x是多項(xiàng)式．當(dāng)n＝3時(shí)，若max{a3，a2，a1，a0}＝1，設(shè)a3＝1，a2＝0，a1＝0，a0＝0，則M＝x3是單項(xiàng)式．滿足條件的單項(xiàng)式有x3，2x2，3x，2，3等不止4個(gè)，所以說法①錯(cuò)誤．判斷說法②，當(dāng)n＝0時(shí)，max{a0}＝4，則M＝4，系數(shù)和為4．當(dāng)n＝1時(shí)，若a1＝3，a0＝0，M＝3x，系數(shù)和為3；若a1＝0，a0＝3，M＝3，系數(shù)和為3．當(dāng)n＝2時(shí)，若a2＝2，a1＝0，a0＝0，M＝2x2，系數(shù)和為2；若a2＝1，a1＝1，a0＝0，M＝x2+x，系數(shù)和為2．當(dāng)n＝3時(shí)，若a3＝1，a2＝0，a1＝0，a0＝0，M＝x3，系數(shù)和為1．當(dāng)n＝1，a1＝2，a0＝2時(shí)，M＝2x+2，系數(shù)和為4．當(dāng)n＝0，a0＝6不滿足n+max{an，an﹣1，...，a0}＝4．系數(shù)和最大為4，不是6，所以說法②錯(cuò)誤．判斷說法③，當(dāng)n＝0時(shí)，max{a0}＝4，a0＝4，有1個(gè)整式M＝4．當(dāng)n＝1時(shí)，若max{a1，a0}＝3，（a1，a0）可以為（3，0），（0，3）；若max{a1，a0}＝2，（a1，a0）可以為（2，0），（0，2），（2，1），（1，2）；若max{a1，a0}＝1，（a1，a0）可以為（1，0），（0，1），（1，1），共8個(gè)整式．當(dāng)n＝2時(shí)，若max{a2，a1，a0}＝2，（a2，a1，a0）有多種組合情況．當(dāng)a2＝2時(shí)，（a1，a0）有（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），（0，2），（2，0）等情況；當(dāng)a2＝1時(shí)也有多種情況，共9個(gè)整式．當(dāng)n＝3時(shí)，max{a3，a2，a1，a0}＝1，a3＝1，（a2，a1，a0）為（0，0，0），有1個(gè)整式．滿足條件的整式M共有1+8+9+1＝19個(gè)，所以說法③正確．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查邏輯推理能力，分類討論是解題關(guān)鍵．11．（2025?江北區(qū)校級模擬）五一期間，重慶無人機(jī)為游客呈現(xiàn)了一幕幕精彩的表演，在其中一幕表演中，小明發(fā)現(xiàn)無人機(jī)的數(shù)量具有規(guī)律，第①個(gè)圖案中有4架無人機(jī)，第②個(gè)圖案中有9架無人機(jī)，第③個(gè)圖案中有14架無人機(jī)，觀察圖形，按此規(guī)律，第⑥個(gè)圖案中的無人機(jī)數(shù)量是（）A．28 B．29 C．30 D．31【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類．【專題】猜想歸納；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)所給圖形，依次求出圖形中無人機(jī)的架數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．【解答】解：由所給圖形可知，第①個(gè)圖案中無人機(jī)的架數(shù)為：4＝1×5﹣1；第②個(gè)圖案中無人機(jī)的架數(shù)為：9＝2×5﹣1；第③個(gè)圖案中無人機(jī)的架數(shù)為：14＝3×5﹣1；…，所以第n個(gè)圖案中無人機(jī)的架數(shù)為（5n﹣1）架．當(dāng)n＝6時(shí)，5n﹣1＝5×6﹣1＝29（架），即第⑥個(gè)圖案中無人機(jī)的架數(shù)為29架．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)無人機(jī)架數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．12．（2025?江岸區(qū)校級模擬）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝用三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”，如下，這個(gè)三角形給出了的展開式的系數(shù)規(guī)律（按n的次數(shù)由大到小的順序）：11（a+b）1＝a+b121（a+b）2＝a2+2ab+b21331（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b314641（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4請依據(jù)上述規(guī)律判斷：若今天是星期三，則經(jīng)過1510天后是（）A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；完全平方公式；數(shù)學(xué)常識．【專題】規(guī)律型；創(chuàng)新意識．【答案】A【分析】結(jié)合一個(gè)星期7天，即相應(yīng)的尾數(shù)是7個(gè)數(shù)一循環(huán)，利用所給的規(guī)律求得1510天的尾數(shù)即可判斷．【解答】解：∵1510＝（14+1）10∴（14+1）10＝1410+10×149×1+…+10×14×19+110，∴（14+1）10÷7的余數(shù)為：1，即1510÷7的余數(shù)為：1，∴若今天是星期三，則經(jīng)過1510天后是星期四．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是理解清楚所給的規(guī)律，求得1510÷7的余數(shù)．二．填空題（共8小題）13．（2025?費(fèi)縣一模）有依次排列的3個(gè)數(shù)：5，12，10，對任意相鄰的兩個(gè)數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，所得之差寫在這兩個(gè)數(shù)之間，可產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)串：5，7，12，﹣2，10，這稱為第1次操作；做第2次同樣的操作后也可產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)串：5，2，7，5，12，﹣14，﹣2，12，10，繼續(xù)依次操作下去，問：從數(shù)串5，12，10，開始操作第2025次以后所產(chǎn)生的那個(gè)新數(shù)串的所有數(shù)之和是10152．【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類．【專題】猜想歸納；推理能力．【答案】10152．【分析】根據(jù)題意依次求出每次操作后所產(chǎn)生數(shù)串的所有數(shù)之和，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．【解答】解：由題知，因?yàn)?+12+10＝27，5+7+12+（﹣2）+10＝32，5+2+7+5+12+（﹣14）+（﹣2）+12+10＝37，…，所以每次操作加5．則27+2025×5＝10152，即第2025次操作后所有數(shù)之和為10152．故答案為：10152．【點(diǎn)評】本題主要考查了數(shù)字變化的規(guī)律，能通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)每次操作加5是解題的關(guān)鍵．14．（2025?遵義模擬）若單項(xiàng)式x2yn+1與單項(xiàng)式﹣2xmy4的和仍是單項(xiàng)式，則m﹣n＝﹣1．【考點(diǎn)】合并同類項(xiàng)．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】﹣1．【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則可得：m＝2，n+1＝4，從而可得：m＝2，n＝3，然后把m，n的值代入式子中進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵單項(xiàng)式x2yn+1與單項(xiàng)式﹣2xmy4的和仍是單項(xiàng)式，∴m＝2，n+1＝4，解得：m＝2，n＝3，∴m﹣n＝2﹣3＝﹣1，故答案為：﹣1．【點(diǎn)評】本題考查了合并同類項(xiàng)，熟練掌握合并同類項(xiàng)的法則是解題的關(guān)鍵．15．（2025?臨川區(qū)二模）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：4m，9m3，16m5，25m7，36m9，…據(jù)此規(guī)律，第12個(gè)單項(xiàng)式為169m23．【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；單項(xiàng)式．【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力．【答案】169m23．【分析】根據(jù)所給的單項(xiàng)式的特點(diǎn)，找到規(guī)律即可判斷．【解答】解：由題意可得：系數(shù)的排列規(guī)律為：4，9，16，25，?，（n+1）2，指數(shù)的排列規(guī)律為：1，3，5，7，?，2n﹣1，∴第n個(gè)單項(xiàng)式為：（n+1）2m2n﹣1，∴第12個(gè)單項(xiàng)式為：（12+1）2m2×12﹣1＝169m23．故答案為：169m23．【點(diǎn)評】本題考查單項(xiàng)式的規(guī)律探索，能根據(jù)題中給出的單項(xiàng)式正確找到規(guī)律是解題關(guān)鍵．16．（2025?海陵區(qū)校級三模）素?cái)?shù)是只能被1和它自身整除的自然數(shù)，如2，3，5，7，11，…．已知命題“對于任意的自然數(shù)n，n2﹣n+41都是素?cái)?shù)”是一個(gè)假命題，在說明此命題是假命題時(shí)，我們只要舉一個(gè)反例就行了，例如當(dāng)n（n＜50）的值為41時(shí)，n2﹣n+41不是一個(gè)素?cái)?shù)．【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；命題與定理．【專題】規(guī)律型．【答案】41．【分析】通過代入不同的自然數(shù)n（n＜50）到n2﹣n+41中，計(jì)算結(jié)果并判斷是否為素?cái)?shù)，找到反例．【解答】解：當(dāng)n＝40時(shí)，n2﹣n+41＝402﹣40+41＝1600﹣40+41＝1601，1601是素?cái)?shù)；當(dāng)n＝41時(shí)，n2﹣n+41＝412﹣41+41＝1681﹣41+41＝1681，1681＝41×41，不是素?cái)?shù)．故答案為：41．【點(diǎn)評】本題主要考查素?cái)?shù)的定義，熟練掌握素?cái)?shù)的定義（只能被1和它自身整除的自然數(shù)）是解題的關(guān)鍵．17．（2025?玉樹市模擬）下列圖形都是由同樣大小的黑色正方形紙片組成，其中第①個(gè)圖中有3張黑色正方形紙片，第②個(gè)圖中有5張黑色正方形紙片，第③個(gè)圖中有7張黑色正方形紙片，…，按此規(guī)律排列下去第⑥個(gè)圖中黑色正方形紙片的張數(shù)為13．【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類．【專題】推理填空題；整式．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】仔細(xì)觀察圖形知道第一個(gè)圖形有3個(gè)正方形，第二個(gè)有5＝3+2×1個(gè)，第三個(gè)圖形有7＝3+2×2個(gè)，由此得到規(guī)律求得第⑥個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)即可．【解答】解：觀察圖形知：第一個(gè)圖形有3個(gè)正方形，第二個(gè)有5＝3+2×1個(gè)，第三個(gè)圖形有7＝3+2×2個(gè)，…故第⑥個(gè)圖形有3+2×5＝13（個(gè)），故答案為：13．【點(diǎn)評】此題主要考查了圖形的變化規(guī)律，是根據(jù)圖形進(jìn)行數(shù)字猜想的問題，關(guān)鍵是通過歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律，然后利用規(guī)律解決一般問題．18．（2025?徐州校級模擬）若實(shí)數(shù)x滿足x3﹣3x+2＝0，則代數(shù)式2025+6x﹣2x3的值為2029．【考點(diǎn)】代數(shù)式求值．【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力．【答案】2029．【分析】先根據(jù)已知條件求出x3﹣3x＝﹣2，把所求式子寫成含有x3﹣3x的形式，再整體代入進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵x3﹣3x+2＝0，∴x3﹣3x＝﹣2，∴2025+6x﹣2x3的＝2025﹣2（x3﹣3x）＝2025﹣2×（﹣2）＝2025+4＝2029，故答案為：2029．【點(diǎn)評】本題主要考查了代數(shù)式求值，解題關(guān)鍵是熟練掌握利用整體代入法求值的方法．19．（2025?乾縣校級二模）將形狀、大小完全相同的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律拼成圖案，其中第①個(gè)圖案中有2顆棋子，第②個(gè)圖案中有5顆棋子，第③個(gè)圖案中有8顆棋子，第④個(gè)圖案中有11顆棋子，…，按此規(guī)律，則第⑦個(gè)圖案中棋子的數(shù)量為20顆．【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類．【專題】猜想歸納；推理能力．【答案】20．【分析】根據(jù)所給圖形，依次求出圖形中棋子的顆數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．【解答】解：由所給圖形可知，第①個(gè)圖案中棋子的數(shù)量為：2＝1×3﹣1；第②個(gè)圖案中棋子的數(shù)量為：5＝2×3﹣1；第③個(gè)圖案中棋子的數(shù)量為：8＝3×3﹣1；…，所以第n個(gè)圖案中棋子的數(shù)量為（3n﹣1）顆．當(dāng)n＝7時(shí)，3n﹣1＝3×7﹣1＝20（顆），即第⑦個(gè)圖案中棋子的數(shù)量為20顆．故答案為：20．【點(diǎn)評】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)棋子的顆數(shù)依次增加3是解題的關(guān)鍵．20．（2025?西城區(qū)校級三模）如圖所示，在一個(gè)半徑為1m的圓形軌道所在平面內(nèi)，垂直立一根柱子，設(shè)軌道到柱子的最近距離為d（d＞0），在圓形軌道上有精密測距儀，可以在軌道的不同的n個(gè)位置測量離柱子的距離h，用h1、h2…h(huán)n表示n個(gè)不同位置測量的距離．當(dāng)h1+h2+?+hn﹣1＝hn時(shí)，此時(shí)為軌道與柱子的最佳位置，此時(shí)的d為最佳距離，（1）當(dāng)最佳距離d＝1m時(shí)，hn的最大值為3m；（2）當(dāng)n的最大值為6時(shí)，最佳距離d的范圍是0.4m≤d＜0.5m．【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類；平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．【答案】（1）3m；（2）0.4m≤d＜0.5m．【分析】（1）根據(jù)圓的性質(zhì)，當(dāng)最佳距離d＝1m時(shí)，利用圓上一點(diǎn)到圓外一點(diǎn)距離的最值關(guān)系求解hn最大值；（2）根據(jù)h1+h2+?+hn﹣1＝hn以及圓上點(diǎn)到圓外一條直線的距離的取值范圍，結(jié)合n的最大值為6，建立不等式求解，即可得最佳距離d的范圍．【解答】解：（1）如圖，軌道圓心記為點(diǎn)O，立柱所在直線記為MN，作OH⊥MN，與⊙O交于點(diǎn)B，點(diǎn)A，與MN交于點(diǎn)H，根據(jù)題意可知，OA＝OB＝1m，d＝AH，∴AB＝OA+OB＝1+1＝2（m），當(dāng)最佳距離d＝1m時(shí)，AH＝1m，∴BH＝2+1＝3（m），∴1m≤h≤3m，hn的最大值為3m，故答案為：3m；（2）當(dāng)n＝6時(shí)，h1+h2+h3+h4+h5＝h6，根據(jù)題意可得，d≤h≤d+2m，∵h(yuǎn)1+h2+h3+h4+h5＞5d，h6≤d+2m，∴5d＜d+2m，∴d＜0.5m，當(dāng)n的最大值為6時(shí)，h1+h2+h3+h4+h5+h6＞6d，h7＞d+2m，∴6d≥d+2m，∴d≥0.4m，∴0.4m≤d＜0.5m，故答案為：0.4m≤d＜0.5m．【點(diǎn)評】本題考查圓上一點(diǎn)到圓外直線的距離，解題的關(guān)鍵是正確理解題意．三．解答題（共5小題）21．（2025?池州一模）觀察下列各式：第1個(gè)等式：?1×1第2個(gè)等式：?1第3個(gè)等式：?1（1）根據(jù)上述規(guī)律寫出第5個(gè)等式：?15（2）第n個(gè)等式：?1n×1（3）計(jì)算：(?1×1【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；有理數(shù)的混合運(yùn)算．【專題】規(guī)律型；運(yùn)算能力．【答案】（1）?15×16【分析】（1）觀察可知兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)的負(fù)倒數(shù)的乘積等于較小數(shù)的負(fù)倒數(shù)加上較大數(shù)的倒數(shù)，又等于兩個(gè)正整數(shù)乘積的負(fù)倒數(shù)，據(jù)此規(guī)律求解即可；（2）根據(jù)（1）所求即可得到答案；（3）根據(jù)所得規(guī)律把所求式子裂項(xiàng)求解即可．【解答】解：（1）由前三個(gè)等式以此類推可知，第n個(gè)等式：?1n×∴第5個(gè)等式：?1（2）由（1）可得第n個(gè)等式：?1（3）原式=(?1+=?1+1=?1+1=?2024【點(diǎn)評】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是關(guān)鍵．22．（2025?來安縣二模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：22﹣12＝1×3；第2個(gè)等式：42﹣22＝2×6；第3個(gè)等式：62﹣32＝3×9；第4個(gè)等式：82﹣42＝4×12；…按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第7個(gè)等式：142﹣72＝7×21；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；有理數(shù)的混合運(yùn)算；列代數(shù)式．【專題】規(guī)律型；運(yùn)算能力．【答案】（1）142﹣72＝7×21；（2）（2n）2﹣n2＝n?3n，證明如下：左邊＝4n2﹣n2＝3n2，右邊＝3n2，∴左邊＝右邊，∴（2n）2﹣n2＝n?3n成立．【分析】（1）根據(jù)題目中等式的特點(diǎn)，寫出第7個(gè)等式即可；（2）根據(jù)題目中等式的特點(diǎn)，寫出猜想（2n）2﹣n2＝n?3n，再分別計(jì)算等式左邊和右邊，看是否相等，即可證明猜想．【解答】解：（1）根據(jù)題目中等式的特點(diǎn)可知：第7個(gè)等式：142﹣72＝7×21．故答案為：142﹣72＝7×21；（2）猜想：（2n）2﹣n2＝n?3n；證明如下：左邊＝4n2﹣n2＝3n2，右邊＝3n2，∴左邊＝右邊，∴（2n）2﹣n2＝n?3n成立．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)字的變化類、列代數(shù)式，積的乘方運(yùn)算，了解等式的特點(diǎn)，熟練掌握以上知識點(diǎn)是關(guān)鍵．23．（2025?安徽三模）為提高學(xué)生的自主探究能力，我校開展了以興趣小組為單位的探究活動(dòng)，興趣小組在探究過程中發(fā)現(xiàn)：（n2+n+1）2＝a2+b2+c2（n，a，b，c均為正整數(shù)），探究過程如下：當(dāng)n＝1時(shí)，（12+1+1）2＝（1×2+1）2＝32；當(dāng)n＝2時(shí)，（22+2+1）2＝（2×3+1）2＝72；當(dāng)n＝3時(shí)，（32+3+1）2＝（3×4+1）2＝132；當(dāng)n＝4時(shí)，（42+4+1）2＝（4×5+1）2＝212；…（1）按照以上規(guī)律，填空：①當(dāng)n＝5時(shí)，（52+5+1）2＝（5×6+1）2＝（31）2；②猜想：（n2+n+1）2＝（n（n+1）+1）2．（2）興趣小組經(jīng)過探究還發(fā)現(xiàn)：12+22+（1×2）2＝9＝3222+32+（2×3）2＝49＝7232+42+（3×4）2＝169＝13242+52+（4×5）2＝441＝212……綜合以上探究，猜想：（n2+n+1）2＝（n）2+（n+1）2+（n（n+1））2，并給出推理證明．【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方．【專題】規(guī)律型；創(chuàng)新意識．【答案】（1）①5×6+1；②n（n+1）+1；（2）n，n+1，n（n+1），（n2+n+1）2，＝[n（n+1）+1]2，＝[n（n+1）]2+2n（n+1）+1，＝[n（n+1）]2+2n2+2n+1，＝[n（n+1）]2+n2+（n2+2n+1），＝[n（n+1）]2+n2+（n+1）2，所以左邊＝右邊，猜想成立．【分析】（1）根據(jù)所給等式，觀察各部分的變化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決①②．（2）根據(jù)所給等式，觀察各部分的變化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并進(jìn)行證明即可．【解答】解：（1）①當(dāng)n＝5時(shí)，（52+5+1）2＝（5×6+1）2＝312；②猜想：（n2+n+1）2＝[n（n+1）+1]2．故答案為：①5×6+1，31；②n（n+1）+1；（2）猜想：（n2+n+1）2＝n2+（n+1）2+[n（n+1）]2，證明：（n2+n+1）2，＝[n（n+1）+1]2，＝[n（n+1）]2+2n（n+1）+1，＝[n（n+1）]2+2n2+2n+1，＝[n（n+