江蘇省淮安市高中教學(xué)協(xié)作體2025年高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，，則下列各式中正確的是（）A. B.C. D.2．已知平面，的法向量分別為，，則（）A. B.C.，相交但不垂直 D.，的位置關(guān)系不確定3．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，=（）A.1 B.2C. D.44．若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則最小值為（）A.-2 B.-1C.1 D.25．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)記為，則等于（）A. B.C. D.6．過(guò)點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的雙曲線方程為（）A B.C. D.7．已知全集，集合，，則（）A. B.C. D.8．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（）A B.C. D.9．已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，M是拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥l于N.若△MNF是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則p=（）A. B.C.1 D.210．已知直線l：，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線l的傾斜角是B.直線l在x軸上的截距為1C.若直線m：，則D.過(guò)與直線l平行的直線方程是11．函數(shù)，則的值為（）A B.C. D.12．東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”，根據(jù)面積關(guān)系給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1，它由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.我們通過(guò)類比得到圖2，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形.對(duì)于圖2.下列結(jié)論正確的是（）①這三個(gè)全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形；②若，，則；③若，則；④若是的中點(diǎn)，則三角形的面積是三角形面積的7倍.A.①②④ B.①②③C.②③④ D.①③④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，某湖有一半徑為的半圓形岸邊，現(xiàn)決定在圓心O處設(shè)立一個(gè)水文監(jiān)測(cè)中心（大小忽略不計(jì)），在其正東方向相距的點(diǎn)A處安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備．為了監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確，在半圓弧上的點(diǎn)B以及湖中的點(diǎn)C處，再分別安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備，且，．定義：四邊形及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)椤爸苯颖O(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”，設(shè)．則“直接監(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”面積的最大值為________14．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難人微”.事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，如：與相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的幾何問(wèn)題.結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得方程的解是__________.15．已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為，，則__________.16．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)_________________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線上，并解答.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且___________.（1）求角的大??；（2）已知，，點(diǎn)在邊上，且，求線段的長(zhǎng).注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.18．（12分）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸，F(xiàn)到直線的距離為.點(diǎn)為此拋物線上的一點(diǎn)，.直線l與拋物線交于異于N的兩點(diǎn)A，B，且.（1）求拋物線方程和N點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).19．（12分）已知函數(shù).（1）若，求的極值；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a取值范圍.20．（12分）設(shè)橢圓E：（a，b>0）過(guò)M（2，），N(，1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說(shuō)明理由.21．（12分）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：對(duì)任意正整數(shù)n，22．（10分）設(shè)橢圓方程為，短軸長(zhǎng)，____________.請(qǐng)?jiān)冖倥c雙曲線有相同的焦點(diǎn)，②離心率，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上，完成以下問(wèn)題.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意，結(jié)合，，利用不等式的性質(zhì)可判斷，從而判斷，再利用不等式性質(zhì)得出正確答案.【詳解】，，，又，，兩邊同乘以負(fù)數(shù)，可知故選：D2、C【解析】利用向量法判斷平面與平面的位置關(guān)系.【詳解】因?yàn)槠矫?，的法向量分別為，，所以，即不垂直，則，不垂直，因?yàn)椋醇床黄叫校瑒t，不平行，所以，相交但不垂直，故選：C3、B【解析】根據(jù)拋物線定義，轉(zhuǎn)化，要使有最小值，只需最大，即直線與拋物線相切，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，求出斜率，然后求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解.【詳解】由題知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，，過(guò)P作垂直于準(zhǔn)線于，連接，由拋物線定義知.由正弦函數(shù)知，要使最小值，即最小，即最大，即直線斜率最大，即直線與拋物線相切.設(shè)所在的直線方程為：，聯(lián)立拋物線方程：，整理得：則，解得即，解得，代入得或，再利用焦半徑公式得故選：B.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是要將取最小值轉(zhuǎn)化為直線斜率最大，再轉(zhuǎn)化為拋物線的切線，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.4、B【解析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案【詳解】由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得，由，得，由圖可知，當(dāng)直線過(guò)時(shí)，直線在軸上的截距最小，有最小值為故選：B5、D【解析】求導(dǎo)后代入即可.【詳解】，.故選：D.6、D【解析】設(shè)雙曲線的方程為，再代點(diǎn)解方程即得解.【詳解】解：由得，所以橢圓的焦點(diǎn)為.設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)，所以.所以雙曲線的方程為.故選：D7、A【解析】先求，然后求.【詳解】，，.故選：A8、D【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于，原函數(shù)單調(diào)遞增；導(dǎo)函數(shù)小于，原函數(shù)單調(diào)遞減；即可得出正確答案.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)得圖象可得：時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，排除選項(xiàng)A、B，當(dāng)時(shí)，先正后負(fù)，所以在先增后減，因選項(xiàng)C是先減后增再減，故排除選項(xiàng)C，故選：D.9、C【解析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示：準(zhǔn)線l與橫軸的交點(diǎn)為，由拋物線的性質(zhì)可知：，因?yàn)槿簟鱉NF是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以，，顯然，在直角三角形中，，故選：C10、D【解析】A.將直線方程的一般式化為斜截式可得；B.令y＝0可得；C.求出直線m斜率即可判斷；D.設(shè)要求直線的方程為，將代入即可.【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，直線l：，即，其斜率，則傾斜角是，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線l：，令y＝0，可得，l在x軸上的截距為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，直線m：，其斜率，，故直線m與直線l不垂直，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)要求直線的方程為，將代入，可得t＝0，即要求直線為，D正確；故選：D11、B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入求值即可.【詳解】函數(shù),故，所以，故選：B12、A【解析】對(duì)于①，由三角形大邊對(duì)大角的性質(zhì)分析，對(duì)于②，根據(jù)題意利用正弦定理分析，對(duì)于③，利用余弦定理分析，對(duì)于④，利用三角形的面積公式分析判斷【詳解】對(duì)于①，根據(jù)題意，圖2，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，故，，所以這三個(gè)全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形，故①正確；對(duì)于②，由題知，在中，，，，所以，所以由正弦定理得解得，因?yàn)椋?，故②正確；對(duì)于③，不妨設(shè)，所以在中，由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)得，所以，所以，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若是的中點(diǎn)，則，所以，故④正確.故選：A第II卷（非選擇題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意，根據(jù)余弦定理得的值，則四邊形的面積表示為，再代入面積公式化簡(jiǎn)為三角函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解最大值即可.【詳解】在中，，，，，，則（其中），當(dāng)時(shí)，取最大值，所以“直接監(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”面積的最大值.故答案為：.【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是將四邊形的面積表示為，代入面積公式后化簡(jiǎn)得三角函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解最大值.14、【解析】根據(jù)題意，列方程計(jì)算即可【詳解】因?yàn)?，所以，可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為，所以點(diǎn)在橢圓上，則，解得.故答案為：15、##【解析】根據(jù)截距定義，分別令，可得.【詳解】由直線，令得，即令，得，即，故.故答案為：16、.【解析】根據(jù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）若選①，則根據(jù)正弦定理，邊化角，結(jié)合二倍角公式，求得，可得答案；若選②，則根據(jù)余弦定理和三角形面積公式，將化簡(jiǎn)，求得，可得答案；若選③，則切化弦，化簡(jiǎn)可得到的值，求得答案；（2）由余弦定理求出，進(jìn)而求得,設(shè)，，在中用余弦定理列出方程，求得答案.【小問(wèn)1詳解】若選①，則根據(jù)正弦定理可得：，由于,，故，則；若選②，則，即，則，而，故；若選③，則，即，則，而，故；【小問(wèn)2詳解】如圖示：,故，故,在中，設(shè)，則，則，即，解得，或（舍去）故.18、（1），（2）證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)【解析】（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，利用點(diǎn)到直線距離公式可求出，再利用焦半徑公式可求出N點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理計(jì)算，可得關(guān)系，然后代入直線方程可得定點(diǎn).【小問(wèn)1詳解】設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，其焦點(diǎn)為則，∴所以拋物線的方程為.，所以，所以.因?yàn)?，所以，所?【小問(wèn)2詳解】由題意知，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為（），聯(lián)立方程得設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)，（，）.所以所以，即整理得，此時(shí)恒成立，此時(shí)直線l的方程為，可化為，從而直線過(guò)定點(diǎn).19、（1）極小值為，無(wú)極大值（2）【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求出，分別令、，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出極值；(2)利用導(dǎo)數(shù)討論、0時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)的最小值小于0，解不等式即可.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，時(shí)，.令，解得，∵在上，，在上，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的極小值為，無(wú)極大值.【小問(wèn)2詳解】，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，此時(shí)不可能有2個(gè)零點(diǎn).當(dāng)0時(shí).令，得，∵在上，，在上，），∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的最小值為.∵有兩個(gè)零點(diǎn)，∴，即，∴.經(jīng)驗(yàn)證，若，則，且，又，∴有兩個(gè)零點(diǎn).綜上，a的取值范圍是.20、（1）；（2）存在，，.【解析】（1）根據(jù)橢圓E：（a，b>0）過(guò)M（2，），N(，1)兩點(diǎn)，直接代入方程解方程組即可.（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)該圓的切線方程為，聯(lián)立，根據(jù)，結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算，同時(shí)滿足，則存在，否則不存在，當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證即可；在該圓的方程存在時(shí)，利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合韋達(dá)定理得到求解.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓E：（a，b>0）過(guò)M（2，），N(，1)兩點(diǎn)，所以，解得，所以，所以橢圓E的方程為.（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且，設(shè)該圓的切線方程為，聯(lián)立得，則△=，即，，，要使，需使，即，所以，所以，又，所以，所以，即或，因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，所以圓的半徑為，，所以，則所求的圓為，此時(shí)圓的切線都滿足或，而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足，綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且.因?yàn)?，所以，，①?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”.②當(dāng)時(shí)，.③當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，兩個(gè)交點(diǎn)為或，所以此時(shí)，綜上，|AB|的取值范圍為，即：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：1、解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問(wèn)題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問(wèn)題．涉及弦中點(diǎn)的問(wèn)題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單2、設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(k為直線斜率)注意：利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式大于零21、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】(1)由，令，得，或，又的定義域?yàn)?，討論兩個(gè)根及的大小關(guān)系，即可判定函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，在，上遞減，則，即，由此能夠證明【小問(wèn)1詳解】的定義域?yàn)?，，令，得，或，①?dāng)，即時(shí)，若，則，遞增；若，則，遞減；②當(dāng)，即時(shí)，若，則，遞減；若，則，遞增；若，則，遞減；綜上所述，當(dāng)－2＜a＜0時(shí)，f(x)在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【小問(wèn)2詳解】由(2)知當(dāng)時(shí)，在，上遞減，，即，，，，2，3，，，，【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，本題的關(guān)鍵是令a＝1，用已知函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造，再令x＝恰當(dāng)?shù)乩脤?duì)數(shù)求和進(jìn)行解題22、（1）答案見(jiàn)解析，.（2）.【解析】（1）若選①：求得雙曲線得雙曲線的焦點(diǎn)得出橢圓的，再由，可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若選②：根據(jù)已知條件和橢圓的離心率可求得，從而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若選③：由已知建立方程，求解可求得