13.1三角形的邊角關(guān)系（三角形中的經(jīng)典模型）題型一A字模型1．（2021九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖是某建筑工地上的人字架，若，那么的度數(shù)為．2．（2021九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，中，，直線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，則（

）．A． B． C． D．3．（2021九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，的兩邊上各有一點(diǎn)，連接，求證．題型二8字模型1．（24-25八年級(jí)上·安徽安慶·期中）（1）生活中處處需要和諧，幾何學(xué)也如此，如圖1所示的圖形我們稱之為“和諧8字形”，則、、、之間的數(shù)量關(guān)系．（2）在圖2中和的平分線和相交于P點(diǎn)，交叉形成了多個(gè)“和諧8字形”，若，，那么的度數(shù)是．2．（24-25八年級(jí)上·江西南昌·階段練習(xí)）【模型理解】（1）如圖1，和交于點(diǎn)O，求證：．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，，分別平分，，求證：．3．（22-23八年級(jí)上·新疆烏魯木齊·期中）（1）模型：如圖1，，交于點(diǎn)．求證：．（2）模型應(yīng)用：如圖2，和的平分線交于點(diǎn)．①若，，則的度數(shù)是？②直接寫出與，之間的數(shù)量關(guān)系是：（3）類比應(yīng)用：如圖3，的平分線與的平分線交于點(diǎn)．若，，（）．求的度數(shù)．（用含有，的式子表示）4．（23-24八年級(jí)上·遼寧丹東·期末）【數(shù)學(xué)模型】“8字型”是初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”中的常用模型，通常由一組對(duì)頂角所在的兩個(gè)三角形構(gòu)成．如圖1，交于點(diǎn)，根據(jù)“三角形內(nèi)角和是”，不難得出兩個(gè)三角形中的角存在以下關(guān)系：①（對(duì)頂角相等）；②．【提出問題】分別作出和的平分線，兩條角平分線交于點(diǎn)，如圖2，與，之間是否存在某種數(shù)量關(guān)系呢？【解決問題】為了解決上面的問題，我們從特例開始探究．已知的平分線與的平分線交于點(diǎn)．(1)如圖2，，，則的度數(shù)是多少呢？易證，請(qǐng)你完成后續(xù)的推理過程：______，分別是，的平分線，______又，______度．(2)在總結(jié)前面問題的基礎(chǔ)上，借助圖2，直接寫出與，之間的數(shù)量關(guān)系是：______．【類比應(yīng)用】(3)如圖3，的平分線與的平分線交于點(diǎn)．已知：，，則______．（用、表示）題型三飛鏢模型1．（2021九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知在中，，現(xiàn)將一塊直角三角板放在上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過點(diǎn)，直角頂點(diǎn)D落在的內(nèi)部，則（

）．A． B． C． D．2．（23-24七年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖1，凹四邊形形似圓規(guī)，這樣的四邊形稱為“規(guī)形”．模型探究（1）如圖1，在規(guī)形中，請(qǐng)?zhí)骄恐g的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．實(shí)踐應(yīng)用（2）應(yīng)用（1）中探究的結(jié)論解決下列問題：①如圖2，在規(guī)形中，與的角平分線交于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)是_________；②如圖3，在規(guī)形中，若的角平分線交于點(diǎn)E，且，試探究之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．3．（24-25八年級(jí)上·山東青島·期末）【建立模型】如圖1，在內(nèi)部有一點(diǎn)，連接、，求證：；【嘗試應(yīng)用】如圖2，利用上面的結(jié)論，直接寫出五角星中，______度；【拓展創(chuàng)新】如圖3，將五角星截去一個(gè)角后多出一個(gè)角，求的度數(shù)．【提升思維】如圖4，將五角星的每個(gè)角都截去，則一共得到10個(gè)角，則這10個(gè)角的和的度數(shù)是______度．

題型四老鷹抓小雞模型1．（23-24八年級(jí)上·重慶永川·期中）一張三角形紙片部分如圖所示，將折疊，為折痕，A點(diǎn)落在的位置，若，則．2．（24-25八年級(jí)上·天津·期中）如圖，把紙片沿折疊，使點(diǎn)落在內(nèi)部點(diǎn)處，若，則等于．3（24-25八年級(jí)上·廣西南寧·階段練習(xí)）【問題呈現(xiàn)】小明在學(xué)習(xí)了三角形有關(guān)內(nèi)角與外角的相關(guān)知識(shí)后遇到這樣一個(gè)問題：如圖①，與分別為的兩個(gè)外角，求證：．（1）以下是小明給出的部分推理過程，請(qǐng)你幫他完成證明【推理證明】∵與分別為的兩個(gè)外角，∴，，∴??【應(yīng)用】利用（1）中所證明的結(jié)論解決下列問題：（2）如圖②，在紙片中剪去，得到四邊形，若，，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)，不需要說明理由；（3）如圖③，在中，、分別為外角、的平分線，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．4．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期中）如圖，把紙片沿折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形內(nèi)部時(shí)，(1)寫出圖中一對(duì)全等的三角形，并寫出它們的所有對(duì)應(yīng)角；(2)設(shè)的度數(shù)為，的度數(shù)為，那么，的度數(shù)分別是多少？（用含有x或y的代數(shù)式表示）(3)與之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請(qǐng)找出這個(gè)規(guī)律（寫過程）．題型一三角形折疊模型1．（24-25七年級(jí)下·江蘇南京·期末）如圖，將紙片沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．若，則°．2．（22-23七年級(jí)下·江蘇宿遷·期中）如圖，中，E是邊上的點(diǎn)，先將沿著翻折，翻折后的邊交于點(diǎn)D，又將△沿著翻折，點(diǎn)C恰好落在上的點(diǎn)G處，此時(shí)，則原三角形的的度數(shù)為．3．（2024八年級(jí)上·黑龍江·專題練習(xí)）新考向【動(dòng)手操作】一個(gè)三角形的紙片，沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處．【觀察猜想】（1）如圖①，若，則___________°；若，則___________°；若，則___________°；【探索證明】（2）利用圖①，探索與的關(guān)系，并說明理由；【拓展應(yīng)用】（3）如圖②，把折疊后，平分，平分，若，利用（2）中的結(jié)論求的度數(shù)．4．（24-25八年級(jí)上·河南漯河·階段練習(xí)）如圖（1）所示，把沿折疊，(1)當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形內(nèi)部時(shí)，與、之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請(qǐng)?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律，請(qǐng)你寫出規(guī)律并證明你的規(guī)律．(2)當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形上方時(shí)，與、之間數(shù)量關(guān)系是．(3)當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形下方時(shí)，與、之間數(shù)量關(guān)系是．題型二三角形雙角平分線模型（兩內(nèi)）1．（24-25八年級(jí)下·甘肅武威·開學(xué)考試）如圖，在中，與的平分線交于點(diǎn)P，若，則．2．（24-25八年級(jí)上·四川自貢·期末）如圖，在中，，的平分線，相交于點(diǎn)F，，，則．3．（24-25八年級(jí)上·江西上饒·階段練習(xí)）如圖，的和的平分線相交于點(diǎn)G，則與的數(shù)量關(guān)系是．題型三三角形雙角平分線模型（一內(nèi)一外）1．（24-25八年級(jí)上·安徽六安·期末）如圖，在中，和外角的平分線交于點(diǎn)，得；和的平分線交于點(diǎn)，得，已知、、的和為，則．2．（24-25八年級(jí)下·河北石家莊·期中）如圖，在中，度，與的平分線交于點(diǎn)，則∠＝；∠與∠的平分線交于點(diǎn)，得∠；……∠與的平分線交于點(diǎn)，得∠．則∠＝°題型四三角形雙角平分線模型（兩外）1．（24-25八年級(jí)上·廣東汕頭·階段練習(xí)）如圖①，在中，與的平分線相交于點(diǎn)．(1)如果，求的度數(shù)；（用含的式子表示）(2)如圖②，作外角，的角平分線交于點(diǎn)，直接寫出與之間滿足的數(shù)量關(guān)系______；(3)如圖③，延長(zhǎng)線段交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)．2．（22-23七年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期末）【探索發(fā)現(xiàn)】在一次數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，劉華遇到了下面的這個(gè)問題：如圖①，在中，平分，平分，請(qǐng)你判斷和間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．劉華對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了判斷并給出了證明過程，下面是部分證明過程，請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過程．解：結(jié)論：_________．理由：∵平分，平分，∴．∴_________．【模型發(fā)展】如圖②，點(diǎn)P是的外角平分線與的交點(diǎn)，請(qǐng)你判斷和間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【解決問題】如圖③，在中，平分，平分，點(diǎn)Q是的外角平分線與的交點(diǎn)．若，則______度．

題型五高+角平分線模型1．（24-25八年級(jí)上·安徽宿州·期末）如圖，在中，是的高，是的平分線，是的平分線，相交于點(diǎn)．(1)求的度數(shù)；(2)求的度數(shù)．2．（24-25七年級(jí)上·山東淄博·階段練習(xí)）（1）如圖①所示，在中，分別是的高和角平分線，若，，求的度數(shù)．（2）如圖②所示，已知平分，交邊于點(diǎn)E，過點(diǎn)F作于點(diǎn)D，，．①；（用含x的式子表示）②求的度數(shù)．3．（24-25八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·開學(xué)考試）如圖，在中，是邊上的高，是的平分線．(1)若，求的度數(shù)：(2)若，求的度數(shù)（用含的式子表示）．4．（24-25八年級(jí)上·廣東汕頭·期中）已知，如圖，在中，、分別是的高和角平分線，(1)若，，求的度數(shù)；(2)若為x，為y，求與x、y的關(guān)系．1．（24-25八年級(jí)上·河北保定·期末）已知在中，．在圖（1）中，、的平分線交于點(diǎn)，則計(jì)算可得；在圖（2）中，設(shè)、的三等分線相交于點(diǎn)，，則計(jì)算可得；在圖（3）中請(qǐng)你猜想，當(dāng)、同時(shí)等分時(shí)，等分線分別對(duì)應(yīng)交于、、…，則（用含的代數(shù)式表示）．2．（20-21七年級(jí)下·山西臨汾·期末）（1）已知：如圖（1）的圖形我們把它稱為“8字形”，試說明：．（2）如圖（2），分別平分，若．求的度數(shù)．（3）如圖（3），直線平分平分的外角，猜想與的數(shù)量關(guān)系是______；（4）如圖（4），直線平分的外角平分的外角，猜想與的數(shù)量關(guān)系是______．

3．（22-23七年級(jí)下·河南南陽·期末）(1)如圖1，在△ABC中，點(diǎn)是和的角平分線的交點(diǎn)，請(qǐng)你判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，在四邊形中，點(diǎn)是和的角平分線的交點(diǎn)，請(qǐng)你用和表示，并說明理由；(3)如圖3，在四邊形中，，是的平分線所在直線與外角的平分線所在直線構(gòu)成的銳角，直接寫出用和表示的結(jié)果．

4．如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，請(qǐng)發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：(1)觀察“規(guī)形圖”，試探究與之間的關(guān)系，并說明理由；(2)請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問題：①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C，若，直接寫出的結(jié)果；②如圖3，平分，平分，若，求的度數(shù)；③如圖4，的10等分線相交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)．5．（24-25八年級(jí)上·貴州黔南·期中）問題情境：如圖1，在中，和的平分線交于點(diǎn)．(1)探索發(fā)現(xiàn)：若，則的度數(shù)為________；若，則的度數(shù)為________．(2)猜想證明：猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．(3)拓展應(yīng)用：如圖2，在中，和的平分線交于點(diǎn)，和的平分線交于點(diǎn)，直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．6．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖1，線段與相交于點(diǎn)O，連接，我們把這樣的圖形稱為“8字形”，數(shù)學(xué)興趣課上，老師安排同學(xué)們探索“8字形”中相關(guān)角度的數(shù)量關(guān)系．(1)請(qǐng)通過觀察、測(cè)量，猜想圖1中與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，奮斗小組在圖1的基礎(chǔ)上，分別作與的平分線交于點(diǎn)P，若，求的度數(shù)；(3)智慧小組在圖1的基礎(chǔ)上，分別作射線，使得，，兩條射線交于點(diǎn)P，請(qǐng)直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系．7．（24-25八年級(jí)上·河南漯河·階段練習(xí)）他閱讀下面的材料，并解決問題(1)在中，，圖1，是兩內(nèi)角平分線的夾角：圖2，是內(nèi)角和外角角平分線的夾角；圖3，是兩外角平分線的夾角，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．如圖1，如圖2，；如圖3，；如圖4，和的三等分線相交于點(diǎn)，則．(2)如圖5所示，在中，的三等分線、和的平分線相交于點(diǎn)和點(diǎn)，，度，求的度數(shù)．8．（20-21七年級(jí)下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）模型規(guī)律：如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，則．因?yàn)榘妓倪呅涡嗡萍^，其四角具有