13.1三角形中的邊角關(guān)系課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊。2.探索并證明三角形的內(nèi)角和定理。掌握它的推論:三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。3.理解三角形及其內(nèi)角、外角，中線、高線，角平分線等概念，了解三角形的穩(wěn)定性。1.了解三角形的概念，掌握分類(lèi)思想；2.理解三角形的三邊關(guān)系，經(jīng)歷探索三角形中的三條邊之間的關(guān)系，感受幾何學(xué)中基本圖形的內(nèi)涵；會(huì)判斷三條線段能否組成一個(gè)三角形，能運(yùn)用它解決有關(guān)問(wèn)題。3.經(jīng)歷探索三角形內(nèi)角和定理的過(guò)程，理解三角形內(nèi)角和定理及其證明方法；4.了解三角形的高、中線和角平分線的概念及性質(zhì)，會(huì)畫(huà)任意三角形的高、中線、角平分線。知識(shí)點(diǎn)01三角形的概念與表示·由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形【即學(xué)即練1】三角形是指()A．由三條線段所組成的封閉圖形B．由不在同一直線上的三條直線首尾順次相接組成的圖形C．由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形D．由三條線段首尾順次相接組成的圖形·三角形的邊：組成三角形的線段叫做三角形的邊.如圖，線段AB，BC，AC是三角形ABC的三條邊.（有時(shí)也用a，b，c表示）·三角形的頂點(diǎn):相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn).如圖，點(diǎn)A，B，C是三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn).·三角形的角:相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形的角.如圖，∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三個(gè)角.·三角形的符號(hào)表示：用符號(hào)“△”表示，以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形，記作“△ABC”（△BAC、△BCA、△CAB），讀作“三角形ABC”。【即學(xué)即練2】在中，邊的對(duì)角是（）A． B． C． D．【即學(xué)即練3】如圖，圖中三角形的個(gè)數(shù)為；以為邊的三角形是，以為一個(gè)內(nèi)角的三角形是；在中，的對(duì)邊是．知識(shí)點(diǎn)02三角形按邊分類(lèi)·按邊的相等關(guān)系分類(lèi)：·等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角.·等邊三角形：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形，即底邊與腰相等的等腰三角形叫做等邊三角形。說(shuō)明：【即學(xué)即練4】一個(gè)三角形中有兩條邊相等，則這個(gè)三角形是（）A．不等邊三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形知識(shí)點(diǎn)03三角形的三邊關(guān)系·三角形中任何兩邊的和大于第三邊，三角形中任何兩邊的差小于第三邊.說(shuō)明：這里說(shuō)的兩邊，是指任意的兩邊。三角形的三邊關(guān)系反映了任意三角形邊的限制關(guān)系，一般會(huì)與不等式聯(lián)系起來(lái)考慮。圖形文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言三角形兩邊的和兩點(diǎn)之間，線段最短【即學(xué)即練5】（2024·北京大興·二模）下面的三個(gè)問(wèn)題中都有兩個(gè)變量：①扇形的圓心角一定，面積與半徑；（23-24八年級(jí)上·重慶榮昌·期中）下列各組長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是（

）A．4，6，10 B．3，6，7 C．5，6，11 D．2，3，6【即學(xué)即練6】（23-24八年級(jí)上·福建福州·期中）以下列三條線段為邊，不能構(gòu)成三角形的是（

）A．13，7，6 B．12，8，9 C．11，9，6 D．9，8，7知識(shí)點(diǎn)04三角形按內(nèi)角分類(lèi)·按內(nèi)角的大小分類(lèi)：說(shuō)明：在一個(gè)三角形中，最多有三個(gè)銳角，最少有兩個(gè)銳角；最多有一個(gè)直角，最多有一個(gè)鈍角。【即學(xué)即練7】已知中，，，那么三角形是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【即學(xué)即練8】若一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為，那么這個(gè)三角形是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．無(wú)法確定知識(shí)點(diǎn)05三角形的內(nèi)角和與證明·三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°·符號(hào)表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.·定理的證明：利用“平行線的性質(zhì)”證明三角形的內(nèi)角和定理方法1.過(guò)點(diǎn)A作l∥BC，則∠B=∠1，∠C=∠2(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等).∵，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.延長(zhǎng)BC到D，過(guò)點(diǎn)C作CE∥BA，則∠A=∠1()，(兩直線平行，同位角相等).又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.過(guò)D作DE∥AC，DF∥AB，∴(兩直線平行，同位角相等)，∠A+∠AED=180°，(兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角相補(bǔ)).∴∠A=∠EDF.∵，∴∠C+∠A+∠B=180°.知識(shí)點(diǎn)06三角形的內(nèi)角平分線1.三角形的角平分線的概念在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的平分線和它所對(duì)的邊相交于一點(diǎn)，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.2.三角形的角平分線的幾何語(yǔ)言表達(dá)形式如圖所示，AD是△ABC的角平分線，或∠BAD=∠CAD=12∠BAC且點(diǎn)D在邊BC上3.三角形的角平分線的位置三角形的三條角平分線都在三角形的內(nèi)部，并且三條角平分線交于三角形內(nèi)一點(diǎn).【即學(xué)即練9】如圖，DC平分∠ACB，DE∥BC，∠ACB=80°，求∠ECD的度數(shù).知識(shí)點(diǎn)07三角形的中線·三角形的中線的概念：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它所對(duì)的邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。·三角形中線的幾何語(yǔ)言表達(dá)形式：如圖，AD是△ABC的邊BC上的中線，或AD是△ABC的中線?！と魏稳切味加腥龡l中線，三條中線都在三角形內(nèi)部，并且三條中線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)在三角形的內(nèi)部.【即學(xué)即練10】三角形的重心是（）A．三角形三條邊上中線的交點(diǎn)B．三角形三條邊上高線的交點(diǎn)C．三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)D．三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)【即學(xué)即練11】（22-23八年級(jí)上·安徽阜陽(yáng)·期中）如圖，和是的中線，則以下結(jié)論：①；②是的重心；③與面積相等；④過(guò)的直線平分線段；⑤；⑥，其中正確的結(jié)論有（

）

A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③⑥ D．①②⑤⑥知識(shí)點(diǎn)08三角形的高線·三角形的高的概念從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它所對(duì)的邊所在直線畫(huà)垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高。·三角形的高的幾何語(yǔ)言表達(dá)形式：如圖所示，AD是△ABC的邊BC上的高，或AD是△ABC的高，或AD⊥BC于點(diǎn)D，或∠BDA=∠CDA=90°.說(shuō)明：三角形的高與垂線的區(qū)別：三角形的高是一條垂線段，垂線是一條直線?！ぷ魅切胃叩牟襟E（過(guò)直線外一點(diǎn)作該直線的垂線段的步驟）：一靠：三角尺的一條直角邊靠在要作高的邊上；二移：移動(dòng)三角尺使另一條直角邊通過(guò)要作高的頂點(diǎn)，三畫(huà)：畫(huà)垂線段.【即學(xué)即練12】（22-23八年級(jí)上·福建莆田·期中）下面四個(gè)圖形中，線段是的高的是（）A． B．C． D．·三角形三條高的位置高及高的交點(diǎn)的位置圖示銳角三角形三條高都在三角形的內(nèi)部，三條高的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部直角直角三角形有兩條高恰好是三角形的兩條直角邊，另一條高在三角形內(nèi)部，三條高的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)鈍角鈍角三角形有兩條高落在三角形的外部，另一條高在三角形內(nèi)部，三條高沒(méi)有交點(diǎn)，但三條高所在的直線交于三角形外一點(diǎn)【即學(xué)即練13】如圖，在中，，為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，為上的一點(diǎn)，于點(diǎn)．下列判斷錯(cuò)誤的有（

）A．是的角平分線 B．為邊上的高C．是邊上的中線 D．為的高線*知識(shí)點(diǎn)09三角形的外角 ·三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角.如圖所示，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角?！ね饨堑男再|(zhì)(三角形內(nèi)角和定理的推論)（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.符號(hào)表示：∵∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，∴∠ACD=∠A+∠B.(2)三角形內(nèi)角和定理的另一個(gè)推論：三角形的外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角.·三角形的外角和定理：在三角形的每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，三個(gè)不同頂點(diǎn)處的外角的和叫做三角形的外角和.三角形的外角和為360°.【即學(xué)即練14】如圖①，試比較∠2、∠1的大??；如圖②，試比較∠3、∠2、∠1的大小.圖①圖②【即學(xué)即練15】將一副三角板如圖所示放置，則圖中的度數(shù)是A． B． C． D．·三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用(1)判斷三條線段能否構(gòu)成三角形，(2)確定第三邊長(zhǎng)(或周長(zhǎng))的取值范圍(3)解決線段的不等關(guān)系問(wèn)題(如證明幾何不等式).·三角形的三條高的位置比較銳角三角形直角三角形鈍角三角形高在三角形內(nèi)部的數(shù)量311高之間是否相交相交相交不相交高所在的直線是否相交相交相交相交三條高所在直線的交點(diǎn)的位置三角形內(nèi)部直角頂點(diǎn)三角形外部例題:如圖，已知△．(1)畫(huà)角平分線；(2)畫(huà)中線；(3)畫(huà)高．·三角形內(nèi)角和應(yīng)用模型由三角形的內(nèi)角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.由三角形的內(nèi)角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D·三角形的中線分成的兩個(gè)三角形的面積及周長(zhǎng)的關(guān)系(1)面積關(guān)系：如圖所示，AD是△ABC的中線，AE是△ABC的高，則S?ABD=因?yàn)锽D=CD,所以12BD?所以S?ABD=S?ACD.（等面積法）例題：如圖，已知的面積為48，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作于，于，若，則長(zhǎng)為（

）

A．12 B．10 C．6 D．8(2)周長(zhǎng)關(guān)系：因?yàn)椤鰽BD的周長(zhǎng)=AB+BD+AD,△ACD的周長(zhǎng)=AC+CD+AD,所以△ABD的周長(zhǎng)-△ACD的周長(zhǎng)=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC.（等式的性質(zhì)）例題：如圖，已知AD為的中線，，，的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為．

【題型一：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定第三邊的取值范圍】例1．（2024·安徽淮北·二模）已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別為，第三邊長(zhǎng)為，若為整數(shù)，則的值不可能為（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式1-1．在中，，若其周長(zhǎng)為，則邊的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式1-2．（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期末）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為和，且第三邊長(zhǎng)為整數(shù)，這樣的三角形的周長(zhǎng)最小值是（）A． B． C． D．變式1-3．（23-24八年級(jí)上·安徽蚌埠·期末）已知三角形兩邊長(zhǎng)分別為6和3，第三邊的長(zhǎng)是整數(shù)，這個(gè)三角形周長(zhǎng)的最小值是.變式1-4．（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期中）已知，的三邊長(zhǎng)分別為，，．(1)求的取值范圍；(2)若它是一個(gè)等腰三角形，求它的周長(zhǎng)．例2．（22-23八年級(jí)上·安徽馬鞍山·期中）如圖，一個(gè)四邊形木框，四邊長(zhǎng)分別為，，，．它的形狀是不穩(wěn)定的，但任意三點(diǎn)不能共線，求和的取值范圍．【技巧方法與總結(jié)】運(yùn)用任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊來(lái)確定第三邊的范圍時(shí)：①可用較小的兩邊之和大于最長(zhǎng)邊來(lái)列不等式，注意根據(jù)邊長(zhǎng)的長(zhǎng)短進(jìn)行分類(lèi)討論；②沒(méi)有三角形時(shí)，可輔助線構(gòu)造出三角形?！と切稳呹P(guān)系的應(yīng)用(1)判斷三條線段能否構(gòu)成三角形，(2)確定第三邊長(zhǎng)(或周長(zhǎng))的取值范圍(3)解決線段的不等關(guān)系問(wèn)題(如證明幾何不等式).【題型二：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系化簡(jiǎn)絕對(duì)值】例3．（23-24八年級(jí)上·廣東珠海·期中）已知的三邊長(zhǎng)分別為3、5、，化簡(jiǎn)變式3-1．（22-23八年級(jí)上·新疆吐魯番·階段練習(xí)）若，，為的三邊長(zhǎng)，且，滿(mǎn)足．(1)求的取值范圍；(2)若第三邊長(zhǎng)是整數(shù)，求的值．變式3-2．（23-24八年級(jí)上·安徽六安·階段練習(xí)）已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為，化簡(jiǎn)：．【方法技巧與總結(jié)】靈活使用絕對(duì)值的非負(fù)性、平方的非負(fù)性和三角形三邊關(guān)系進(jìn)行解題，必要時(shí)需要分類(lèi)討論?！绢}型三：根據(jù)三角形的高線和角平分線進(jìn)行角度計(jì)算】例4．如圖，分別是的高和角平分線，已知，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．變式4．（23-24八年級(jí)上·安徽亳州·期中）如圖，是的邊上的高，是的平分線．

（1）若，，則的度數(shù)為；（2）若，，用含、的代數(shù)式表示的度數(shù)為．例5．（23-24八年級(jí)上·安徽滁州·期中）如圖，在中是角平分線，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)，重合），與交于點(diǎn)．(1)若是中線，，，則與的周長(zhǎng)差為；(2)若，是高，求的度數(shù)；(3)若是角平分線，求的度數(shù)．變式5-1．（23-24八年級(jí)上·安徽阜陽(yáng)·期末）如圖，在中，為角平分線，為邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接交于點(diǎn)．

(1)若，為高，求的度數(shù)；(2)若，為角平分線，求的度數(shù)．變式5-2．（23-24八年級(jí)上·安徽滁州·期末）如圖所示，為的角平分線，為的高，若，，求的度數(shù)．例6．（22-23八年級(jí)上·安徽阜陽(yáng)·期中）如圖，在中，、分別是和的角平分線．當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．

【方法技巧與總結(jié)】根據(jù)角平分線、直角三角形兩銳角互余、三角形內(nèi)角和表示出各角之間的數(shù)量關(guān)系【題型四：根據(jù)三角形的中線求長(zhǎng)度】例7．（23-24八年級(jí)上·貴州銅仁·期中）已知等腰三角形一腰上的中線將它的周長(zhǎng)分成和兩部分，則等腰三角形的腰長(zhǎng)為（

）A．或 B． C． D．或變式7-1．（23-24八年級(jí)上·安徽合肥·期中）如圖，在中，，邊上的中線把的周長(zhǎng)分成55和45兩部分，求和的長(zhǎng)．

變式7-2．（23-24八年級(jí)上·安徽六安·期末）在中，，是中線，若周長(zhǎng)與的周長(zhǎng)相差，求．【方法技巧與總結(jié)】△ABD和△ACD的周長(zhǎng)之差實(shí)質(zhì)上就是AB與AC的長(zhǎng)度之差【題型五：根據(jù)三角形的中線求面積】例8．（23-24七年級(jí)下·安徽宿州·期末）如圖，在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．若的面積為12，則的面積為（）A．2 B．3 C．2.5 D．4變式8-1．（23-24八年級(jí)上·山西大同·期末）如圖，點(diǎn)是中邊上的點(diǎn)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，若的面積為8，則陰影部分的面積為（

）

A．6 B．5 C．4 D．3變式8-2．（23-24七年級(jí)下·山東濟(jì)南·期中）如圖，、都是的中線，連接，的面積是，則的面積是．變式8-3．（22-23八年級(jí)上·河南駐馬店·期末）如圖，在中，已知點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，且，則陰影部分的面積等于．【方法技巧與總結(jié)】三角形的中線可將三角形分成面識(shí)相等的兩部分【題型六：根據(jù)三角形的外角與內(nèi)角和計(jì)算角度】例9．（23-24八年級(jí)上·安徽合肥·期末）已知點(diǎn)在內(nèi)，若，，則等于（）A． B． C． D．變式9-1．（23-24八年級(jí)上·安徽合肥·期中）如圖，在中，，，是邊上一點(diǎn)，若為直角三角形，則的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或變式9-2．（22-23七年級(jí)下·廣東梅州·期中）中，，和的平分線相交于點(diǎn)，則．變式9-3．（23-24八年級(jí)上·安徽合肥·期中）如圖，在中，平分．求，的度數(shù)．

例10．（23-24八年級(jí)上·安徽亳州·階段練習(xí)）如圖是一個(gè)不規(guī)則的“五角星”，已知，，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．變式10．（23-24八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，這是一個(gè)五角星，則．【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用三角形的外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和表示出相關(guān)角度之間的數(shù)量關(guān)系。例11．（23-24八年級(jí)上·安徽滁州·期中）如圖，將紙片沿折疊使點(diǎn)落在點(diǎn)處，且平分，平分，若，則的大小為（）A．66° B．48° C．96° D．132°變式11．（23-24八年級(jí)上·安徽蚌埠·期中）在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，將沿翻折后得到，邊交于點(diǎn)．若，（）．

(1)求的度數(shù)；(2)若中有兩個(gè)角相等，求的值．【方法技巧與總結(jié)】①應(yīng)用三角形的外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和表示出相關(guān)角度之間的數(shù)量關(guān)系；②翻折前后角度不變；③結(jié)合方程思想。【題型七：三角形的個(gè)數(shù)問(wèn)題】例12．如圖在的邊上取三個(gè)點(diǎn)，，，連接AD，，，則邊上有條線段，以為頂點(diǎn)的角有個(gè)，圖中共有個(gè)三角形．

變式12．（24-25七年級(jí)上·江蘇南京·開(kāi)學(xué)考試）數(shù)一數(shù)圖中共有（

）個(gè)三角形．【題型八：等面積法的應(yīng)用】例13.如圖，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，于，若，，，則．【方法技巧與總結(jié)】等面積法的應(yīng)用：若涉及兩條高求長(zhǎng)度，一般需結(jié)合面積（但不求出面積），利用三角形面積的兩種不同表示方法列等式求解.【題型九：三角形的角綜合問(wèn)題】例14.（21-22八年級(jí)上·安徽六安·期中）中，是的角平分線，是的高．(1)如圖1，若，，求的度數(shù)；(2)如圖2，，由的計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)與的數(shù)量關(guān)系嗎？寫(xiě)出這個(gè)關(guān)系式，并加以證明；(3)如圖3，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，和的角平分線交于點(diǎn)、請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)______．變式14．（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期中）在中，，平分，為射線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），且于點(diǎn)．(1)如圖1，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，且，，求的度數(shù)；(2)如圖2，若點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)重合），求證：；(3)如圖3，若點(diǎn)在外部，探究此時(shí)，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．一、選擇題1．下面是一位同學(xué)用三根木棒拼成的圖形，其中是三角形的是（）A． B．C． D．2．（22-23八年級(jí)上·廣西柳州·開(kāi)學(xué)考試）在中，，則是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無(wú)法確定3．（24-25八年級(jí)上·四川遂寧·開(kāi)學(xué)考試）下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．三角形的三條高都在三角形內(nèi)，且都相交于一點(diǎn)B．三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角C．任意三角形的外角和都是D．中，當(dāng)，時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形．4.（23-24七年級(jí)下·安徽安慶·期末）如圖，在直角三角形中，，為所在直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，則線段的最小值是（

）A．5 B．4.8 C．4.5 D．45．（23-24八年級(jí)上·安徽宣城·期末）如圖，沿直線折疊，使點(diǎn)與邊上的點(diǎn)重合，若，，則等于（

）A． B． C．72° D．6．（23-24八年級(jí)上·安徽滁州·階段練習(xí)）如圖，在中，，是上兩點(diǎn)，且，平分，那么下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．是的中線 B．是的角平分線C． D．是的高7．（22-23七年級(jí)下·安徽宿州·期末）如圖，在中，，為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交于．于，交于．下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．是的中線 B．C．線段是的角平分線 D．與的面積相等8．（23-24八年級(jí)上·安徽阜陽(yáng)·期中）如圖，為三邊中線，，的交點(diǎn)，，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．二、填空題9．（23-24八年級(jí)上·安徽亳州·期末）三角形的三邊長(zhǎng)分別是，，，已知是奇數(shù)，則的值為．10．（23-24八年級(jí)上·安徽蚌埠·期中）如圖，在中，，是上的高，平分交于點(diǎn)，則的度數(shù)為，的度數(shù)為．

11．（22-23七年級(jí)下·江蘇鹽城·期中）下列四種說(shuō)法中正確的是（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)正確的說(shuō)法序號(hào)）．①同位角相等②三角形的中線、高線、角平分線都是線段③三角形的外角大于它的任何一個(gè)內(nèi)角④一個(gè)三角形中至少有兩個(gè)角為銳角12．（18-19八年級(jí)上·安徽合肥·階段練習(xí)）如圖，是的中線，點(diǎn)、分別為的中點(diǎn)，若的面積為，則的面積是．

13．（22-23七年級(jí)下·福建泉州·期末）如圖，已知為的中線，為的中線．過(guò)點(diǎn)作于．若的面積為40，，則的長(zhǎng)為．

14．（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期末）將兩個(gè)三角尺如圖放置，，，，且點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，則的度數(shù)為．15．（23-24八年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，在中，是一條角平分線，是邊上的高線，相交于點(diǎn)，若，則．16．（23-24八年級(jí)上·安徽宣城·期末）如圖，在中，與的平分線交于點(diǎn)，設(shè)的度數(shù)為度，的度數(shù)為度，則與之間的函數(shù)關(guān)系式為．三、解答題17．（23-24八年級(jí)上·安徽合肥·期中）已如三角形的三條邊長(zhǎng)為3、5和.(1)若3是該三角形的最短邊長(zhǎng)，求的取值范圍；(2)若為整數(shù)，求三角形周長(zhǎng)的最大值.18．（21-22七年級(jí)下·陜西西安·期末）已知△的三邊長(zhǎng)分別為1，4，，化簡(jiǎn)：．19．（23-24八年級(jí)上·安徽池州·期中）如圖