第一章二次函數(shù)圖像的初步認識第二章二次函數(shù)圖像的頂點與對稱軸第三章二次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點第四章二次函數(shù)圖像的增減性第五章二次函數(shù)圖像的平移與伸縮第六章二次函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用01第一章二次函數(shù)圖像的初步認識引入：生活中的拋物線二次函數(shù)圖像在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用，例如跳水運動員的跳水軌跡、籃球的拋射路線、過山車軌道等。這些圖像都是拋物線形狀，而拋物線正是二次函數(shù)的圖像。二次函數(shù)的一般形式為$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$是常數(shù)，它們分別決定了拋物線的開口方向、對稱軸的位置和頂點的位置。當(dāng)$a>0$時，拋物線開口向上；當(dāng)$a<0$時，拋物線開口向下。對稱軸是垂直于頂點的直線，方程為$x=h$，其中$h$是頂點的橫坐標(biāo)。頂點是拋物線的最高點或最低點，記作$(h,k)$，其中$k$是函數(shù)在$h$處的值。通過這些基本特征，我們可以更好地理解二次函數(shù)圖像的性質(zhì)和應(yīng)用。二次函數(shù)圖像的基本特征開口方向?qū)ΨQ軸頂點當(dāng)$a>0$時，開口向上；當(dāng)$a<0$時，開口向下。對稱軸是垂直于頂點的直線，方程為$x=h$，其中$h$是頂點的橫坐標(biāo)。頂點是拋物線的最高點或最低點，記作$(h,k)$，其中$k$是函數(shù)在$h$處的值。二次函數(shù)圖像的繪制方法列表法選擇$x$的值，計算對應(yīng)的$y$值，列出表格。描點連線，得到拋物線的圖像。注意選擇合適的$x$值，以便更準確地描繪圖像。頂點法先求出頂點，再根據(jù)對稱性求出其他關(guān)鍵點。關(guān)鍵點包括與$x$軸的交點、與$y$軸的交點等。通過關(guān)鍵點可以更準確地描繪圖像。二次函數(shù)圖像的實際應(yīng)用修建拱橋某城市計劃修建一條拋物線形的拱橋，橋的跨度為40米，拱高為5米。跳水運動員的跳水軌跡跳水運動員的跳水軌跡是拋物線形，可以通過二次函數(shù)來描述?；@球的拋射路線籃球的拋射路線是拋物線形，可以通過二次函數(shù)來描述。02第二章二次函數(shù)圖像的頂點與對稱軸引入：頂點的重要性頂點是二次函數(shù)圖像的關(guān)鍵特征，它決定了拋物線的最高點或最低點。頂點的位置對二次函數(shù)的性質(zhì)有重要影響。例如，當(dāng)$a>0$時，頂點是拋物線的最低點；當(dāng)$a<0$時，頂點是拋物線的最高點。頂點的坐標(biāo)可以通過公式$h=-frac{2a}$和$k=f(h)$求得，其中$h$是對稱軸的橫坐標(biāo)，$k$是函數(shù)在$h$處的值。通過頂點的坐標(biāo)，我們可以快速確定二次函數(shù)圖像的位置和形狀。頂點的坐標(biāo)求解公式推導(dǎo)例題1例題2頂點的橫坐標(biāo)$h=-frac{2a}$，來源于二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。求函數(shù)$y=2x^2-3x+1$的頂點坐標(biāo)。求函數(shù)$y=-x^2+4x-4$的頂點坐標(biāo)。對稱軸的性質(zhì)與求解對稱軸的定義對稱軸的性質(zhì)例題對稱軸是垂直于頂點的直線，方程為$x=h$，其中$h$是頂點的橫坐標(biāo)。對稱軸將拋物線分成兩個對稱的部分，即函數(shù)在對稱軸兩側(cè)的值關(guān)于對稱軸對稱。求函數(shù)$y=5x^2-10x+7$的對稱軸，并驗證對稱性。對稱軸的實際應(yīng)用建筑設(shè)計對稱軸在建筑設(shè)計中用于確定建筑物的對稱性，使建筑物更加美觀。機械設(shè)計對稱軸在機械設(shè)計中用于確定機械零件的對稱性，提高機械的穩(wěn)定性。物理學(xué)對稱軸在物理學(xué)中用于描述物體的對稱性，例如旋轉(zhuǎn)對稱、反射對稱等。03第三章二次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點引入：交點的意義二次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點是重要的特征點，它們可以幫助我們更好地理解二次函數(shù)的性質(zhì)。交點的數(shù)量與系數(shù)$a$、$b$、$c$的關(guān)系密切，可以通過判別式$Delta=b^2-4ac$來確定。當(dāng)$Delta>0$時，拋物線與$x$軸有兩個交點；當(dāng)$Delta=0$時，拋物線與$x$軸有一個交點；當(dāng)$Delta<0$時，拋物線與$x$軸沒有交點。交點的坐標(biāo)可以通過解方程$ax^2+bx+c=0$來求得。與$y$軸的交點定義例題1例題2與$y$軸的交點是$(0,c)$，其中$c$是函數(shù)的常數(shù)項。求函數(shù)$y=2x^2-3x+1$與$y$軸的交點。求函數(shù)$y=-x^2+4x-4$與$y$軸的交點。與$x$軸的交點定義判別式例題與$x$軸的交點是方程$ax^2+bx+c=0$的解，記作$(x_1,0)$和$(x_2,0)$。判別式$Delta=b^2-4ac$，$Delta>0$時有兩個交點，$Delta=0$時有一個交點，$Delta<0$時沒有交點。求函數(shù)$y=x^2-5x+6$與$x$軸的交點。交點的實際應(yīng)用建筑設(shè)計交點在建筑設(shè)計中用于確定建筑物的對稱性，使建筑物更加美觀。機械設(shè)計交點在機械設(shè)計中用于確定機械零件的對稱性，提高機械的穩(wěn)定性。物理學(xué)交點在物理學(xué)中用于描述物體的對稱性，例如旋轉(zhuǎn)對稱、反射對稱等。04第四章二次函數(shù)圖像的增減性引入：函數(shù)的單調(diào)性二次函數(shù)圖像的單調(diào)性是描述函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)遞增或遞減的性質(zhì)。單調(diào)性對于理解函數(shù)的變化趨勢至關(guān)重要。例如，當(dāng)$a>0$時，拋物線開口向上，函數(shù)在對稱軸左側(cè)遞減，在對稱軸右側(cè)遞增；當(dāng)$a<0$時，拋物線開口向下，函數(shù)在對稱軸左側(cè)遞增，在對稱軸右側(cè)遞減。通過研究單調(diào)性，我們可以更好地理解二次函數(shù)圖像的性質(zhì)和應(yīng)用。單調(diào)區(qū)間的確定定義例題1例題2當(dāng)$a>0$時，拋物線開口向上，函數(shù)在對稱軸左側(cè)遞減，在對稱軸右側(cè)遞增；當(dāng)$a<0$時，拋物線開口向下，函數(shù)在對稱軸左側(cè)遞增，在對稱軸右側(cè)遞減。求函數(shù)$y=3x^2-6x+2$的單調(diào)區(qū)間。求函數(shù)$y=-2x^2+4x-1$的單調(diào)區(qū)間。單調(diào)性的實際應(yīng)用經(jīng)濟學(xué)物理學(xué)工程學(xué)在經(jīng)濟學(xué)中，單調(diào)性用于描述商品價格與需求量之間的關(guān)系。在物理學(xué)中，單調(diào)性用于描述物體的運動速度與時間之間的關(guān)系。在工程學(xué)中，單調(diào)性用于描述材料的強度與溫度之間的關(guān)系。單調(diào)性與最值的關(guān)系經(jīng)濟學(xué)在經(jīng)濟學(xué)中，單調(diào)性用于描述商品價格與需求量之間的關(guān)系。物理學(xué)在物理學(xué)中，單調(diào)性用于描述物體的運動速度與時間之間的關(guān)系。工程學(xué)在工程學(xué)中，單調(diào)性用于描述材料的強度與溫度之間的關(guān)系。05第五章二次函數(shù)圖像的平移與伸縮引入：圖像的變換二次函數(shù)圖像的平移和伸縮是描述圖像位置和形狀的重要方法。平移是指圖像沿$x$軸或$y$軸的移動，而伸縮是指圖像沿$x$軸或$y$軸的放大或縮小。通過平移和伸縮，我們可以更好地理解二次函數(shù)圖像的性質(zhì)和應(yīng)用。圖像的平移定義規(guī)則例題1平移是指圖像沿$x$軸或$y$軸的移動。沿$y$軸平移：$y=ax^2+bx+c$變?yōu)?y=ax^2+bx+c+k$（上移$k$個單位，下移$k$個單位）。沿$x$軸平移：$y=ax^2+bx+c$變?yōu)?y=a(x-h)^2+k$（右移$h$個單位，左移$h$個單位）。將函數(shù)$y=x^2$向上平移2個單位，得到新函數(shù)的解析式。圖像的伸縮定義規(guī)則例題2伸縮是指圖像沿$x$軸或$y$軸的放大或縮小。沿$y$軸伸縮：$y=ax^2+bx+c$變?yōu)?y=k(ax^2+bx+c)$（垂直伸縮，$k>1$放大，$0<k<1$縮?。Ｑ?x$軸伸縮：$y=ax^2+bx+c$變?yōu)?y=aleft(frac{x}{h}_x000D_ight)^2+bx+c$（水平伸縮，$h>1$縮小，$0<h<1$放大）。將函數(shù)$y=x^2$沿$y$軸放大2倍，得到新函數(shù)的解析式。平移與伸縮的實際應(yīng)用建筑設(shè)計平移與伸縮在建筑設(shè)計中用于確定建筑物的對稱性，使建筑物更加美觀。機械設(shè)計平移與伸縮在機械設(shè)計中用于確定機械零件的對稱性，提高機械的穩(wěn)定性。物理學(xué)平移與伸縮在物理學(xué)中用于描述物體的對稱性，例如旋轉(zhuǎn)對稱、反射對稱等。06第六章二次函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用引入：綜合應(yīng)用的重要性二次函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用是將多個知識點結(jié)合在一起解決實際問題。通過綜合應(yīng)用，我們可以更好地理解二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，以及如何利用二次函數(shù)解決更復(fù)雜的實際問題。綜合應(yīng)用的問題引入問題1問題2問題3某小球從高度為10米的平臺上以初速度10米/秒水平拋出，不計空氣阻力，求小球的運動軌跡。某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本函數(shù)為$C(x)=x^2-6x+10$，收入函數(shù)為$R(x)=10x-x^2$，如何確定利潤最大時的產(chǎn)量？某橋梁的橋拱形狀為拋物線形，橋拱的跨度為40米，拱高為5米，如何確定橋拱的函數(shù)表達式？綜合應(yīng)用的解題步驟問題1的解題步驟問題2的解題步驟問題3的解題步驟1.建立坐標(biāo)系，設(shè)拱橋的頂點為原點，水平方向為$x$軸，豎直方向為$y$軸。2.根據(jù)已知條件，求出拋物線的頂點和對稱軸。3.確定函數(shù)表達式為$y=-frac{1}{40}x^2+5$。1.求函數(shù)$A=-2x^2+30x$的最大值。2.求函數(shù)$A=-2x^2+30x$的最大值，得$x=15$時面積最大。3.確定產(chǎn)量為15時利潤最大。1.建立坐標(biāo)系，設(shè)拱橋的頂點為原點，水平方向為$x$軸，豎直方向為$y$軸。2.根據(jù)已知條件，求出拋物線的頂點和對稱軸。3.確定