郴州中考試卷試題及答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.2023的絕對(duì)值是（）A.2023B.2023C.$\frac{1}{2023}$D.$\frac{1}{2023}$答案：B。根據(jù)絕對(duì)值的定義，正數(shù)和0的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，所以|2023|=2023。2.下列運(yùn)算正確的是（）A.$a^{2}+a^{3}=a^{5}$B.$(a^{3})^{2}=a^{5}$C.$(ab)^{2}=ab^{2}$D.$a^{6}\diva^{2}=a^{4}$答案：D。A選項(xiàng)，$a^{2}$與$a^{3}$不是同類項(xiàng)，不能合并；B選項(xiàng)，$(a^{3})^{2}=a^{3\times2}=a^{6}$；C選項(xiàng)，$(ab)^{2}=a^{2}b^{2}$；D選項(xiàng)，根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則，$a^{6}\diva^{2}=a^{62}=a^{4}$。3.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，這個(gè)多邊形是（）A.四邊形B.五邊形C.六邊形D.八邊形答案：C。多邊形的外角和是$360^{\circ}$，設(shè)這個(gè)多邊形有$n$條邊，其內(nèi)角和公式為$(n2)\times180^{\circ}$，由內(nèi)角和是外角和的2倍可得$(n2)\times180^{\circ}=2\times360^{\circ}$，解得$n=6$，所以是六邊形。4.下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A.等邊三角形B.平行四邊形C.矩形D.正五邊形答案：C。等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形；平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形；矩形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形；正五邊形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形。5.函數(shù)$y=\frac{1}{x2}$中，自變量$x$的取值范圍是（）A.$x\neq0$B.$x\neq2$C.$x\gt2$D.$x\lt2$答案：B。因?yàn)榉质降姆帜覆荒転?，所以在函數(shù)$y=\frac{1}{x2}$中，$x2\neq0$，即$x\neq2$。6.為了了解某校2000名學(xué)生的體重情況，從中抽取了150名學(xué)生的體重，就這個(gè)問題來說，下面說法正確的是（）A.2000名學(xué)生是總體B.150名學(xué)生是所抽取的一個(gè)樣本C.每個(gè)學(xué)生是個(gè)體D.樣本容量是150答案：D?？傮w是某校2000名學(xué)生的體重情況；樣本是抽取的150名學(xué)生的體重；個(gè)體是每個(gè)學(xué)生的體重；樣本容量是150。7.若關(guān)于$x$的一元二次方程$x^{2}2x+m=0$有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則$m$的取值范圍是（）A.$m\lt1$B.$m\gt1$C.$m\leqslant1$D.$m\geqslant1$答案：A。對(duì)于一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)$，其判別式$\Delta=b^{2}4ac$，當(dāng)$\Delta\gt0$時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。在方程$x^{2}2x+m=0$中，$a=1$，$b=2$，$c=m$，$\Delta=(2)^{2}4m\gt0$，即$44m\gt0$，解得$m\lt1$。8.如圖，在$\odotO$中，弦$AB=8$，$OC\perpAB$，垂足為$C$，$OC=3$，則$\odotO$的半徑$OA$的長為（）A.4B.5C.6D.7答案：B。因?yàn)?OC\perpAB$，根據(jù)垂徑定理，$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times8=4$。在$Rt\triangleAOC$中，由勾股定理可得$OA=\sqrt{AC^{2}+OC^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}=5$。9.一次函數(shù)$y=kx+b(k\neq0)$的圖象經(jīng)過點(diǎn)$A(1,2)$，$B(0,1)$，則不等式$kx+b\gt1$的解集是（）A.$x\gt0$B.$x\lt0$C.$x\gt1$D.$x\lt1$答案：A。把點(diǎn)$A(1,2)$，$B(0,1)$代入$y=kx+b$得$\begin{cases}k+b=2\\b=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=3\\b=1\end{cases}$，所以一次函數(shù)解析式為$y=3x+1$。不等式$kx+b\gt1$即$3x+1\gt1$，$3x\gt0$，解得$x\gt0$。10.如圖，在矩形$ABCD$中，$AB=3$，$BC=4$，點(diǎn)$E$是$BC$邊上一點(diǎn)，連接$AE$，把$\angleB$沿$AE$折疊，使點(diǎn)$B$落在點(diǎn)$B'$處，當(dāng)$\triangleCEB'$為直角三角形時(shí)，$BE$的長為（）A.$\frac{3}{2}$B.3C.$\frac{3}{2}$或3D.$\frac{5}{3}$或3答案：C。分兩種情況：當(dāng)$\angleEB'C=90^{\circ}$時(shí)，因?yàn)?\angleAB'E=\angleB=90^{\circ}$，所以點(diǎn)$A$，$B'$，$C$在同一條直線上。在$Rt\triangleABC$中，$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$，設(shè)$BE=x$，則$B'E=x$，$EC=4x$，$AB'=AB=3$，$B'C=ACAB'=53=2$。在$Rt\triangleEB'C$中，根據(jù)勾股定理$x^{2}+2^{2}=(4x)^{2}$，解得$x=\frac{3}{2}$。當(dāng)$\angleB'EC=90^{\circ}$時(shí)，此時(shí)點(diǎn)$B'$落在$AD$上，四邊形$ABEB'$是正方形，所以$BE=AB=3$。二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11.分解因式：$x^{3}4x=$______。答案：$x(x+2)(x2)$。先提公因式$x$得$x(x^{2}4)$，再利用平方差公式$a^{2}b^{2}=(a+b)(ab)$，$x^{2}4=(x+2)(x2)$，所以$x^{3}4x=x(x+2)(x2)$。12.計(jì)算：$\sqrt{4}(\frac{1}{2})^{1}=$______。答案：0。$\sqrt{4}=2$，$(\frac{1}{2})^{1}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$，所以$\sqrt{4}(\frac{1}{2})^{1}=22=0$。13.已知一組數(shù)據(jù)$1$，$2$，$3$，$4$，$5$的方差為$2$，則另一組數(shù)據(jù)$11$，$12$，$13$，$14$，$15$的方差為______。答案：2。一組數(shù)據(jù)加上相同的數(shù)，方差不變。數(shù)據(jù)$11$，$12$，$13$，$14$，$15$是由數(shù)據(jù)$1$，$2$，$3$，$4$，$5$每個(gè)數(shù)都加10得到的，所以方差還是2。14.如圖，在$\triangleABC$中，$D$，$E$分別是$AB$，$AC$的中點(diǎn)，若$DE=3$，則$BC$的長為______。答案：6。因?yàn)?D$，$E$分別是$AB$，$AC$的中點(diǎn)，所以$DE$是$\triangleABC$的中位線，根據(jù)中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，所以$BC=2DE=6$。15.若反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$的圖象經(jīng)過點(diǎn)$(2,3)$，則$k$的值為______。答案：6。把點(diǎn)$(2,3)$代入$y=\frac{k}{x}$得$3=\frac{k}{2}$，解得$k=6$。16.如圖，在扇形$AOB$中，$\angleAOB=90^{\circ}$，$OA=2$，點(diǎn)$C$是$\overset{\frown}{AB}$上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)$A$，$B$重合），$OD\perpBC$，$OE\perpAC$，垂足分別為$D$，$E$，則$DE$的長為______。答案：$\sqrt{2}$。連接$AB$，因?yàn)?OD\perpBC$，$OE\perpAC$，根據(jù)垂徑定理，$D$，$E$分別是$BC$，$AC$的中點(diǎn)，所以$DE$是$\triangleABC$的中位線，$DE=\frac{1}{2}AB$。在$Rt\triangleAOB$中，$\angleAOB=90^{\circ}$，$OA=OB=2$，根據(jù)勾股定理$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}$，所以$DE=\frac{1}{2}\times2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。三、解答題（本大題共8小題，共72分）17.（本題滿分6分）計(jì)算：$|3|+(π2023)^{0}(\frac{1}{3})^{1}+\sqrt{12}\sin60^{\circ}$。解：計(jì)算絕對(duì)值：$|3|=3$。計(jì)算零指數(shù)冪：$(π2023)^{0}=1$。計(jì)算負(fù)指數(shù)冪：$(\frac{1}{3})^{1}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$。計(jì)算三角函數(shù)值：$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，則$\sqrt{12}\sin60^{\circ}=2\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=3$。原式$=3+13+3=4$。18.（本題滿分6分）先化簡，再求值：$(\frac{x+2}{x^{2}2x}\frac{x1}{x^{2}4x+4})\div\frac{x4}{x}$，其中$x=\sqrt{2}+2$。解：對(duì)原式括號(hào)內(nèi)通分：$\frac{x+2}{x(x2)}\frac{x1}{(x2)^{2}}=\frac{(x+2)(x2)x(x1)}{x(x2)^{2}}=\frac{x^{2}4x^{2}+x}{x(x2)^{2}}=\frac{x4}{x(x2)^{2}}$。則原式$=\frac{x4}{x(x2)^{2}}\cdot\frac{x}{x4}=\frac{1}{(x2)^{2}}$。當(dāng)$x=\sqrt{2}+2$時(shí)，原式$=\frac{1}{(\sqrt{2}+22)^{2}}=\frac{1}{(\sqrt{2})^{2}}=\frac{1}{2}$。19.（本題滿分8分）如圖，在$\squareABCD$中，$E$，$F$分別是$AD$，$BC$的中點(diǎn)。求證：$\triangleABE\cong\triangleCDF$；連接$AF$，$CE$，判斷四邊形$AFCE$的形狀，并說明理由。證明：（1）因?yàn)樗倪呅?ABCD$是平行四邊形，所以$AB=CD$，$\angleA=\angleC$，$AD=BC$。又因?yàn)?E$，$F$分別是$AD$，$BC$的中點(diǎn)，所以$AE=\frac{1}{2}AD$，$CF=\frac{1}{2}BC$，則$AE=CF$。在$\triangleABE$和$\triangleCDF$中，$\begin{cases}AB=CD\\\angleA=\angleC\\AE=CF\end{cases}$，所以$\triangleABE\cong\triangleCDF(SAS)$。（2）四邊形$AFCE$是平行四邊形。理由：因?yàn)樗倪呅?ABCD$是平行四邊形，所以$AD\parallelBC$，$AD=BC$。又因?yàn)?E$，$F$分別是$AD$，$BC$的中點(diǎn)，所以$AE=\frac{1}{2}AD$，$CF=\frac{1}{2}BC$，則$AE=CF$，且$AE\parallelCF$，所以四邊形$AFCE$是平行四邊形。20.（本題滿分8分）為了響應(yīng)“足球進(jìn)校園”的號(hào)召，某校計(jì)劃購買一批足球。若購買2個(gè)$A$品牌足球和3個(gè)$B$品牌足球共需340元；購買5個(gè)$A$品牌足球和2個(gè)$B$品牌足球共需410元。求$A$，$B$兩種品牌足球的單價(jià)；該校打算通過“京東商城”網(wǎng)購20個(gè)$A$品牌足球和3個(gè)$B$品牌足球，“五一”期間商城打折促銷，其中$A$品牌足球打八折，$B$品牌足球打九折，問：學(xué)校購買打折后的足球比打折前節(jié)省了多少錢？解：（1）設(shè)$A$品牌足球的單價(jià)為$x$元，$B$品牌足球的單價(jià)為$y$元。根據(jù)題意得$\begin{cases}2x+3y=340\\5x+2y=410\end{cases}$，將第一個(gè)方程乘以2得$4x+6y=680$，將第二個(gè)方程乘以3得$15x+6y=1230$，用第二個(gè)新方程減去第一個(gè)新方程得：$15x+6y(4x+6y)=1230680$，$15x+6y4x6y=550$，$11x=550$，解得$x=50$。把$x=50$代入$2x+3y=340$得$2\times50+3y=340$，$100+3y=340$，$3y=240$，解得$y=80$。所以$A$品牌足球的單價(jià)為50元，$B$品牌足球的單價(jià)為80元。（2）打折前費(fèi)用：$20\times50+3\times80=1000+240=1240$（元）。打折后費(fèi)用：$20\times50\times0.8+3\times80\times0.9=800+216=1016$（元）。節(jié)省的錢數(shù)：$12401016=224$（元）。21.（本題滿分8分）為了解某校學(xué)生對(duì)新聞、體育、動(dòng)畫、娛樂、戲曲五類電視節(jié)目的喜愛情況，隨機(jī)抽取了該校部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖。本次調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生？補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；若該校共有1800名學(xué)生，估計(jì)該校喜愛體育節(jié)目的學(xué)生有多少名？解：（1）由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知喜歡娛樂節(jié)目的占$40\%$，從條形統(tǒng)計(jì)圖可知喜歡娛樂節(jié)目的有40人，所以本次調(diào)查抽取的學(xué)生總數(shù)為$40\div40\%=100$（名）。（2）喜歡新聞節(jié)目的人數(shù)為$100\times5\%=5$（名），喜歡體育節(jié)目的人數(shù)為$1005304010=15$（名）。補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖（此處無法實(shí)際畫圖，可根據(jù)數(shù)據(jù)在原圖上補(bǔ)充體育對(duì)應(yīng)的條形高度為15，新聞對(duì)應(yīng)的條形高度為5）。（3）喜歡體育節(jié)目的學(xué)生所占比例為$\frac{15}{100}=15\%$，所以該校1800名學(xué)生中喜愛體育節(jié)目的學(xué)生約有$1800\times15\%=270$（名）。22.（本題滿分10分）如圖，$AB$是$\odotO$的直徑，點(diǎn)$C$在$\odotO$上，$AD$與過點(diǎn)$C$的切線垂直，垂足為$D$，連接$AC$，$BC$。求證：$AC$平分$\angleBAD$；若$AB=10$，$BC=6$，求$CD$的長。證明：（1）連接$OC$，因?yàn)?CD$是$\odotO$的切線，所以$OC\perpCD$。又因?yàn)?AD\perpCD$，所以$AD\parallelOC$，所以$\angleDAC=\angleACO$。因?yàn)?OA=OC$，所以$\angleOAC=\angleACO$，所以$\angleDAC=\angleOAC$，即$AC$平分$\angleBAD$。（2）因?yàn)?AB$是$\odotO$的直徑，所以$\angleACB=90^{\circ}$。在$Rt\triangleABC$中，$AB=10$，$BC=6$，根據(jù)勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}BC^{2}}=\sqrt{10^{2}6^{2}}=8$。因?yàn)?\angleDAC=\angleBAC$，$\angleADC=\angleACB=90^{\circ}$，所以$\triangleADC\sim\triangleACB$。則$\frac{CD}{BC}=\frac{AC}{AB}$，即$\frac{CD}{6}=\frac{8}{10}$，解得$CD=\frac{24}{5}$。23.（本題滿分10分）某商場銷售一種商品，進(jìn)價(jià)為每件10元。市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一段時(shí)間內(nèi)，銷售量$y$（件）與銷售單價(jià)$x$（元）之間的關(guān)系可近似地看作一次函數(shù)$y=10x+500$。設(shè)商場銷售這種商品所獲得的利潤為$w$（元），求$w$與$x$之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，商場銷售這種商品所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？如果商場要獲得不低于2000元的利潤，那么銷售單價(jià)$x$的取值范圍是多少？解：（1）利潤$w=(x10)y=(x10)(10x+500)=10x^{2}+500x+100x5000=10x^{2}+600x5000$。（2）對(duì)于二次函數(shù)$w=10x^{2}+600x5000$，$a=10\lt0$，圖象開口向下，對(duì)稱軸為$x=\frac{2a}=\frac{600}{2\times(10)}=30$。當(dāng)$x=30$時(shí)，$w_{最大}=10\times30^{2}+600\times305000=9000+180005000=4000$。所以當(dāng)銷售單價(jià)為30元時(shí)，商場銷售這種商品所獲得的利潤最大，最大利潤是4000元。（3）由$w\geqslant2000$，即$10x^{2}+600x5000\geqslant2000$，$10x^{2}+600x7000\geqslant0$，$x^{2}60x+700\leqslant0$。對(duì)于方程$x^{2}60x+700=0$，$\Delta=(60)^{2}4\times700=36002800=800$，$x=\frac{60\pm\sqrt{800}}{2}=\frac{60\pm20\sqrt{2}}{2}=30\pm10\sqrt{2}$，所以不等式的解集為$3010\sqrt{2}\leqslantx\leqslant30+10\sqrt{2}$。所以銷售單價(jià)$x$的取值范圍是$3010\sqrt{2}\leqslantx\leqslant30+10\sqrt{2}$。24.（本題滿分12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線$y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)$與$x$軸交于$A(1,0)$，$B(3,0)$兩點(diǎn)，與$y$軸交于點(diǎn)$C(0,3)$。求拋物線的解析式；點(diǎn)$P$是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)$P$作$PD\perpx$軸于點(diǎn)$D$，交直線$BC$于點(diǎn)$E$。是否存在點(diǎn)$P$，使得以$A$，$C$，$E$為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)$P$的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。解：（1）設(shè)拋物線的解析式為$y=a(x+1)(x3)$，把$C(0,3)$代入得$3=a(0+1)(03)$，$3=3a$，解得$a=1$，所以拋物線的解析式為$y=(x+1)(x3)=x^{2}+2x+3$。（2）設(shè)直線$BC$的解析式為$y=kx+d$，把$B(3,0)$，$C(0,3)$代入得$\begin{cases}3k+d=0\\d=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\d=3\end{cases}$，所以直線$BC$的解析式為$y=x+3$。設(shè)點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$(m,m^{2}+2m+3)$，則點(diǎn)$E$的坐標(biāo)為$(m,m+3)$。$A(1,0)$，