廣東省深圳市福田區(qū)四年級上學(xué)期數(shù)學(xué)第七單元《對策問題（田忌賽馬）》邏輯推理測試一、基礎(chǔ)概念辨析（一）歷史故事中的對策思想戰(zhàn)國時期，齊國大將田忌與齊威王賽馬的故事蘊含著深刻的對策智慧。比賽規(guī)定雙方各出三匹馬，分為上、中、下三等，按三局兩勝制決定勝負(fù)。齊威王的馬在同等級中實力均優(yōu)于田忌，若田忌用同等級馬對抗，必以0:3敗北。但孫臏為田忌設(shè)計了巧妙的策略：用下等馬對齊威王的上等馬（主動輸?shù)粢痪郑?，中等馬對齊威王的下等馬（贏得一局），上等馬對齊威王的中等馬（贏得一局），最終以2:1逆轉(zhuǎn)獲勝。這個故事揭示了對策問題的核心：在競爭中，通過合理安排資源順序或策略組合，即使整體實力處于劣勢，也可能通過局部最優(yōu)配置實現(xiàn)全局勝利。（二）數(shù)學(xué)中的對策問題要素在四年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，對策問題可簡化為三個基本要素：參與者：至少存在兩方（如田忌與齊威王），每方擁有有限的“資源”（如不同等級的馬）。規(guī)則：明確勝負(fù)判定標(biāo)準(zhǔn)（如三局兩勝、積分制）和資源使用限制（如每局只能使用一種資源，資源不可重復(fù)使用）。策略：參與者對資源的排列組合方式（如出馬順序），目標(biāo)是找到最優(yōu)策略以實現(xiàn)利益最大化。（三）與邏輯推理的關(guān)聯(lián)對策問題本質(zhì)是邏輯推理的應(yīng)用，需要通過分析對手可能的策略，結(jié)合自身資源特點，推導(dǎo)出最優(yōu)方案。例如，在田忌賽馬中，孫臏通過推理得出“齊威王的出馬順序大概率固定”的結(jié)論，進(jìn)而設(shè)計出針對性策略。這種“假設(shè)-推理-驗證”的思維過程，正是本單元培養(yǎng)的核心能力。二、典型題型解析（一）賽馬問題的變式訓(xùn)練例1：基礎(chǔ)排序型題目：紅隊有三輛賽車，速度分別為100km/h、80km/h、60km/h；藍(lán)隊有三輛賽車，速度分別為90km/h、70km/h、50km/h。比賽采用三局兩勝制，每局雙方各出一輛車，速度快的獲勝。紅隊想確保勝利，應(yīng)如何安排出場順序？解析：首先明確雙方實力對比：紅隊整體速度占優(yōu)（100>90，80>70，60>50），但需考慮策略優(yōu)化。若紅隊按“100→80→60”順序出場，藍(lán)隊即使按任意順序排列，紅隊都會以3:0獲勝，但這是實力碾壓的結(jié)果，未體現(xiàn)策略價值。若題目改為“藍(lán)隊賽車速度為95km/h、75km/h、55km/h”（即紅隊上等馬100>95，中等馬80<95，下等馬60<75），此時紅隊需用策略：紅隊下等馬（60）對藍(lán)隊上等馬（95）→藍(lán)隊勝紅隊上等馬（100）對藍(lán)隊中等馬（75）→紅隊勝紅隊中等馬（80）對藍(lán)隊下等馬（55）→紅隊勝最終以2:1獲勝，體現(xiàn)“犧牲局部換取全局”的策略思想。例2：多局勝負(fù)型題目：學(xué)校舉行跳繩比賽，四（1）班派出三名選手，成績分別為180個/分鐘、150個/分鐘、120個/分鐘；四（2）班派出三名選手，成績分別為170個/分鐘、140個/分鐘、110個/分鐘。比賽共五局，采用五局三勝制，每班每次可派一名選手參賽，但每名選手最多出場兩次。四（1）班如何安排選手出場，才能確保獲勝？解析：規(guī)則變化分析：選手可重復(fù)出場（最多兩次），意味著策略從“一次性排列”變?yōu)椤皠討B(tài)調(diào)配”。最優(yōu)策略設(shè)計：用180個/分鐘選手對陣170和140（連勝兩局）；用150個/分鐘選手對陣110（勝一局）；120個/分鐘選手可對陣170或140（主動放棄兩局）。最終以3:2獲勝，關(guān)鍵在于“集中優(yōu)勢資源拿下關(guān)鍵局”。（二）游戲中的對策問題例3：取棋子問題題目：桌上有20枚棋子，甲乙兩人輪流取，每次只能取1枚或2枚，誰取到最后一枚誰獲勝。若甲先取，他是否有必勝策略？解析：倒推法分析：若剩余1枚或2枚，當(dāng)前取棋者可直接取走獲勝，因此“剩余3枚”是關(guān)鍵節(jié)點——無論當(dāng)前取棋者取1枚還是2枚，對手都能取走剩余棋子。以此類推，3的倍數(shù)（3、6、9...18）均為“必敗點”，即若輪到自己時剩余棋子數(shù)為3的倍數(shù)，則對手可通過“每次?。?-自己取的數(shù)量）”的策略控制局面。甲的必勝策略：20÷3=6……2，甲先取2枚，剩余18枚（3的倍數(shù)）；之后乙取1枚，甲取2枚；乙取2枚，甲取1枚，始終保持每輪共取3枚，最終甲取到最后一枚。例4：報數(shù)游戲題目：兩人從1開始輪流報數(shù)，每次可報1-3個數(shù)，誰先報到30誰獲勝。若先手想獲勝，第一次應(yīng)報幾個數(shù)？解析：關(guān)鍵數(shù)字：每次最多報3個數(shù)，故“4”是周期（1+3=4）。30÷4=7……2，即30=4×7+2。先手策略：先報2個數(shù)（1、2），剩余28個數(shù)（4×7）。之后無論后手報n個數(shù)（1≤n≤3），先手報（4-n）個數(shù)，確保每輪共報4個數(shù)，最終先手報到30。（三）生活場景中的對策應(yīng)用例5：購物策略問題題目：超市促銷活動：滿300減50，滿200減30，滿100減10。媽媽想買一件280元的外套和一條150元的褲子，如何組合付款最劃算？解析：方案1：分開付款外套280元：滿200減30，實付250元；褲子150元：滿100減10，實付140元；總價：250+140=390元。方案2：合并付款總價280+150=430元，滿300減50，實付430-50=380元；方案3：拆分重組（假設(shè)允許拆分訂單）將外套拆分為200元+80元，200元部分滿200減30（實付170元），80元無優(yōu)惠；褲子150元滿100減10（實付140元）；總價170+80+140=390元，不如方案2劃算。結(jié)論：合并付款最劃算，實付380元。三、邏輯推理方法訓(xùn)練（一）枚舉法與排除法在資源數(shù)量較少時，可枚舉所有可能策略，排除劣勢選項。例如，若雙方各有3匹馬，共有3×2×1=6種出馬順序，通過枚舉可發(fā)現(xiàn)“田忌賽馬”策略是唯一能以弱勝強的方案。（二）假設(shè)法與逆推法假設(shè)法：假設(shè)對手采用某種策略，推導(dǎo)自身最優(yōu)應(yīng)對方式。例如在取棋子游戲中，假設(shè)對手會取1枚，自己應(yīng)取2枚以控制節(jié)奏。逆推法：從目標(biāo)結(jié)果反推關(guān)鍵節(jié)點。如報數(shù)游戲中，要搶到30，需先搶到26；要搶到26，需先搶到22……以此類推，直到找到首次行動的最優(yōu)方案。（三）歸納法與規(guī)律總結(jié)通過多組數(shù)據(jù)歸納策略規(guī)律，如：在“取1-2枚棋子”游戲中，3的倍數(shù)是必敗點；在“報1-3個數(shù)”游戲中，4的倍數(shù)是必敗點；通用規(guī)律：若每次最多取n個物品，則（n+1）的倍數(shù)為必敗點，先手需通過首次行動將剩余數(shù)量控制為（n+1）的倍數(shù)。四、拓展提升訓(xùn)練（一）多變量對策問題題目：甲、乙兩隊進(jìn)行籃球挑戰(zhàn)賽，每隊有A、B、C三名球員，得分能力如下：甲隊A（20分）、B（15分）、C（10分）；乙隊A（18分）、B（16分）、C（12分）。比賽分三節(jié)，每節(jié)每隊派一名球員，得分高的隊伍獲得該節(jié)勝利，累計勝兩節(jié)的隊伍奪冠。乙隊教練通過賽前分析得知甲隊大概率按A→B→C的順序派球員，乙隊?wèi)?yīng)如何安排出場順序才能確保奪冠？解析：甲隊固定順序：A（第一節(jié)）、B（第二節(jié)）、C（第三節(jié)）。乙隊可能的6種出場順序及結(jié)果：A→B→C：20>18（甲勝）、15<16（乙勝）、10<12（乙勝）→乙隊2:1奪冠A→C→B：20>18（甲勝）、15>12（甲勝）、10<16（乙勝）→甲隊2:1奪冠B→A→C：20<16（乙勝）、15>18（甲勝）、10<12（乙勝）→乙隊2:1奪冠B→C→A：20<16（乙勝）、15>12（甲勝）、10<18（乙勝）→乙隊2:1奪冠C→A→B：20<12（乙勝）、15>18（甲勝）、10<16（乙勝）→乙隊2:1奪冠C→B→A：20<12（乙勝）、15<16（乙勝）、10<18（乙勝）→乙隊3:0奪冠結(jié)論：乙隊只要不采用“A→C→B”的順序，均可奪冠。其中“C→B→A”順序能實現(xiàn)3:0完勝，是最優(yōu)策略。（二）動態(tài)調(diào)整策略問題題目：甲乙兩人玩猜拳游戲（石頭、剪刀、布），五局三勝制。已知甲前三局的出拳順序為：石頭、剪刀、布，且前三局結(jié)果為甲勝1局、乙勝2局。若甲想在后兩局逆轉(zhuǎn)獲勝，他需要如何調(diào)整策略？（假設(shè)乙前三局出拳為：布、石頭、剪刀）解析：分析乙的出拳規(guī)律：乙前三局為“布→石頭→剪刀”，呈現(xiàn)“循環(huán)遞減”規(guī)律（布克石頭，石頭克剪刀，剪刀克布），推測乙下一局可能出“布”（繼續(xù)循環(huán)）。甲的目標(biāo)：后兩局需全勝。第四局：若乙出“布”，甲出“剪刀”（剪刀克布）→甲勝第五局：乙可能繼續(xù)循環(huán)出“石頭”，甲出“布”（布克石頭）→甲勝策略驗證：通過觀察對手的行為模式，推導(dǎo)其下一步可能的選擇，是動態(tài)對策問題的核心。五、常見錯誤與解題技巧（一）常見誤區(qū)分析忽略規(guī)則細(xì)節(jié)：如“三局兩勝”與“五局三勝”的策略差異，或“資源是否可重復(fù)使用”的限制。反例：在取棋子游戲中，誤將“每次取1-2枚”理解為“最多取2枚且可連續(xù)取同一數(shù)量”，導(dǎo)致策略錯誤。單向思維：只考慮自身策略，忽略對手的最優(yōu)應(yīng)對。反例：在賽馬問題中，僅按“自己的最優(yōu)順序”排列，未考慮對手可能的變招。過度依賴直覺：未通過邏輯推理驗證策略的必然性。反例：在報數(shù)游戲中，認(rèn)為“先報大數(shù)就能贏”，而未發(fā)現(xiàn)“4的倍數(shù)必敗點”規(guī)律。（二）解題技巧總結(jié)畫流程圖：用箭頭表示資源順序或游戲步驟，直觀呈現(xiàn)策略組合。列表對比法：將雙方可能的策略列成表格，逐一對比勝負(fù)結(jié)果（如賽馬問題中的6種出場順序?qū)Ρ缺恚Ｄ嫦蛩季S訓(xùn)練：從最終目標(biāo)倒推關(guān)鍵節(jié)點，如“要取到第20枚棋子，需先取到第17枚”。規(guī)律提煉法：通過多組小數(shù)據(jù)實驗，提煉通用策略（如“n+1必敗點”規(guī)律）。六、實際應(yīng)用與思維拓展（一）在體育競技中的應(yīng)用對策問題廣泛存在于體育比賽中，如乒乓球團體賽的排兵布陣、足球比賽的陣型調(diào)整等。教練需根據(jù)對手弱點（如“對手一號主力擅長單打但雙打薄弱”），合理安排隊員出場順序，以實現(xiàn)整體勝利。（二）在經(jīng)濟決策中的應(yīng)用企業(yè)競爭中，商家通過分析競爭對手的定價策略（如“對手可能降價促銷”），制定自身的價格方案（如“買一送一”“滿減疊加”），這也是對策問題的實際應(yīng)用。四年級學(xué)生可通過模擬“班級文具店促銷”活動，體驗策略對收益的影響。（三）與高階數(shù)學(xué)的銜接本單元學(xué)習(xí)為初中“博弈論”打下基礎(chǔ)。博弈論是研究