2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)周測(cè)（第八周）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）若$a>b>0$，則下列不等式一定成立的是（）A.$a^2>b^2$B.$\frac{1}{a}>\frac{1}$C.$ac^2>bc^2$D.$a-c>b-c$已知$x>0$，$y>0$，且$x+2y=1$，則$xy$的最大值為（）A.$\frac{1}{8}$B.$\frac{1}{4}$C.$\frac{1}{2}$D.1不等式$x^2-3x+2<0$的解集是（）A.$(-\infty,1)\cup(2,+\infty)$B.$(1,2)$C.$(-\infty,1]$D.$[2,+\infty)$若關(guān)于$x$的不等式$ax^2+bx+c>0$的解集為$(-1,2)$，則關(guān)于$x$的不等式$cx^2+bx+a<0$的解集是（）A.$(-\infty,-1)\cup(\frac{1}{2},+\infty)$B.$(-1,\frac{1}{2})$C.$(-\infty,-\frac{1}{2})\cup(1,+\infty)$D.$(-\frac{1}{2},1)$已知變量$x$，$y$滿足約束條件$\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq2\0\leqy\leq3\end{cases}$，則目標(biāo)函數(shù)$z=2x+y$的最大值為（）A.7B.8C.9D.10若$a$，$b\inR$，且$ab>0$，則下列不等式中，恒成立的是（）A.$a^2+b^2>2ab$B.$a+b\geq2\sqrt{ab}$C.$\frac{1}{a}+\frac{1}>\frac{2}{\sqrt{ab}}$D.$\frac{a}+\frac{a}\geq2$設(shè)$x$，$y$為正數(shù)，則$(x+y)(\frac{1}{x}+\frac{4}{y})$的最小值為（）A.6B.9C.12D.15已知點(diǎn)$P(x,y)$在不等式組$\begin{cases}x-2\leq0\y-1\leq0\x+2y-2\geq0\end{cases}$表示的平面區(qū)域上運(yùn)動(dòng)，則$z=x-y$的取值范圍是（）A.$[-2,-1]$B.$[-2,1]$C.$[-1,2]$D.$[1,2]$若關(guān)于$x$的不等式$x^2-ax+1\leq0$的解集為空集，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$(-2,2)$B.$[-2,2]$C.$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$D.$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$某公司生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸。銷(xiāo)售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)5萬(wàn)元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)3萬(wàn)元。該公司在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過(guò)13噸，B原料不超過(guò)18噸。那么該公司可獲得最大利潤(rùn)是（）A.12萬(wàn)元B.20萬(wàn)元C.25萬(wàn)元D.27萬(wàn)元設(shè)$a>0$，$b>0$，若$\sqrt{3}$是$3^a$與$3^b$的等比中項(xiàng)，則$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值為（）A.8B.4C.1D.$\frac{1}{4}$已知函數(shù)$f(x)=x+\frac{4}{x}$，$x\in[1,3]$，則函數(shù)$f(x)$的值域是（）A.$[4,5]$B.$[5,\frac{13}{3}]$C.$[4,\frac{13}{3}]$D.$[4,+\infty)$二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若$x>1$，則$x+\frac{1}{x-1}$的最小值為_(kāi)_______。不等式$\frac{x-1}{x+2}\leq0$的解集是________。已知變量$x$，$y$滿足約束條件$\begin{cases}x\geq1\x+y\leq3\y\geq1\end{cases}$，則$z=x-2y$的最小值為_(kāi)_______。若關(guān)于$x$的不等式$ax^2+bx+2>0$的解集是$(-\frac{1}{2},\frac{1}{3})$，則$a+b=$________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）（本小題滿分10分）解不等式：$|x-1|+|x+2|\geq5$。（本小題滿分12分）已知$a$，$b$，$c$均為正數(shù)，且$a+b+c=1$，求證：$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}\geq9$。（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=x^2+ax+b(a,b\inR)$的值域?yàn)?[0,+\infty)$，若關(guān)于$x$的不等式$f(x)<c$的解集為$(m,m+6)$，求實(shí)數(shù)$c$的值。（本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1件需消耗A原料1千克、B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1件需消耗A原料2千克、B原料1千克。每件甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元，每件乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元。工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗A原料不超過(guò)12千克，B原料不超過(guò)10千克。問(wèn)：工廠每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少件，才能使利潤(rùn)總額最大？最大利潤(rùn)是多少？（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2+2x+a}{x}$，$x\in[1,+\infty)$。（1）當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，求函數(shù)$f(x)$的最小值；（2）若對(duì)任意$x\in[1,+\infty)$，$f(x)>0$恒成立，試求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。（本小題滿分12分）已知關(guān)于$x$的不等式$kx^2-2x+6k<0(k\neq0)$。（1）若不等式的解集是${x|x<-3或x>-2}$，求$k$的值；（2）若不等式的解集是$R$，求$k$的取值范圍；（3）若不等式的解集為$\varnothing$，求$k$的取值范圍。參考答案一、選擇題A2.A3.B4.A5.C6.D7.B8.C9.A10.D11.B12.C二、填空題314.$(-2,1]$15.-316.-14三、解答題解：當(dāng)$x<-2$時(shí)，不等式可化為$-(x-1)-(x+2)\geq5$，解得$x\leq-3$；當(dāng)$-2\leqx\leq1$時(shí)，不等式可化為$-(x-1)+(x+2)\geq5$，即$3\geq5$，無(wú)解；當(dāng)$x>1$時(shí)，不等式可化為$(x-1)+(x+2)\geq5$，解得$x\geq2$。綜上，不等式的解集為$(-\infty,-3]\cup[2,+\infty)$。證明：因?yàn)?a$，$b$，$c$均為正數(shù)，且$a+b+c=1$，所以$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c})=3+\frac{a}+\frac{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}+\frac{c}$。因?yàn)?\frac{a}+\frac{a}\geq2$，$\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\geq2$，$\frac{c}+\frac{c}\geq2$，所以$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}\geq3+2+2+2=9$，當(dāng)且僅當(dāng)$a=b=c=\frac{1}{3}$時(shí)等號(hào)成立。解：因?yàn)楹瘮?shù)$f(x)=x^2+ax+b$的值域?yàn)?[0,+\infty)$，所以$\Delta=a^2-4b=0$，即$b=\frac{a^2}{4}$。所以$f(x)=x^2+ax+\frac{a^2}{4}=(x+\frac{a}{2})^2$。因?yàn)椴坏仁?f(x)<c$的解集為$(m,m+6)$，所以方程$(x+\frac{a}{2})^2=c$的兩根分別為$m$和$m+6$，即$x+\frac{a}{2}=\pm\sqrt{c}$，解得$x=-\frac{a}{2}\pm\sqrt{c}$。所以$(-\frac{a}{2}+\sqrt{c})-(-\frac{a}{2}-\sqrt{c})=2\sqrt{c}=6$，解得$c=9$。解：設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品$x$件，乙產(chǎn)品$y$件，利潤(rùn)總額為$z$元。根據(jù)題意，得$\begin{cases}x+2y\leq12\2x+y\leq10\x\geq0,y\geq0\x,y\inN\end{cases}$，目標(biāo)函數(shù)$z=300x+400y$。作出可行域如圖所示，由圖可知，當(dāng)直線$z=300x+400y$經(jīng)過(guò)點(diǎn)$A(2,5)$時(shí)，$z$取得最大值，$z_{max}=300\times2+400\times5=600+2000=2600$。所以每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品2件，乙產(chǎn)品5件時(shí)，利潤(rùn)總額最大，最大利潤(rùn)為2600元。解：（1）當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，$f(x)=x+\frac{1}{2x}+2$，因?yàn)?f(x)$在$[1,+\infty)$上單調(diào)遞增，所以$f(x){min}=f(1)=1+\frac{1}{2}+2=\frac{7}{2}$。（2）因?yàn)?f(x)=\frac{x^2+2x+a}{x}=x+\frac{a}{x}+2$，當(dāng)$a\geq0$時(shí)，$f(x)$在$[1,+\infty)$上單調(diào)遞增，$f(x){min}=f(1)=3+a>0$，所以$a\geq0$；當(dāng)$a<0$時(shí)，$f(x)$在$[1,+\infty)$上單調(diào)遞增，$f(x)_{min}=f(1)=3+a>0$，解得$a>-3$，所以$-3<a<0$。綜上，實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是$(-3,+\infty)$。解：（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧?{x|x<-3或x>-2}$，所以$-3$和$-2$是方程$kx^2-2x+6k=0$的兩根，所以$\begin{cases}-3+(-2)=\frac{2}{k}\-3\ti