6.3.3余角和補(bǔ)角教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析本節(jié)課是2024年新人教版七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第六章《幾何圖形初步》中的6.3.3余角和補(bǔ)角，本節(jié)課的主要內(nèi)容是余角和補(bǔ)角的概念和性質(zhì).在之前對(duì)幾何圖形初步的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已認(rèn)識(shí)直角、平角及掌握比較角大小的方法引入余角和補(bǔ)角的概念，余角是指若兩個(gè)角的和等于90°(直角),這兩個(gè)角就互為余角；補(bǔ)角是指若兩個(gè)角的和等于180°(平角),這兩個(gè)角就互為補(bǔ)角.余角和補(bǔ)角反映的是角與角之間的數(shù)量關(guān)系，這是學(xué)生首次深入探究?jī)蓚€(gè)圖形的數(shù)量關(guān)系，為后續(xù)探究余角、補(bǔ)角的性質(zhì)以及解決也有助于進(jìn)一步提升學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)能力和知識(shí)運(yùn)用能力.需要強(qiáng)調(diào)的僅關(guān)乎角的數(shù)量關(guān)系，與角的位置并無(wú)關(guān)聯(lián).基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：掌握余角和補(bǔ)角的概念及性質(zhì).(1)理解余角和補(bǔ)角的概念，能在圖中找到一個(gè)角的余(補(bǔ))角，能求一個(gè)角的余(補(bǔ))角.(2)掌握余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，能運(yùn)用余角與補(bǔ)角的性質(zhì)解決問(wèn)題.對(duì)于目標(biāo)(1),通過(guò)對(duì)余角和補(bǔ)角概念的學(xué)習(xí)與圖形觀察分析，學(xué)生能理解余角和補(bǔ)角的概念，能準(zhǔn)確在圖中找出一個(gè)角的余(補(bǔ))角，能依據(jù)概念正確求一個(gè)角的余(補(bǔ))角.對(duì)于目標(biāo)(2),通過(guò)對(duì)余角和補(bǔ)角性質(zhì)的探究推理過(guò)程，學(xué)生能掌握余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，能熟練運(yùn)用余角與補(bǔ)角的性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題，包括在復(fù)雜圖形中識(shí)別和運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行角度的推理計(jì)算等.三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析角關(guān)系的深入拓展，此前學(xué)生接觸的圖形多有共同頂點(diǎn)或公共邊，而余角、補(bǔ)角作為數(shù)量關(guān)系，兩角位置用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)思考過(guò)程存在困難，圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換更是薄弱環(huán)節(jié).基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：理解余角、補(bǔ)角概念中與位置無(wú)關(guān)這一要點(diǎn)；通過(guò)余角、四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)(一)新知引入【問(wèn)題1】在一副三角尺中，每個(gè)三角尺都有一個(gè)角是直角，那么另外兩個(gè)銳角的和有什么特點(diǎn)?【問(wèn)題2】觀察剪刀從張開到合攏的過(guò)程，∠1與∠2的和有什么特點(diǎn)?答：∠1與∠2的和為180°.【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)選取學(xué)生熟悉的三角尺與剪刀為載幫助學(xué)生快速進(jìn)入學(xué)習(xí)情境、降低認(rèn)知門檻，又以“兩角和為90°”“兩角和為180°”的問(wèn)題結(jié)論為后續(xù)余角、補(bǔ)角概念鋪墊，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生自主觀察、歸納規(guī)律，在感知知識(shí)本質(zhì)的過(guò)程中鍛煉觀察與提煉數(shù)學(xué)規(guī)律的能力，契合數(shù)學(xué)從具體到抽象的認(rèn)知邏輯.(二)新知講解知識(shí)點(diǎn)1余角和補(bǔ)角的概念1.余角的概念：如果兩個(gè)角的和等于90°(直角),就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，簡(jiǎn)稱這兩個(gè)角互余，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角.∵∠1+∠2=90°,∴∠1與∠2互為余角.工2.補(bǔ)角的概念：如果兩個(gè)角的和等于180°(平角),就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，簡(jiǎn)稱這兩個(gè)角互補(bǔ)，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角.符號(hào)語(yǔ)言：∴∠3與∠4互為補(bǔ)角.反之也成立：∵∠3與∠4互為補(bǔ)角，【小結(jié)】1.判斷兩個(gè)角是否互余(補(bǔ)),唯一標(biāo)準(zhǔn)是它們的度數(shù)和是否為90°(180°),與它們的位置無(wú)關(guān).因此，互余(補(bǔ))是兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，而不是位置關(guān)系.2.余角、補(bǔ)角是成對(duì)出現(xiàn)的，單獨(dú)的一個(gè)角、三個(gè)或三個(gè)以上的角之間不能說(shuō)互余或互補(bǔ).例如，當(dāng)∠1+∠2+∠3=90°時(shí)，不能說(shuō)∠1,∠2,∠3互余.【小試牛刀】圖中給出的各角中，哪些互為余角?哪些互為補(bǔ)角?解：互為余角的角是10°和80°、30°和6知識(shí)點(diǎn)2余角和補(bǔ)角的性質(zhì)【思考1】∠1與∠2,∠3都互余，∠2與∠3的大小有什么關(guān)系?解：理由如下：∵∠1與∠2,∠3都互為余角，【小結(jié)】同角的余角相等.【思考2】∠1與∠2互余，∠3與∠4互余，如果∠1=∠3,那么∠2和∠4相等嗎?為什么?∵∠1與∠2互余，∠3與∠4互余，【小結(jié)】等角的余角相等.【思考3】如圖，如果∠1與∠2,∠3都互補(bǔ)，那么∠2與∠3的大小有什么關(guān)系?解：∵∠1與∠2互為補(bǔ)角，又∠1與∠3互為補(bǔ)角，【小結(jié)】同角的補(bǔ)角相等.【思考4】已知：∠1與∠2互為補(bǔ)角，∠3與∠4互為補(bǔ)角，如果∠1=∠3,那么∠2與∠4相等嗎?為什么?解：∵∠1與∠2互為補(bǔ)角，又∠3與∠4互為補(bǔ)角，【小結(jié)】等角的補(bǔ)角相等.【小結(jié)】類型性質(zhì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言余角同角(等角)①如果∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,那么∠2=∠3.②如果∠1+∠2=90°,∠3+∠4=90°,且∠1=∠3,那么∠2=∠4.補(bǔ)角同角(等角)的補(bǔ)角相等①如果∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°,那么∠2=∠3.②如果∠1+∠2=180°,∠3+∠4=180°,且∠1=∠3,那么∠2=∠4.【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)先明確余角、補(bǔ)角的概念及符號(hào)語(yǔ)言，結(jié)合小結(jié)強(qiáng)調(diào)“數(shù)量關(guān)系”核心與“成對(duì)出現(xiàn)”特點(diǎn)，再通過(guò)小試牛刀鞏固概念；接著以“思考”問(wèn)題鏈推導(dǎo)余角、補(bǔ)角的性質(zhì)，層層遞進(jìn).整體設(shè)計(jì)既幫助學(xué)生精準(zhǔn)掌握知識(shí)定義與邏輯，又通過(guò)符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化、問(wèn)題探究，鍛煉數(shù)學(xué)表達(dá)與推理能力，同時(shí)銜接新知引入內(nèi)容，構(gòu)建完整的知識(shí)認(rèn)知體系.(三)典型例題(2)若∠1的補(bǔ)角是115°32',則∠1的度數(shù)為64°28'_,∠1的余角為25°32';(3)若∠A的度數(shù)是37°24',∠B的度數(shù)是52°36',則∠A與∠【針對(duì)練習(xí)】(1)若∠A=35°,則∠A的余角為55°,補(bǔ)角為145°,它的補(bǔ)角比余角大90°;(2)若∠1的余角等于51°19',則∠1等于38°41',∠1的補(bǔ)角等于141°19;例2一個(gè)角的余角與這個(gè)角的補(bǔ)角之和為130°,求這個(gè)角的度數(shù).根據(jù)題意，得90—x+180—x=130.解得x=70.【小結(jié)】解此類題，先明確余角(和為90°)、補(bǔ)角(和為180°)定義，設(shè)原角為x°,用(90—x)°、 (180—x)°表示余角、補(bǔ)角，再依“和為已知度數(shù)”列一元一次方程求解；注意區(qū)分余角、補(bǔ)角，方程出錯(cuò).【針對(duì)練習(xí)】已知一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角的2倍大40°,求這個(gè)角的度數(shù).解：設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為x.依題意，得180°-x=2(90°—x)解得x=40°.例3(雙角平分線模型)如圖，點(diǎn)A,O,B在同一條直線上，射線OD和射線OE分別平分∠AOC和分析：互為余角的兩個(gè)角的和是90°,而已知條件中隱含互為補(bǔ)角的條件，再利用角平分線的條件，便可以發(fā)現(xiàn)互為余角的角.=90°.【針對(duì)練習(xí)】(雙直角模型)如圖，O是直線MN上一點(diǎn)，OC平分∠AOM,且∠BOC=90°,則OB是否平分∠AON?請(qǐng)說(shuō)明理由.因?yàn)?是直線MN上一點(diǎn)，所以∠MON=180°.(2)∠AOD與∠BOC互補(bǔ)嗎?為什么?解：(2)∠AOD與∠BOC互補(bǔ).理由如下：【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)通過(guò)不同類型題目分層設(shè)計(jì)：基礎(chǔ)計(jì)算類例題與練習(xí)，幫助學(xué)生熟練運(yùn)用余角、補(bǔ)角定義進(jìn)行角度換算，鞏固核心概念；方程求解類例題，引導(dǎo)學(xué)生將文字信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程，提升邏輯建模能力；幾何模型類例題，結(jié)合角平分線、直線與直角條件，拓展知識(shí)應(yīng)用場(chǎng)景，培養(yǎng)幾整體設(shè)計(jì)以練促學(xué)，既強(qiáng)化知識(shí)掌握，又逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與推理能力，實(shí)現(xiàn)從概念到應(yīng)(四)當(dāng)堂鞏固A.40°B.140°C2.若一個(gè)角的余角是66°25',則這個(gè)角的度數(shù)為(A)A.23°35'B.23°75'C.113°35'D.113°75'4.如圖，直線AB與直線DE相交于點(diǎn)0,∠AOC=90°,則∠AOD的余角是∠COD,∠AODA-BA-E5.如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O,OE⊥AB,OF⊥CD.DC因?yàn)橹本€AB與CD相交于點(diǎn)O,所以∠AOC+∠AOD=180°,∠AOC+∠COB=180°.所以∠AOD=∠COB.(答案不唯一)【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)分層考查余角補(bǔ)角定義應(yīng)用、角度換算及幾何圖形中角的關(guān)系推導(dǎo)