1.布朗運動的引入；2.布朗運動的數(shù)學(xué)模型3.布朗運動的定義；4.布朗運動的分布；5.布朗運動的數(shù)字特征；布朗運動1.布朗運動的引入；Brown運動最初是由英國生物學(xué)家R.Brown于1827年根據(jù)觀察花粉在液面上作”無規(guī)則運動”的物理現(xiàn)象而提出的.Einstein于1905年首次對這一現(xiàn)象的物理規(guī)律給出了一種數(shù)學(xué)描述,使這一課題有了顯著的發(fā)展.Wiener于1918年對這一現(xiàn)象在理論上作出了精確的數(shù)學(xué)描述,并進一步研究的Brown運動的軌道性質(zhì),提出了在Brown運動空間上定義測度與積分.Brown運動作為具有連續(xù)參數(shù)和連續(xù)狀態(tài)空間的一個隨機過程,是一個最基本,最簡單同時又是最重要的隨機過程.許多其它的隨機過程常常可以看作是它的泛函或某種意義下的推廣.Brown運動及其推廣廣泛出現(xiàn)在許多科學(xué)領(lǐng)域中,如物理,經(jīng)濟,通信理論等.同時,由于Brown運動與微分方程有密切聯(lián)系,它又成為概率與分析聯(lián)系的重要渠道.2、布朗運動的數(shù)學(xué)模型以B(t)表示運動中一微粒從時刻t=0到時刻t>0的位移的橫坐標，且設(shè)B(0)=0。由于微粒的運動是受到大量隨機的、相互獨立的分子碰撞的結(jié)果，于是:

粒子在時段(s,t]上的位移可看作是許多微小位移的 和，根據(jù)中心極限定理，假設(shè)位移B(t)-B(s)服從正 態(tài)分布是合理的。(2)由于粒子的運動完全由液體分子不規(guī)則碰撞而引起 的，這樣，在不相重疊的時間間隔內(nèi)，碰撞的次數(shù)、 大小和方向可假設(shè)相互獨立，即B(t)具有獨立增量， 同時B(t)的增量具有平穩(wěn)性。3.Brown運動的定義不失一般性，僅僅討論標準Brown運動4.布朗運動的分布：布朗運動是正態(tài)過程。證明：所以：布朗運動是正態(tài)過程。設(shè)X(t)為布朗運動，若對任意的n及任意的t1<t2<t3…,<tn

，n維隨機變量(B(t1),…,B(tn))服從n維正態(tài)分布，即其概率密度為5、維納過程的數(shù)字特征(1)維納過程的均值函數(shù)、方差函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)與相關(guān)函數(shù)為例:

設(shè){B(t),t≥0}是以σ2

為參數(shù)的布朗過程,求下列過程的協(xié)方差函數(shù):解:(1)設(shè)Z(t)=B(t)+At,則(1)B(t)+At,(A為常數(shù));(2)B(t)+Xt,X為與{B(t),t≥0}相互獨立的標準正態(tài)變量.(3)aB(t/a2),a

為正常數(shù).(2)設(shè)Z(t)=B(t)+At,則均值為其中，因為X