數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系Black-Scholes-Merton期權(quán)定價(jià)模型西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系WangQin一、Black-Scholes-Merton期權(quán)定價(jià)模型基本思路我們?yōu)榱私o股票期權(quán)定價(jià)，必須先了解股票本身的走。因?yàn)楣善逼跈?quán)是其標(biāo)的資產(chǎn)（即股票）的衍生工具，在已知執(zhí)行價(jià)格、期權(quán)有效期、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)收益的情況下，期權(quán)價(jià)格變化的唯一來(lái)源就是股票價(jià)格的變化，股票價(jià)格是影響期權(quán)價(jià)格的最根本因素。因此要研究期權(quán)的價(jià)格，首先必須研究股票價(jià)格的變化規(guī)律在了解了股票價(jià)格的現(xiàn)律后，我們?cè)噲D通過(guò)股票末復(fù)制期權(quán)并以此為儂據(jù)給期權(quán)定價(jià)。后面我們會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)描述這種定價(jià)的思想。西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系WangQin二、布朗運(yùn)動(dòng)1.標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的兩大特征1）（正態(tài)分布）2）對(duì)任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔，的值相互獨(dú)立。（獨(dú)立增量）2.維納過(guò)程1）也是正態(tài)分布2）均值為03）方差為4）標(biāo)準(zhǔn)差等于5）方差可加性西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系WangQin為何使用布朗運(yùn)動(dòng)？正態(tài)分布的使用：經(jīng)驗(yàn)事實(shí)證明，股票價(jià)格的連續(xù)復(fù)利收益率近似地服從正態(tài)分布數(shù)學(xué)上可以證明，

具備特征1

和特征2的維納過(guò)程是一個(gè)馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程維納過(guò)程在數(shù)學(xué)上對(duì)時(shí)間處處不可導(dǎo)和二次變分(Quadratic

Variation

)不為零的性質(zhì)，

與股票收益率在時(shí)間上存在轉(zhuǎn)折尖點(diǎn)等性質(zhì)也是相符的西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系WangQin西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系WangQin西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系WangQin三、伊藤過(guò)程與伊藤引理1.伊藤過(guò)程普通布朗運(yùn)動(dòng)假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量

的漂移率和方差率當(dāng)作變量和時(shí)間的函數(shù)，就可以得到此過(guò)程稱為伊藤過(guò)程（ItoProcess）其中，是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，是變量和的函數(shù)，變量漂移率為，方差率為。西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系WangQin2.伊藤引理在伊藤過(guò)程的K.Ito進(jìn)一步推導(dǎo)出，若變量遵循伊藤過(guò)程，則變量和的函數(shù)將遵循如下過(guò)程：其中，是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系WangQin

隨機(jī)游動(dòng)積分泰勒展開(kāi)忽略比高階的項(xiàng)將代入上式，則在常微分中得到：隨機(jī)微分中得到：西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系WangQin由于，則，方差和同階，因此將代入，則伊藤引理的運(yùn)用如果知道

遵循的隨機(jī)過(guò)程，

通過(guò)伊藤引理

可以推導(dǎo)出

遵循的隨機(jī)過(guò)程。由于衍生產(chǎn)品價(jià)格是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和時(shí)間的函數(shù)，因此隨機(jī)過(guò)程在衍生產(chǎn)品分析中扮演重要的角色。西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系WangQin西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系WangQin西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系WangQin西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系WangQin三、預(yù)期收益率和波動(dòng)率西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系WangQin四、衍生品價(jià)格服從的隨機(jī)過(guò)程當(dāng)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于衍生證券價(jià)格是標(biāo)的證券價(jià)格和時(shí)間的函數(shù)，根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價(jià)格應(yīng)遵循如下過(guò)程：衍生證券的價(jià)格和股票價(jià)格都受同一個(gè)不確定性來(lái)源的影響，這點(diǎn)對(duì)推導(dǎo)衍生品證券定價(jià)公式很重要。西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系WangQin五、Black-Scholes-Merton期權(quán)定價(jià)模型假設(shè)：1）證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即

和

為常數(shù)2）允許賣空標(biāo)的證券3）沒(méi)有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分的4）衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒(méi)有現(xiàn)金收益支付5）不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)6）證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的7）行生證券有效期內(nèi)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率

為常數(shù)。西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系WangQin由于證券價(jià)格

遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，因此有其在一個(gè)小的時(shí)間間隔

中，

的變化值

為:

設(shè)

是依賴于

的衍生證券的價(jià)格，則

一定是

和

的函數(shù)，根據(jù)伊藤引理可得：在一個(gè)小的時(shí)間間隔中，

的變化值

為西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系WangQin為了消除風(fēng)險(xiǎn)源

，可以構(gòu)建一個(gè)包括一單位衍生證券空頭和

單位標(biāo)的證券多頭的組合。令

代表該投資組合的價(jià)值，則：在時(shí)間后，該投資組合的價(jià)值變化

為：代入和可得中不含任何風(fēng)險(xiǎn)源，因此組合必須獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益，即，代入上式有：，化簡(jiǎn)有：這就是著名的Black-Scholes微分方程，它適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格S的所有衍生證券定價(jià)。受制于主觀的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價(jià)值決定公式中。這意味著無(wú)論風(fēng)險(xiǎn)收益偏好如何，都不會(huì)對(duì)

的值產(chǎn)生影響。因此可以簡(jiǎn)化假設(shè):在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者對(duì)于

所蘊(yùn)涵的風(fēng)險(xiǎn)都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。在所有投資者對(duì)dz都是風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，所有風(fēng)險(xiǎn)源為

的證券的預(yù)期收益率都等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)中性的投資者并不需要額外的收益來(lái)吸引他們承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)。在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，所有風(fēng)險(xiǎn)源為

的現(xiàn)金流都應(yīng)該使用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系WangQin西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系WangQin西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系WangQin西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系WangQin西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系WangQinBlack-Scholes-Merton期權(quán)公式推導(dǎo)在關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)中性的世界中，歐式看漲期權(quán)價(jià)格等于其期望按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值：其中表示風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期望值；同時(shí)，在此風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，期權(quán)到期

時(shí)刻標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從如下的對(duì)數(shù)正態(tài)分布：令這里，顯然西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系WangQin西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系WangQin西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系WangQin西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系WangQin西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系WangQin西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系WangQin西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系WangQinB-S-M期權(quán)定價(jià)公式的精確度評(píng)