試卷第=page1010頁(yè)，共=sectionpages1111頁(yè)高2024級(jí)高二上學(xué)期半期考試數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分一、單選題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的).1．直線的傾斜角是（

）A．0 B． C． D．2．已知，，是空間中三條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，則B．若，，，，則C．若，，，，則D．若，，，，則3．向量，，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．4．已知直線，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．如圖，已知在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)，分別在棱和上，且，則直線與直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．已知點(diǎn)在確定的平面內(nèi)，是平面外任意一點(diǎn)，滿足，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．在正三棱臺(tái)中，已知，，側(cè)棱的長(zhǎng)為2，則此正三棱臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．8．在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且以為法向量的平面的方程為.若平面的方程化簡(jiǎn)為，直線的方向向量為，則直線與平面的所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．10．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M，N分別為AD，CD的中點(diǎn)，過(guò)，M，N三點(diǎn)的截面將正方體分成兩部分，其中體積小的幾何體的體積記為，體積大的幾何體的體積記為，則（

）A．平面 B．C．截面的周長(zhǎng)為 D．11．如圖，在正四棱柱中，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線平面B．三棱錐的體積為定值C．三棱錐外接球的體積為D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上）．12．已知直線和直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為．13．已知點(diǎn)，，直線是過(guò)點(diǎn)且與線段AB相交且斜率存在，則的斜率的取值范圍是．14．如圖，在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為．四、解答題（本大題共5小題，其中15題13分，16、17題15分，18、19題17分，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）．15．已知正四面體的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G為線段AF的中點(diǎn).(1)用，，表示；(2)求的值.16．已知頂點(diǎn)、、．(1)求邊所在的直線的方程；(2)若直線過(guò)點(diǎn)，且的縱截距是橫截距的倍，求直線的方程．17．在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，底面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，(1)證明：直線平面；(2)求直線AC與平面OCD所成角的余弦值．(3)求點(diǎn)N到平面OCD的距離．18．已知四邊形為直角梯形，為中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，沿將四邊形折起，連接．(1)若平面平面，求證：；(2)若平面平面．（ⅰ）求二面角的大??；（ⅱ）線段上是否存在點(diǎn)，使平面，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．如圖1，在平面四邊形中，，，，是等腰直角三角形，，將沿折疊到的位置，形成如圖2所示的三棱錐，且.(1)證明：；(2)已知三棱錐，外接球球心為.①若為線段上動(dòng)點(diǎn)（不包含點(diǎn)），為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，設(shè)平面與平面的夾角為，求的最小值.②類似于平面中三角形的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理：由射線，，構(gòu)成的三面角，記，，，二面角的大小為，則，當(dāng)、、時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D3的基礎(chǔ)上，試證三面角余弦定理，并用該結(jié)論求圖2中二面角的余弦值.

參考答案題號(hào)12345678910答案DDACABCDACDABD題號(hào)11答案AD8．D由過(guò)，可化為，所以平面的法向量為，而直線的方向向量為，所以直線與平面的所成角的正弦值.10．ABD對(duì)于A，連接AC，則，，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B，連接，在正方體中，，平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，故B正確；對(duì)于C，過(guò)的截面為梯形，，，，所以其周長(zhǎng)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，截面將正方體分成三棱臺(tái)和剩余的部分，三棱臺(tái)的體積為，剩余部分的體積為，所以，故D正確．11．AD對(duì)于A選項(xiàng)，連接、、如圖所示：在正四棱柱中，，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，同理可證平面，因?yàn)?，、平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?，，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，故，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，三棱錐的外接球半徑等于正四棱柱的外接球半徑，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，因此三棱錐外接球的體積為，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、，則，設(shè)，則，即，其中，，可得平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，故時(shí)，取最小值，則有最大值為，D對(duì).12．13．14．取和的中點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作面于點(diǎn)，連結(jié)，，,平面,故，又，則又平面,故平面，平面，故則為二面角的補(bǔ)角，，因?yàn)?，，則，且，易知，，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，所以是的外?設(shè)三棱錐的外接球的球心為，則面，易知，作，易知為矩形，，設(shè)，，則在中，，且中，，解得，所以外接球表面積為.故答案為：.15．(1)；(2).【詳解】（1）在正四面體中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G為線段AF的中點(diǎn)，，所以.（2）正四面體的棱長(zhǎng)為1，則，所以.16．(1)(2)或【詳解】（1）由、，可知中點(diǎn)為，且，所以邊所在的直線的方程為，即；（2）當(dāng)直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)直線，符合題意；當(dāng)直線不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，由題意設(shè)直線方程為，由過(guò)點(diǎn)，則，解得，所以直線方程為，即，綜上所述，直線的方程為或.17．(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)．【詳解】（1）在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，底面，則兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，得，即，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，則平面，所以直線平面．（2）由（1）知，，且平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，故直線與平面所成角的余弦值為.（3）由（1）知，，且平面的一個(gè)法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離.18．(1)證明見(jiàn)解析；(2)（?。?；（ⅱ）存在，．【詳解】（1）由，平面，平面，得平面，由，同理得平面，而平面，因此平面平面，又平面平面，平面平面，所以.（2）在邊長(zhǎng)為2的正方形中，，由平面平面，平面平面，又平面，得平面，即直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則．（ⅰ），設(shè)平面法向量為，則，取，得，設(shè)平面法向量為，則，取，得，于是，而二面角為鈍二面角，所以二面角的平面角的大小為.（ⅱ）假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使平面，設(shè)，則，由平面，得，則，解得，所以線段上存在點(diǎn)，使平面，且.19．(1)證明見(jiàn)詳解(2)①的最小值為；②證明見(jiàn)詳解；二面角的余弦值為【詳解】（1）因?yàn)?，，，由勾股定理得?因是等腰直角三角形，且，所以，.在中，，所以，即.因，，與相交于點(diǎn)，且平面，所以平面.而平面，所以.（2）過(guò)點(diǎn)作平面.以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)椋?因?yàn)?，，與相交于點(diǎn)，且平面，所以平面.則，，，線段的中點(diǎn)因三棱錐底面為直角三角形，所以三棱錐的外接球球心在底面斜邊上的中點(diǎn)的上方.又因?yàn)榍蛐木嚯x點(diǎn)和的距離相等，所以球心.①因?yàn)榫€段的中點(diǎn)，所以；為線段中點(diǎn)，所以點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，.，，設(shè)平面的法向量為.則，不妨令，則平面的一個(gè)法向量為.，，設(shè)平面的法向量為.則，不妨令，則平面的一個(gè)法向量為.平面與平面的夾角為，則因，所以要求的最