第06講雙曲線及其性質(zhì)目錄考情探究TOC\o"13"\h\z\u 2知識(shí)梳理 3探究核心考點(diǎn) 4考點(diǎn)一雙曲線的定義及其應(yīng)用 4考點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 5考點(diǎn)三雙曲線方程的充要條件 6考點(diǎn)四雙曲線的焦點(diǎn)、焦距 7考點(diǎn)五雙曲線中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問(wèn)題 7考點(diǎn)六雙曲線上兩點(diǎn)距離的最值問(wèn)題 9考點(diǎn)七雙曲線上兩線段的和差最值問(wèn)題 9考點(diǎn)八雙曲線的漸近線 10考點(diǎn)九求雙曲線離心率的值及取值范圍 11考點(diǎn)十與雙曲線有關(guān)的最值、范圍問(wèn)題 12考點(diǎn)十一雙曲線的軌跡方程 13考點(diǎn)十二橢圓與雙曲線綜合 14考點(diǎn)十三雙曲線的實(shí)際應(yīng)用 16三階突破訓(xùn)練 18基礎(chǔ)過(guò)關(guān) 18能力提升 19真題感知 20一、5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2025年全國(guó)一卷，第3題，5分求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍無(wú)2025年全國(guó)二卷，第11題，6分求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍用定義求向量的數(shù)量積已知數(shù)量積求模2025年天津卷，第9題，5分求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍拋物線定義的理解根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線2025年北京卷，第3題，4分求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍無(wú)2024年新課標(biāo)I卷，第12題，5分求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍無(wú)2024年全國(guó)甲卷（理數(shù)），第5題，5分求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍無(wú)2023年新課標(biāo)I卷，第16題，5分利用定義解決雙曲線中焦點(diǎn)三角形問(wèn)題求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍無(wú)2023年全國(guó)甲卷（文數(shù)），第9題，5分根據(jù)a,b,c齊次式關(guān)系求漸近線方程圓的弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦2023年北京卷，第12題，5分根據(jù)離心率求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程無(wú)2023年天津卷，第9題，5分根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

根據(jù)雙曲線的漸近線求標(biāo)準(zhǔn)方程

求點(diǎn)到直線的距離二、命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】近5年雙曲線命題中，“求離心率或其取值范圍”是核心高頻考點(diǎn)，多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)（分值46分）；同時(shí)涉及利用定義解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題、根據(jù)a,b,c及漸近線求標(biāo)準(zhǔn)方程等考點(diǎn)，且部分題目會(huì)與向量數(shù)量積、拋物線定義、圓的弦長(zhǎng)、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)關(guān)聯(lián)，體現(xiàn)出知識(shí)點(diǎn)交叉融合的命題特點(diǎn)，注重對(duì)雙曲線幾何性質(zhì)和綜合運(yùn)算能力的考查?！緜淇疾呗浴總淇紩r(shí)需扎實(shí)掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)（離心率、a,b,c的關(guān)系、漸近線等）。針對(duì)“離心率取值范圍”這一高頻考點(diǎn)開展專項(xiàng)訓(xùn)練，總結(jié)利用幾何圖形性質(zhì)、不等式（如均值不等式、二次函數(shù)值域）、定義法等求解的方法；同時(shí)強(qiáng)化雙曲線與其他圓錐曲線、平面幾何知識(shí)綜合題的練習(xí)，提升知識(shí)遷移和綜合解題能力。【命題預(yù)測(cè)】預(yù)計(jì)未來(lái)雙曲線命題仍會(huì)以“離心率或其取值范圍”為考查重點(diǎn)，題型和分值保持穩(wěn)定。命題將進(jìn)一步突出綜合性，可能在離心率問(wèn)題中融入更多函數(shù)、不等式、向量等知識(shí)，或結(jié)合實(shí)際場(chǎng)景考查雙曲線的方程與性質(zhì)應(yīng)用，以此檢驗(yàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和綜合分析能力。1．雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的.注：設(shè)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)，且a＞0，c＞0；(1)當(dāng)a＜c時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是；(2)當(dāng)a＝c時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是；(3)當(dāng)a＞c時(shí)，集合P是.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)圖形3.雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)：A1，A2頂點(diǎn)坐標(biāo)：A1，A2漸近線y＝y(tǒng)＝離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|＝；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|B1B2|＝；a叫做雙曲線的，b叫做雙曲線的a、b、c的關(guān)系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)考點(diǎn)一雙曲線的定義及其應(yīng)用A．1 B．13 C．1或13 D．2或14跟蹤訓(xùn)練1．【多選】（2025·四川攀枝花·模擬預(yù)測(cè)）圓O的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O所在平面內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．線段AP的垂直平分線l與直線OP相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的軌跡可能是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線考點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)三雙曲線方程的充要條件A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件考點(diǎn)四雙曲線的焦點(diǎn)、焦距A． B． C．3 D．A．1 B．2 C．4 D．8A． B． C． D．考點(diǎn)五雙曲線中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問(wèn)題A．24 B．22 C．20 D．18A． B． C． D．A． B．1 C． D．考點(diǎn)六雙曲線上兩點(diǎn)距離的最值問(wèn)題A． B． C． D．考點(diǎn)七雙曲線上兩線段的和差最值問(wèn)題A．4 B．6 C．10 D．14考點(diǎn)八雙曲線的漸近線A．4 B．2 C． D．考點(diǎn)九求雙曲線離心率的值及取值范圍A． B． C．2 D．A．4 B．2 C． D．A．1 B．2 C．3 D．考點(diǎn)十與雙曲線有關(guān)的最值、范圍問(wèn)題考點(diǎn)十一雙曲線的軌跡方程A． B． C． D．考點(diǎn)十二橢圓與雙曲線綜合A．1 B．2 C．3 D．4考點(diǎn)十三雙曲線的實(shí)際應(yīng)用典例1．（2025高三·山東德州·期末）3D打印是快速成型技術(shù)的一種，通過(guò)逐層打印的方式來(lái)構(gòu)造物體.如圖所示的筆筒為3D打印的雙曲線型筆筒，該筆筒是由離心率為3的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該筆筒的上底直徑為6cm，下底直徑為8cm，高為8cm（數(shù)據(jù)均以外壁即筆筒外側(cè)表面計(jì)算），則筆筒最細(xì)處的直徑為（

）1．（2025·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的焦距是虛軸的2倍，則的離心率為（

）．A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線A．3 B．6 C．4 D．8A． B．C． D．A．10或4 B．13或1 C．10