專題10.2排列與組合（舉一反三講義）【全國通用】TOC\o"13"\h\u【題型1排列數(shù)的化簡、計(jì)算】 3【題型2組合數(shù)的化簡、計(jì)算】 4【題型3全排列問題】 4【題型4元素（位置）有限制的排列問題】 4【題型5相鄰、不相鄰排列問題】 5【題型6組合計(jì)數(shù)問題】 6【題型7定序問題】 6【題型8分組分配問題】 7【題型9排列組合綜合】 71、排列與組合考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)理解排列、組合的概念(2)能利用排列組合解決簡單的實(shí)際問題2023年新高考I卷：第13題，5分2023年新高考Ⅱ卷：第3題，5分2023年全國乙卷（理數(shù)）：第7題，5分2023年全國甲卷（理數(shù)）：第9題，5分2024年新高考Ⅱ卷：第14題，5分2024年上海卷：第10題，5分2025年上海卷：第9題，5分從近幾年的高考情況來看，排列組合是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，每年高考都有考查，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，主要考查排列組合的基本方法，特殊元素、相鄰與不相鄰問題以及分組分配等內(nèi)容，難度不大；有時(shí)會與兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、概率等知識結(jié)合考查，需要靈活求解，復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練.知識點(diǎn)1排列與組合1．排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n,n,m∈N*）個(gè)元素并按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列組合作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合2．排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n,n,m∈N*)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號表示.(2)組合數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n,n,m∈N*)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號表示.3．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)(1)排列數(shù)公式(2)組合數(shù)公式①連乘表示：這里，n,m∈N*，并且m≤n.(3)組合數(shù)的性質(zhì)知識點(diǎn)2排列、組合的常見問題與解題策略1．排列應(yīng)用問題的分類與解法(1)有限制條件的排列問題：對于有限制條件的排列問題，分析問題時(shí)有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法.(2)相鄰問題：對相鄰問題采用捆綁法；相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，注意捆綁元素的內(nèi)部排列.(3)不相鄰問題：不相鄰問題采用插空法；先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中.(4)定序問題：定序問題有兩種求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有順序要求的排列；二是定序排他法：有順序要求部分只有一種排法，只要把剩下部分排列即可.(5)間接法：正面分類太多從反面入手.(6)多排問題直排法：元素分為多排的排列問題，可以看出一排問題，再分段研究.2．組合問題的分類與解法組合問題常有以下兩類題型變化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.(2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理.3．分組分配問題(1)解題思路：先分組后分配，分組是組合問題，分配是排列問題.(2)分組方法：①完全均勻分組，分組后除以組數(shù)的階乘；②部分均勻分組，有m組元素個(gè)數(shù)相同，則分組后除以m!；③完全非均勻分組，只要分組即可.(3)分配方法：①相同元素的分配問題，常用“擋板法”；②不同元素的分配問題，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，先分組后分配；③有限制條件的分配問題，采用分類求解.【方法技巧與總結(jié)】1．解決排列、組合問題的十種技巧(1)特殊元素優(yōu)先安排.(2)合理分類與準(zhǔn)確分步.(3)排列、組合混合問題要先選后排.(4)相鄰問題捆綁處理.(5)不相鄰問題插空處理.(6)定序問題倍縮法處理.(7)分排問題直排處理.(8)“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部。(9)構(gòu)造模型.(10)正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化.【題型1排列數(shù)的化簡、計(jì)算】【例1】（2526高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）A52=（

A．10 B．15 C．20 D．25【變式11】（2526高二上·全國·單元測試）n?1998n?1999?????n?2025A．An?199829 B．An?199828 C．【變式12】（2425高二下·廣東清遠(yuǎn)·期末）A53+A．8 B．13 C．63 D．66【變式13】（2425高二下·廣東揭陽·階段練習(xí)）滿足不等式An9AA．9 B．11 C．12 D．13【題型2組合數(shù)的化簡、計(jì)算】【例2】（2025·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）化簡式子：C30?A．C94 B．C93 C．【變式21】（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測）C2901×2A．230?31930 B．231?32930【變式22】（2425高二上·河南南陽·期末）若C243n+8=C244n+2【變式23】（2024·上海寶山·一模）已知關(guān)于正整數(shù)x的方程C12x?1=【題型3全排列問題】【例3】（2425高二下·四川南充·期末）用1，3，5，7這4個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．12 B．24 C．36 D．48【變式31】（2025·廣西河池·模擬預(yù)測）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙.假設(shè)空間站要安排甲、乙、丙共3名航天員開展實(shí)驗(yàn)，每個(gè)艙安排一個(gè)人，則不同的安排方法一共有（

）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【變式32】（2425高二下·江蘇泰州·期中）由1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．12 B．16 C．20 D．24【變式33】（2526高三上·貴州貴陽·階段練習(xí)）一個(gè)數(shù)陣有m行6列，第一行的六個(gè)數(shù)互不相同，其余行都由這六個(gè)數(shù)以不同的順序組成.如果要使任意兩行的順序都不相同，則m的最大值是（

）A．119 B．120 C．719 D．720【題型4元素（位置）有限制的排列問題】【例4】（2025·海南·模擬預(yù)測）某電影院一排有7個(gè)座位，中間有條過道，過道左側(cè)有4個(gè)座位，右側(cè)有3個(gè)座位，現(xiàn)有包含小明，小剛，小強(qiáng)在內(nèi)的7位同學(xué)購買了某一排的座位，其中小明想和小剛坐在一起，小強(qiáng)想坐在右側(cè)，則共有（

）種不同的排法．A．216 B．264 C．312 D．528【變式41】（2025·甘肅·模擬預(yù)測）因工作需要，某單位安排甲、乙、丙、丁4位領(lǐng)導(dǎo)在端午節(jié)3天假期值班，要求每天有兩人值班，且每人需要值班1天或2天，則不同的值班方案有（

）A．92種 B．90種 C．86種 D．76種【變式42】（2025·重慶九龍坡·三模）“”這一串?dāng)?shù)字被稱為走馬燈數(shù)，是世界上著名的幾個(gè)數(shù)之一，當(dāng)與1至6中任意1個(gè)數(shù)字相乘時(shí)，乘積仍然由1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字組成.若從1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字中任選4個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則在這些組成的四位數(shù)中，大于5700的偶數(shù)個(gè)數(shù)是（

）A．66 B．75 C．78 D．90【變式43】（2025·湖北·二模）甲、乙等5名志愿者參加2025年文化和旅游發(fā)展大會的A、B、C、D四項(xiàng)服務(wù)工作，要求每名志愿者只能參加1項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少安排1人，且甲不參加B項(xiàng)工作，乙必須參加D項(xiàng)工作，則不同的安排方法數(shù)有（

）A．36種 B．42種 C．54種 D．72種【題型5相鄰、不相鄰排列問題】【例5】（2025·江蘇南通·二模）有3個(gè)男生和2個(gè)女生站成一排合影，則女生甲不在兩端且2個(gè)女生不相鄰的不同排法總數(shù)為（

）A．18 B．36 C．72 D．144【變式51】（2025·河北·模擬預(yù)測）某班有A，B，C，D，E五名同學(xué)要排成一排進(jìn)行拍照，其中B同學(xué)不站在兩端，C，D兩名同學(xué)相鄰，則不同的排列方式種數(shù)為（

）A．12 B．24 C．36 D．48【變式52】（2025·山東聊城·模擬預(yù)測）某多功能體育場館決定承包舉辦馬術(shù)，擊劍，游泳，跑步四項(xiàng)比賽.應(yīng)主辦方要求，馬術(shù)比賽和跑步比賽不相鄰，游泳比賽不在第一場也不在最后一場，則不同的比賽方式共有（

）A．16種 B．12種 C．8種 D．6種【變式53】（2025·江西新余·模擬預(yù)測）畢業(yè)是青春的里程碑，更是奔赴星海的啟航．希望中學(xué)高三（8）班的九名身高互不相同的摯友想拍一張畢業(yè)照，要求排成三行三列，每列后面的人身高都高于前面的人，其中小郅與小豪兩位好朋友在這九人中身高由高到低分別位居第1位與第4位，他們要求要站在同一行相鄰的位置，則不同的排列方式共有（

）種．A．200 B．300 C．400 D．600【題型6組合計(jì)數(shù)問題】【例6】（2025·陜西·模擬預(yù)測）某校學(xué)生會有男生8人，女生12人，現(xiàn)從男生中選出7人，從女生中選出11人參加志愿活動(dòng)，則不同的選法種數(shù)為（

）A．48 B．96 C．144 D．192【變式61】（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）10名同學(xué)合影，站成了前排3人后排7人，現(xiàn)攝影師要從后排7人中抽2人調(diào)整到前排，其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是（

）A．168 B．630 C．252 D．420【變式62】（2025·甘肅白銀·三模）花江大峽谷被譽(yù)為“地球的裂縫”，是貴州喀斯特地貌類型最為齊全的天然亞熱帶巖溶景觀博物館，自2022年1月花江峽谷大橋正式開工建設(shè)以來，貴州橋梁集團(tuán)等承建單位的建設(shè)者們不畏嚴(yán)寒酷暑，奮戰(zhàn)在花江大峽谷600多米的云山霧海里，為大橋早日建成攻堅(jiān)克難、不懈努力．某日，從張師傅、李師傅、王師傅等8名花江峽谷大橋建設(shè)工人中選取4人輪休，要求張師傅和李師傅不能同時(shí)輪休、且張師傅和王師傅必須同時(shí)輪休或在崗，若輪休的4人需要在四個(gè)不同時(shí)間返回待崗室進(jìn)行設(shè)備檢查，且每人只需返回一次，則不同的輪休方案有（

）A．360種 B．480種 C．600種 D．720種【變式63】（2025·江蘇鎮(zhèn)江·三模）2025年，省屬“三位一體”綜合評價(jià)招生政策進(jìn)行了調(diào)整，每位考生限報(bào)四所大學(xué).某考生從6所大學(xué)中選擇4所進(jìn)行報(bào)名，其中甲、乙兩所學(xué)校至多報(bào)一所，則該考生報(bào)名的可能情況種數(shù)是（

）A．12 B．9 C．6 D．15【題型7定序問題】【例7】（2425高二下·重慶九龍坡·階段練習(xí)）重慶外國語學(xué)校第34屆外語節(jié)于2025年5月22日舉行，高二某班6名同學(xué)參加節(jié)目表演，表演完后老師為這6名同學(xué)合影留念.合影時(shí)4人先到2人后到，為節(jié)約時(shí)間，先到的4人排好隊(duì)，后來的2人加入并保持排好隊(duì)同學(xué)的相對順序不變，這兩名同學(xué)共有多少種加入方法（

）A．10 B．20 C．60 D．30【變式71】（2425高二下·陜西榆林·階段練習(xí)）高二（1）班5位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時(shí)，又來了2位同學(xué)要加入，若保持原來5位同學(xué)的相對順序不變，則不同的加入方法種數(shù)為（

）A．42 B．30 C．21 D．15【變式72】（2425高二下·廣東揭陽·階段練習(xí)）某道菜的制作需要用到雞湯、雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉共七種原料，烹飪時(shí)要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，雞湯最后下鍋，則制作這道菜時(shí)不同的下鍋順序共有（

）A．12種 B．16種 C．24種 D．28種【變式73】（2425高二下·北京·期末）某4位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時(shí)，又來了2位同學(xué)要加入，如果保持原來4位同學(xué)的相對順序不變，則不同的加入方法種數(shù)為（

）A．10 B．20 C．24 D．30【題型8分組分配問題】【例8】（2025·江西·二模）某校組織校運(yùn)會活動(dòng)，由甲?乙?丙三名志愿者負(fù)責(zé)A,B,C,D四個(gè)任務(wù)，每人至少負(fù)責(zé)一個(gè)任務(wù)，每個(gè)任務(wù)都有且僅有一人負(fù)責(zé)，且甲不負(fù)責(zé)A任務(wù)，則不同的任務(wù)分配方法種數(shù)為（

）A．12 B．18 C．24 D．30【變式81】（2025·湖南郴州·一模）“湘超”足球比賽正在如火如荼進(jìn)行中，某企業(yè)贊助一批足球訓(xùn)練設(shè)備給甲、乙、丙三個(gè)球隊(duì).這批設(shè)備分別為6個(gè)相同的跳箱和3箱相同的藥球.要求每隊(duì)至少有一個(gè)跳箱，且藥球不能全部分配給同一球隊(duì)，則不同的分配方案有（

）A．35種 B．70種 C．140種 D．210種【變式82】（2025·福建三明·三模）縣委組織部擬派六位大學(xué)生村官對五個(gè)貧困村進(jìn)行駐村幫扶，每位大學(xué)生村官只去一個(gè)貧困村，每個(gè)貧困村至少派一位大學(xué)生村官，其中甲、乙兩位大學(xué)生村官派遣至不同的貧困村，則不同的派遣方案共有（

）A．1440種 B．1680種 C．1800種 D．2400種【變式83】（2025·河南鄭州·三模）河南具有悠久的歷史和豐富的文化底蘊(yùn)，其美食也獨(dú)具特色．現(xiàn)有一名游客計(jì)劃在三天內(nèi)品嘗完以下六種河南特色美食：燴面、胡辣湯、灌湯包、道口燒雞、燜餅、黃河鯉魚．該游客每天從這六種美食中選擇1到3種進(jìn)行品嘗（每天必須選擇且不能重復(fù)選擇已品嘗過的美食）．若三天后恰好品嘗完所有美食，則不同的選法種數(shù)為（

）A．450 B．360 C．180 D．90【題型9排列組合綜合】【例9】（2025·河北滄州·模擬預(yù)測）將5個(gè)大小相同，顏色不同的小球放入編號為1，2，3，4，5的5個(gè)盒子中，恰好有2個(gè)空盒的放法共有（

）A．1500種 B．1800種 C．2340種 D．2400種【變式91】（2025·四川達(dá)州·模擬預(yù)測）某市將要承辦“全國太極拳公開賽總決賽”，組委會將甲、乙、丙、丁、戊等五位志愿者分配到個(gè)人賽?對練賽和集體項(xiàng)目比賽等三個(gè)場館執(zhí)勤，若每個(gè)場館至少分到一人，且甲不能被分配到個(gè)人賽場館，乙不能分配到對練賽場館，則不同分配方案的種數(shù)是（

）A．69 B．72 C．75 D．90【變式92】（2025·遼寧·模擬預(yù)測）樹人中學(xué)的科學(xué)社團(tuán)設(shè)計(jì)了一塊如下圖所示的正反面內(nèi)容相同的雙面團(tuán)牌，給團(tuán)牌的正反兩面6個(gè)區(qū)域涂色，有3種不同顏色可選，要求同面有公共邊的區(qū)域不同色，同一區(qū)域的兩面也不同色，則不同的涂色方法的種數(shù)為（

）A．36 B．48 C．54 D．56【變式93】（2025·河南·模擬預(yù)測）已知某校包含甲、乙、丙在內(nèi)的7名同學(xué)參加了某次數(shù)學(xué)競賽，并包攬了前7名（排名無并列），若甲、乙、丙中的兩人占據(jù)前兩名，且丙不是最后兩名，則這7名同學(xué)獲獎(jiǎng)的名次情況共有（

）A．524種 B．564種 C．624種 D．664種一、單選題1．（2025·福建漳州·模擬預(yù)測）A63+A．65 B．160 C．165 D．2102．（2025·全國·模擬預(yù)測）已知4位學(xué)生被分配到A、B、C三地學(xué)習(xí)，每地至少分配一位學(xué)生且每位學(xué)生只能去一個(gè)地方學(xué)習(xí)，則不同的分配方式有（

）A．12種 B．18種 C．24種 D．36種3．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測）將數(shù)字1，2，3，4，5，6填入如圖的6個(gè)方格中，每個(gè)方格填一個(gè)數(shù)字，每個(gè)方格中的數(shù)字均不相同，若每行中任意兩個(gè)相鄰數(shù)字之和為偶數(shù)，則不同的填法共有（

）

A．36種 B．48種 C．72種 D．108種4．（2025·全國·模擬預(yù)測）2025年1月7日9時(shí)5分，西藏自治區(qū)日喀則市定日縣發(fā)生6.8級地震．現(xiàn)從各省共抽派7支搶險(xiǎn)工作隊(duì)前往5個(gè)災(zāi)區(qū)縣救援，要求每個(gè)受災(zāi)縣至少有一個(gè)工作隊(duì)的方法種數(shù)共有（

）A．1800 B．16800 C．14280 D．252005．（2025·遼寧大連·一模）某班有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生依次參加接力跑的4×100m接力比賽，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，則可能的安排排列順序有（

A．8種 B．14種 C．18種 D．24種6．（2025·湖北武漢·三模）如圖，某社區(qū)為墻面A、B、C、D四塊區(qū)域宣傳標(biāo)語進(jìn)行涂色裝飾，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域（共邊）不能用同一顏色，若只有4種顏色可供使用，則恰好使用了3種顏色的涂法有（

）ABCDA．12種 B．24種 C．48種 D．144種7．（2025·遼寧·模擬預(yù)測）某急救小組有1名司機(jī)，2名醫(yī)生和3名護(hù)士，6人排成一排合影留念，要求2名醫(yī)生不相鄰，3名護(hù)士互不相鄰，則不同的排法種數(shù)為（

）A．36 B．48 C．72 D．1208．（2025·安徽六安·模擬預(yù)測）六安市旅游資源非常豐富，夏季到景點(diǎn)漂流是很多家庭的最佳避暑選擇.某家庭共6個(gè)人，包括4個(gè)大人，2個(gè)小孩，計(jì)劃去霍山漂流.景點(diǎn)現(xiàn)有3只不同的船只可供他們選擇使用，每船最多可乘3人，為了安全起見，小孩必須要大人陪同，則不同的乘船方式共有（

）種.A．348 B．288 C．360 D．60二、多選題9．（2025·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測）某班有10名同學(xué)，現(xiàn)在選出3名去參加歌唱比賽，則不同的選法種數(shù)為（

）A．C103 B．A107A310．（2025·江蘇·模擬預(yù)測）若m，n為正整數(shù)且n>m>1，則（

）A．C83=C．mCnm11．（2025·福建泉州·二模）某學(xué)校高二年級數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組中有男生5人，女生3人，則下列說法正確的是（

）A．從中選2人，1人做正組長，1人做副組長，共有56種不同的選法B．從中選2人參加數(shù)學(xué)競賽，其中男、女生各1人，共有12種不同的選法C．將這8名學(xué)生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320種D．8名學(xué)生排成一排，已知5名男生已排好，現(xiàn)將3名女生插入隊(duì)伍中，則共有356種排法三、填空題12．（2025·貴州·模擬預(yù)測）中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”．某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”講座活動(dòng)，每“藝”安排一次講座，共開展六次．講座次序要求“射”和“御”必須相鄰，“禮”和“書”不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有種．13．（2025·湖南永州·模擬預(yù)測）將6個(gè)不同的球分給3個(gè)不同的盒子（每個(gè)盒子至少有一個(gè)球），則不同的分配方法的種數(shù)為．14．（20