第三章圓錐曲線(xiàn)的方程（思維導(dǎo)圖+知識(shí)清單+四大易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)）【人教A版】3.1橢圓【知識(shí)點(diǎn)1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】1．橢圓的定義作橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作橢圓的焦距.2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系：橢圓在坐標(biāo)系中的位置標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)a,b,c的關(guān)系3．橢圓方程的求解(1)用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程①如果明確了橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，那么所求的橢圓一定是標(biāo)準(zhǔn)形式，就可以利用待定系數(shù)法求解.首先建立方程，然后依據(jù)題設(shè)條件，計(jì)算出方程中的a，b的值，從而確定方程（注意焦點(diǎn)的位置）.②如果不能確定橢圓的焦點(diǎn)的位置，那么可用以下兩種方法來(lái)解決問(wèn)題：一是分類(lèi)討論，分別就焦點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)2橢圓的焦點(diǎn)三角形】1．橢圓的焦點(diǎn)三角形(1)焦點(diǎn)三角形的概念設(shè)M是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2為橢圓的焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M,F1,F2不在同一條直線(xiàn)上時(shí)，它們構(gòu)成一個(gè)焦點(diǎn)三角形，如圖所示.(2)焦點(diǎn)三角形的常用公式①焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)L=2a+2c.【知識(shí)點(diǎn)3橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)】1．橢圓的范圍(1)從形的角度看：橢圓位于直線(xiàn)x=±a和y=±b所圍成的矩形框里.(2)從數(shù)的角度看：利用方程研究，易知=1≥0，故≤1，即a≤x≤a；=1≥0，故≤1，即b≤y≤b.2．橢圓的對(duì)稱(chēng)性(1)從形的角度看：橢圓既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形.P(x,y)在橢圓上時(shí)，它關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1(x,y)也在橢圓上，所以橢圓關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；同理，以x代替x，方程也不改變，所以橢圓關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；以x代替x，以y代替y，方程也不改變，所以橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱(chēng)軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱(chēng)中心，橢圓的對(duì)稱(chēng)中心叫作橢圓的中心.3．橢圓的頂點(diǎn)與長(zhǎng)軸、短軸(1)頂點(diǎn)令x=0，得y=±b；令y=0，得x=±a.這說(shuō)明A1(a,0)，A2(a,0)是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，B1(0,b)，B2(0,b)是橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn).因?yàn)閤軸、y軸是橢圓的對(duì)稱(chēng)軸，所以橢圓與它的對(duì)稱(chēng)軸有四個(gè)交點(diǎn)，這四個(gè)交點(diǎn)叫作橢圓的頂點(diǎn).(2)長(zhǎng)軸、短軸4．橢圓的離心率(1)離心率的定義：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比稱(chēng)為橢圓的離心率.用e表示，即e=.(2)離心率的范圍：0<e<1.(3)橢圓離心率的意義：橢圓離心率的變化刻畫(huà)了橢圓的扁平程度.5．求橢圓離心率或其范圍的方法解題的關(guān)鍵是借助圖形建立關(guān)于a,b,c的關(guān)系式(等式或不等式)，轉(zhuǎn)化為e的關(guān)系式，常用方法如下:(3)構(gòu)造a,c的齊次式.離心率e的求解中可以不求出a,c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.3.2雙曲線(xiàn)【知識(shí)點(diǎn)1雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程】1．雙曲線(xiàn)的定義作雙曲線(xiàn).這兩個(gè)定點(diǎn)叫作雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作雙曲線(xiàn)的焦距.2．雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系：雙曲線(xiàn)在坐標(biāo)系中的位置標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)a,b,c的關(guān)系3．雙曲線(xiàn)方程的求解(1)用定義法求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)用待定系數(shù)法求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程用待定系數(shù)法求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，先確定焦點(diǎn)在x軸還是y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定【知識(shí)點(diǎn)2雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)】1．雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)雙曲線(xiàn)的一些幾何性質(zhì)：圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍x≥a或x≤a,y∈Ry≥a或y≤a,x∈R對(duì)稱(chēng)性關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)頂點(diǎn)A1(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)半軸長(zhǎng)實(shí)半軸長(zhǎng)為a,虛半軸長(zhǎng)為b離心率漸近線(xiàn)方程2．雙曲線(xiàn)的離心率(1)定義：雙曲線(xiàn)的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比，叫作雙曲線(xiàn)的離心率.(2)雙曲線(xiàn)離心率的范圍：e>1.(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線(xiàn)斜率的大小，從而決定了雙曲線(xiàn)的開(kāi)口大小.(4)等軸雙曲線(xiàn)的兩漸近線(xiàn)互相垂直，離心率e=.3．雙曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題求解此類(lèi)問(wèn)題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問(wèn)題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線(xiàn)的定義求解.(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(gè)(或多個(gè))變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對(duì)最值的影響.3.3拋物線(xiàn)【知識(shí)點(diǎn)1拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程】1．拋物線(xiàn)的定義(1)定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線(xiàn).點(diǎn)F叫作拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)l叫作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn).(2)集合語(yǔ)言表示設(shè)點(diǎn)M(x,y)是拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離為d，則拋物線(xiàn)就是點(diǎn)的集合P={M||MF|=d}.2．拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系：圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)方程y2=2px(p>0)y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)3．拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的求解待定系數(shù)法：求拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開(kāi)口方向，在方程的類(lèi)型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.4．與拋物線(xiàn)有關(guān)的最值問(wèn)題求解此類(lèi)問(wèn)題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問(wèn)題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線(xiàn)的定義求解.(2)代數(shù)法：由條件建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用函數(shù)求最值的方法進(jìn)行求解，如利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法，利用函數(shù)的單調(diào)性等，亦可用均值不等式求解.【知識(shí)點(diǎn)2拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)】1．拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)圖形頂點(diǎn)(0,0)(0,0)軸對(duì)稱(chēng)軸y=0對(duì)稱(chēng)軸x=0焦點(diǎn)準(zhǔn)線(xiàn)離心率e=1e=1開(kāi)口開(kāi)口向右開(kāi)口向左開(kāi)口向上開(kāi)口向下焦半徑范圍x≥0x≤0y≥0y≤02．拋物線(xiàn)與橢圓、雙曲線(xiàn)幾何性質(zhì)的差異拋物線(xiàn)與橢圓、雙曲線(xiàn)幾何性質(zhì)的差異：①它們都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，但橢圓和雙曲線(xiàn)又是中心對(duì)稱(chēng)圖形；②頂點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，橢圓有4個(gè)頂點(diǎn)，雙曲線(xiàn)有2個(gè)頂點(diǎn)，拋物線(xiàn)只有1個(gè)頂點(diǎn)；③焦點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，橢圓和雙曲線(xiàn)各有2個(gè)焦點(diǎn)，拋物線(xiàn)只有1個(gè)焦點(diǎn)；④離心率取值范圍不同，橢圓的離心率范圍是0<e<1,雙曲線(xiàn)的離心率范圍是e>1，拋物線(xiàn)的離心率是e=1；⑤橢圓和雙曲線(xiàn)都有兩條準(zhǔn)線(xiàn)，而拋物線(xiàn)只有一條準(zhǔn)線(xiàn)；⑥橢圓是封閉式曲線(xiàn)，雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)都是非封閉式曲線(xiàn).3.4直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)1直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系】1．點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系(1)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系：2．直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系(1)直線(xiàn)與橢圓的三種位置關(guān)系類(lèi)比直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，直線(xiàn)與橢圓有相離、相切、相交三種位置關(guān)系，如圖所示.(2)利用方程討論直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系：Δ>0?直線(xiàn)與橢圓相交?有兩個(gè)公共點(diǎn)；Δ=0?直線(xiàn)與橢圓相切?有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；Δ<0?直線(xiàn)與橢圓相離?無(wú)公共點(diǎn).【知識(shí)點(diǎn)2弦長(zhǎng)與“中點(diǎn)弦”問(wèn)題】1．弦長(zhǎng)問(wèn)題(1)定義：直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)間的線(xiàn)段叫作橢圓的弦.2．“中點(diǎn)弦問(wèn)題”(1)解決橢圓中點(diǎn)弦問(wèn)題的兩種方法①根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決.②點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線(xiàn)上，坐標(biāo)滿(mǎn)足方程，將端點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系.中點(diǎn)軌跡問(wèn)題的常用方法.(2)弦的中點(diǎn)與直線(xiàn)的斜率的關(guān)系3.5直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)1直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系】1．直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系(1)研究直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系：Δ>0?直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，稱(chēng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交；Δ=0?直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn)，稱(chēng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相切；Δ<0?直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)，稱(chēng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相離.(2)對(duì)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)位置分以下三種情況進(jìn)行討論：②若一條直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左支交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則應(yīng)滿(mǎn)足條件Δ>0③若一條直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則應(yīng)滿(mǎn)足條件Δ>0【知識(shí)點(diǎn)2弦長(zhǎng)與“中點(diǎn)弦”問(wèn)題】1．弦長(zhǎng)問(wèn)題②解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)要注意是交在同一支，還是交在兩支上.③處理直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交弦有關(guān)問(wèn)題時(shí)，利用韋達(dá)定理、點(diǎn)差法的解題過(guò)程中，并沒(méi)有條件確定直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)一定會(huì)相交，因此，最后要代回去檢驗(yàn).④雙曲線(xiàn)的通徑：過(guò)焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱(chēng)軸垂直的直線(xiàn)被雙曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段叫作雙曲線(xiàn)的通徑.無(wú)論焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，雙曲線(xiàn)的通徑總等于.2．“中點(diǎn)弦問(wèn)題”“設(shè)而不求”法解決中點(diǎn)弦問(wèn)題：①過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)作直線(xiàn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，使這點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，這樣的直線(xiàn)一定存在，但在雙曲線(xiàn)的這類(lèi)問(wèn)題中，則不能確定.要注意檢驗(yàn).3．雙曲線(xiàn)的第二定義平面內(nèi)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M到一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線(xiàn)(點(diǎn)不在直線(xiàn)上)的距離之比是常數(shù)e=(e>1)時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是雙曲線(xiàn)，定點(diǎn)是雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)是雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，常數(shù)e是雙曲線(xiàn)的離心率.3.6直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)1直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系】1．直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系(1)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的三種位置關(guān)系：(2)設(shè)直線(xiàn)l：y=kx+m，拋物線(xiàn)：y2=2px(p>0)，將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，整理成關(guān)于x的方程①若k≠0，當(dāng)Δ>0時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ=0時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ<0時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相離，無(wú)交點(diǎn).②若k=0，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線(xiàn)平行于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸或與對(duì)稱(chēng)軸重合.因此直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)是直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切的必要不充分條件.【知識(shí)點(diǎn)2拋物線(xiàn)的弦長(zhǎng)與焦點(diǎn)弦問(wèn)題】1．弦長(zhǎng)問(wèn)題2．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)方程弦長(zhǎng)公式y(tǒng)2=2px(p>0)|AB|=x1+x2+py2=2px(p>0)|AB|=p(x1+x2)x2=2py(p>0)|AB|=y1+y2+px2=2py(p>0)|AB|=p(y1+y2)【知識(shí)點(diǎn)3拋物線(xiàn)的切線(xiàn)】1．拋物線(xiàn)的切線(xiàn)【易錯(cuò)點(diǎn)1根據(jù)方程表示橢圓求參數(shù)問(wèn)題】【注】：橢圓方程中分母應(yīng)注意考慮a≠b的情況.【典例1】（2425高二上·天津紅橋·階段練習(xí)）已知曲線(xiàn)x22?m+y2A．(?1,2) B．?1,12∪12,2【答案】B【解題思路】借助橢圓定義計(jì)算即可得.【解答過(guò)程】由題意可得2?m>0m+1>02?m≠m+1，解得?1<m<1故選：B.【跟蹤訓(xùn)練1.1】（2425高二上·陜西漢中·期末）“1<m<6”是“方程x2m?1+A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解題思路】列出x2m?1+【解答過(guò)程】方程x2m?1+y26?m=1所以“1<m<6”是“方程x2故選：B.【跟蹤訓(xùn)練1.2】（2425高二上·山東青島·期末）已知方程x23?m+y2m?1=1A．(?∞,1) B．(1,2) C．(2,3) 【答案】B【解題思路】利用方程中表示橢圓的特征列式求解.【解答過(guò)程】由方程x23?m+y2m?1=1所以m的取值范圍是(1,2).故選：B.【跟蹤訓(xùn)練1.3】（2526高二上·河北保定·階段練習(xí)）若曲線(xiàn)x2m?1?y2m?3=1【答案】1,2【解題思路】由橢圓定義列出不等式組即可求解.【解答過(guò)程】曲線(xiàn)x2所以m?1≠3?mm?1>0m?3<0?1<m<2所以m的取值范圍為1,2∪故答案為：1,2∪【跟蹤訓(xùn)練1.4】（2025高二上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知方程x2m＋9(1)若上述方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若上述方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)若上述方程表示焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(8,25)(2)(?9,8)(3)(?9,8)∪(8,25)【解題思路】（1）根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解；（2）根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解；（3）根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解.【解答過(guò)程】（1）依題意，有25?m>0m+9>0m+9>25?m，解得故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(8,25).（2）依題意，有25?m>0m+9>0m+9<25?m，解得故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(?9,8).（3）依題意，有m+9>025?m>0m+9≠25?m，解得?9<m<25，且故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(?9,8)∪(8,25).【易錯(cuò)點(diǎn)2根據(jù)方程表示雙曲線(xiàn)求參數(shù)問(wèn)題】易錯(cuò)點(diǎn)分析：忽略了曲線(xiàn)方程表示雙曲線(xiàn)方程時(shí)，雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上.【注】：注意題干中所給曲線(xiàn)方程的精確條件.【典例2】（2425高二上·四川成都·階段練習(xí)）已知方程x22+m?y2A．?2,1 B．(1,+∞) C．?2,?1【答案】D【解題思路】利用雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的形式得出不等式，即可解得答案.【解答過(guò)程】由雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程可知2+m與m?1同號(hào)，即可得2+mm?1解得m>1或m<?2.即m的取值范圍為(?∞故選：D.【跟蹤訓(xùn)練2.1】（2425高二上·湖北孝感·階段練習(xí)）設(shè)m為實(shí)數(shù)，若方程x23?m+y2m+2=1A．?2<m<3 B．m>3 C．12<m<3 【答案】B【解題思路】根據(jù)方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)列式計(jì)算求解.【解答過(guò)程】方程x23?m+由題意可得m+2>0解得m>3，故選：B．【跟蹤訓(xùn)練2.2】（2425高二上·重慶·階段練習(xí)）已知方程x2m+2+y2A．3,+∞ B．?2,3 C．?∞,?2【答案】D【解題思路】運(yùn)用雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，得到不等式，得到m的取值范圍.【解答過(guò)程】對(duì)于方程x2m+2+解得m>3或m<?2.故選：D.【跟蹤訓(xùn)練2.3】（2425高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知方程mx22?m+y2m?3【答案】0,2【解題思路】化為雙曲線(xiàn)的一般形式，分焦點(diǎn)在x與y軸上分別列不等式組解答即可；【解答過(guò)程】當(dāng)m=0時(shí)，顯然不為雙曲線(xiàn)；當(dāng)m≠0時(shí)，mx22?m若雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸，則滿(mǎn)足2m?1>0,m?3<0,若雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸，則滿(mǎn)足2m?1<0,m?3>0,綜上所述，m的取值范圍為0,2∪故答案為：0,2∪【跟蹤訓(xùn)練2.4】（2425高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知x21?k?(1)方程表示雙曲線(xiàn)？(2)方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)？【答案】(1)k<?3或1<k<3；(2)1<k<3．【解題思路】（1）（2）根據(jù)雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程中的分母的正負(fù)解決即可.【解答過(guò)程】（1）原方程可變形為y2要使方程表示雙曲線(xiàn)，必須滿(mǎn)足k?3即1?k>0k?3>0或1?k<0k?3<0，解得所以當(dāng)k<?3或1<k<3時(shí)，方程表示雙曲線(xiàn).（2）若方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)，則1?k<0|k|?3<0，解得1<k<3所以當(dāng)1<k<3時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn).【易錯(cuò)點(diǎn)3拋物線(xiàn)方程沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)化】易錯(cuò)點(diǎn)分析：在拋物線(xiàn)的非標(biāo)準(zhǔn)方程中，直接利用公式求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線(xiàn)方程導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.【注】拋物線(xiàn)問(wèn)題要先化為標(biāo)準(zhǔn)方程.【典例3】（2526高二上·云南昭通·階段練習(xí)）拋物線(xiàn)方程為y=1A．x=?116 B．y=?116 C．【答案】D【解題思路】先化為標(biāo)準(zhǔn)拋物線(xiàn)形式，再由準(zhǔn)線(xiàn)方程可得.【解答過(guò)程】∵拋物線(xiàn)方程為y=14x2，則x2=4y，可得故選：D．【跟蹤訓(xùn)練3.1】（2425高二下·廣東·期末）已知拋物線(xiàn)y=2x2A．14 B．12 C．1 【答案】A【解題思路】化為拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得解.【解答過(guò)程】由拋物線(xiàn)y=2x2則拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)0，18到準(zhǔn)線(xiàn)y=?故選：A.【跟蹤訓(xùn)練3.2】（2425高二上·陜西寶雞·期末）拋物線(xiàn)x2?10y=0的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是（A．52 B．5 C．152【答案】B【解題思路】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)拋物線(xiàn)的方程為x2【解答過(guò)程】由拋物線(xiàn)x2?10y=0，可得x2=10y，則所以物線(xiàn)x2?10y=0的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是故選：B.【跟蹤訓(xùn)練3.3】（2425高二上·浙江紹興·期末）拋物線(xiàn)y=x22【答案】y=?1【解題思路】由拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程直接得解.【解答過(guò)程】由題拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2y，所以?huà)佄锞€(xiàn)y=x故答案為：y=?1【跟蹤訓(xùn)練3.4】（2425高二·全國(guó)·課后作業(yè)）求下列拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程.(1)y2(2)x2(3)x2(4)x+y(5)y=2x(6)4y【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)答案見(jiàn)解析；(3)答案見(jiàn)解析；(4)答案見(jiàn)解析；(5)答案見(jiàn)解析；(6)答案見(jiàn)解析.【解題思路】（1）（2）（3）根據(jù)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程即可；（4）（5）（6）先將方程化為拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，再寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程.【解答過(guò)程】（1）由題設(shè)，2p=?4，則p=?2，而焦點(diǎn)為(p2,0)，即為(?1,0)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=?（2）由題設(shè)，2p=3，則p=3而焦點(diǎn)為(0,p2)，即為(0,34（3）由題設(shè)，2p=?2，則p=?1，而焦點(diǎn)為(0,p2)，即為(0,?12（4）由x+y2=0可化為y2=?x而焦點(diǎn)為(p2,0)，即為(?14（5）由y=2x2可化為x2=1而焦點(diǎn)為(0.p2)，即為(0,18（6）由4y2?x=0可化為y2=而焦點(diǎn)為(p2,0)，即為(116【易錯(cuò)點(diǎn)4設(shè)直線(xiàn)方程時(shí)忽略了直線(xiàn)的斜率是否存在】易錯(cuò)點(diǎn)分析：設(shè)直線(xiàn)的點(diǎn)斜式或斜截式方程時(shí)直接假設(shè)直線(xiàn)斜率存在，忽略了直線(xiàn)斜率不存在的情況.【注】：設(shè)直線(xiàn)方程既要考慮斜率存在，更要考慮斜率不存在的特殊情況.【典例4】（2425高三上·云南大理·開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線(xiàn)C:x2a2?y2(1)求C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l與C的右支交于M,N兩點(diǎn)，記C的左頂點(diǎn)為B，證明：BM⊥BN.【答案】(1)x(2)證明見(jiàn)解析【解題思路】（1）根據(jù)條件確定a,b的值，可得雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）解法一：設(shè)l的方程為x=ty+2，代入雙曲線(xiàn)方程，利用韋達(dá)定理，可得y1+y2,解法二：若直線(xiàn)l斜率不存在時(shí)，可得點(diǎn)M,N坐標(biāo)，利用BM?BN=0判斷BM⊥BN；若直線(xiàn)l斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kx?2，代入雙曲線(xiàn)方程，利用韋達(dá)定理，可得x1【解答過(guò)程】（1）解：由OA=AF，可得a=c?a=1，即則b2所以C的方程為x2（2）解法一：證明：由題可知，l的斜率不為0，可設(shè)l的方程為x=ty+2，M由x=ty+2x2?則3t2?1≠0，y由題可知B?1,0，則BM=xBM?=t所以BM⊥BN.解法二：若l的斜率不存在，則可得M2,3,N2,?3則BM=3,3若l的斜率存在，則可設(shè)l的方程為y=kx?2，M由y=kx?2x2則3?k2≠0，xBM=則BM?=1+=1+所以BM⊥BN.【跟蹤訓(xùn)練4.1】（2526高二上·重慶·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A?2,0，B2,0，動(dòng)點(diǎn)(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)M1,1作直線(xiàn)l與曲線(xiàn)E交于C，D兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線(xiàn)l使得OC+OD【答案】(1)x2(2)不存在，理由見(jiàn)詳解.【解題思路】（1）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為x,y，利用斜率公式，結(jié)合已知列方程化簡(jiǎn)可得；（2）設(shè)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立曲線(xiàn)E的方程消去y，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出斜率，通過(guò)判別式檢驗(yàn)可得結(jié)論.【解答過(guò)程】（1）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為x,y，則kPA又kPAkPB整理得軌跡E的方程為x2（2）不存在，理由如下：易知當(dāng)直線(xiàn)l斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)l與曲線(xiàn)E無(wú)交點(diǎn)，故設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k，則直線(xiàn)l的方程為：y=kx?1聯(lián)立x22?y2直線(xiàn)l與曲線(xiàn)E交于C，D兩點(diǎn)，所以2?k若OC+OD=2OM成立，則設(shè)Cx1,y1當(dāng)k=2時(shí)，Δ=4故不存在直線(xiàn)l使得OC+【跟蹤訓(xùn)練4.2】（2526高三上·河北·階段練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若P2,2，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l與橢圓C相切，求直線(xiàn)l(3)若過(guò)點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線(xiàn)互相垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程.【答案】(1)x(2)x=2或3x?8y+10=0(3)x【解題思路】（1）利用已知條件及a2（2）討論直線(xiàn)l的斜率是否存在，再聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程，令Δ=0（3）討論直線(xiàn)PA的斜率是否存在及是否為0，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程，令Δ=0【解答過(guò)程】（1）由題意得b=1，因?yàn)閑=ca=32故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)l：x=2，易得x=2與橢圓C相切；當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l：y?2=kx?2，即y=kx?2k+2聯(lián)立y=kx?2k+2x24由Δ=0可得，16即4k2+1?4此時(shí)直線(xiàn)l的方程為3x?8y+10=0.綜上所述，直線(xiàn)l的方程為x=2或3x?8y+10=0.（3）設(shè)切點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)直線(xiàn)PA斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線(xiàn)PB的斜率為0；當(dāng)直線(xiàn)PA斜率為0時(shí)，此時(shí)直線(xiàn)PB的斜率不存在，易得P±2,±1當(dāng)直線(xiàn)PA斜率存在且不為0時(shí)，此時(shí)x0≠±2，設(shè)直線(xiàn)PA方程為y?y聯(lián)立y?y0=k由于直線(xiàn)PA與橢圓C相切，所以Δ=0化簡(jiǎn)得(y0?k由于直線(xiàn)PB斜率為?1所以方程(x02?4)x所以k×?化簡(jiǎn)得x0此時(shí)點(diǎn)P的軌跡方程為x0將P±2,±1代入x綜上所述，點(diǎn)P的軌跡方程為x0【跟蹤訓(xùn)練4.3】（2425高二上·遼寧·期中）設(shè)圓x2+y2+2x?15=0的圓心為A，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B1,0，F(xiàn)是圓A上的任意一點(diǎn)，線(xiàn)段(1)求出點(diǎn)E的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線(xiàn)C1，直線(xiàn)l交曲線(xiàn)C1于M，N兩點(diǎn)，過(guò)B且與l垂直的直線(xiàn)與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形【答案】(1)x(2)12,8【解題思路】（1）根據(jù)題意可知|EA|+|EB|=|EA|+|EF|=|AF|=4，結(jié)合橢圓的定義可得點(diǎn)E的軌跡方程；（2）當(dāng)直線(xiàn)l斜率不存在時(shí)，可求得四邊形MPNQ的面積為12；當(dāng)直線(xiàn)l斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=k(x?1)，利用弦長(zhǎng)公式求出|MN|與|PQ|，進(jìn)而求出四邊形MPNQ面積關(guān)系