第08講兩點分布、二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎練 2題型一：兩點分布 2題型二：n次獨立重復試驗 3題型三：二項分布 3題型四：超幾何分布 4題型五：二項分布與超幾何分布的綜合應用 5題型六：正態(tài)密度函數(shù) 7題型七：正態(tài)曲線的性質 8題型八：正態(tài)曲線概率的計算 9題型九：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求參數(shù) 9題型十：正態(tài)分布的實際應用 10題型十一：標準正態(tài)分布的應用 1102重難創(chuàng)新練 1403真題實戰(zhàn)練 21題型一：兩點分布1．（2024·浙江·模擬預測）已知隨機變量滿足，，且，．若，則（

）．A．，且 B．，且C．，且 D．，且2．（2024·安徽·二模）某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品不合格的概率均為，現(xiàn)工廠為提高產(chǎn)品聲譽，要求在交付用戶前每件產(chǎn)品都通過合格檢驗，已知該工廠的檢驗儀器一次最多可檢驗件該產(chǎn)品，且每件產(chǎn)品檢驗合格與否相互獨立．若每件產(chǎn)品均檢驗一次，所需檢驗費用較多，該工廠提出以下檢驗方案：將產(chǎn)品每個一組進行分組檢驗，如果某一組產(chǎn)品檢驗合格，則說明該組內產(chǎn)品均合格，若檢驗不合格，則說明該組內有不合格產(chǎn)品，再對該組內每一件產(chǎn)品單獨進行檢驗，如此，每一組產(chǎn)品只需檢驗次或次．設該工廠生產(chǎn)件該產(chǎn)品，記每件產(chǎn)品的平均檢驗次數(shù)為．（1）求的分布列及其期望；（2）（i）試說明，當越小時，該方案越合理，即所需平均檢驗次數(shù)越少；（ii）當時，求使該方案最合理時的值及件該產(chǎn)品的平均檢驗次數(shù)．3．現(xiàn)有人要通過化驗來確定是否患有某種疾病，化驗結果陽性視為患有該疾?。灧桨福合葘⑦@人化驗樣本混在一起化驗一次，若呈陽性，則還要對每個人再做一次化驗；否則化驗結束．已知這人未患該疾病的概率均為，是否患有該疾病相互獨立．(1)按照方案化驗，求這人的總化驗次數(shù)的分布列；(2)化驗方案：先將這人隨機分成兩組，每組人，將每組的人的樣本混在一起化驗一次，若呈陽性，則還需要對這人再各做一次化驗；否則化驗結束．若每種方案每次化驗的費用都相同，且，問方案和中哪個化驗總費用的數(shù)學期望更小？題型二：n次獨立重復試驗4．（2024·高三·河北·開學考試）某射擊比賽中，甲、乙兩名選手進行多輪射擊對決．每輪射擊中，甲命中目標的概率為，乙命中目標的概率為．若每輪射擊中，命中目標的選手得1分，未命中目標的選手得0分，且各輪射擊結果相互獨立．則進行五輪射擊后，甲的總得分不小于3的概率為．5．某人通過某語言測試的概率為，若他連續(xù)測試3次（各次測試互不影響），則其中恰有1次通過的概率為．6．重復拋擲一枚質地均勻、點數(shù)為1到6的骰子，若拋擲5次恰好出現(xiàn)3次1點的概率為，則．題型三：二項分布7．（2024·廣東惠州·模擬預測）如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，后落入底部的格子中．記格子從左到右的編號分別為，用表示小球最后落入格子的號碼，若，則.8．設隨機變量，且，則；若，則的方差為．9．（2024·黑龍江大慶·一模）2024年7月12日，國家疾控局會同教育部?國家衛(wèi)生健康委和體育總局制定并發(fā)布了《中小學生超重肥胖公共衛(wèi)生綜合防控技術導則》，其中一級預防干預技術的生活方式管理中就提到了“少喝或不喝含糖飲料，足量飲水”，某中學準備發(fā)布健康飲食的倡議，提前收集了學生的體重和飲食習慣等信息，其中學生飲用含糖飲料的統(tǒng)計結果如下：學校有的學生每天飲用含糖飲料不低于500毫升，這些學生的肥胖率為；而每天飲用含糖飲料低于500毫升的學生的肥胖率為.(1)若從該中學的學生中任意抽取一名學生，求該生肥胖的概率；(2)現(xiàn)從該中學的學生中任意抽取三名學生，記表示這三名學生中肥胖的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.10．某校機器人社團為了解市民對歷年"數(shù)博會"科技成果的關注情況，在市內隨機抽取了1000名市民進行問卷調查，問卷調查的成績近似服從正態(tài)分布，且.(1)估計抽取市民中問卷成績在80分以上的市民人數(shù)；(2)若本次問卷調查得分超過80分，則認為該市民對“數(shù)博會”的關注度較高，現(xiàn)從市內隨機抽取3名市民，記對“數(shù)博會”關注度較高的市民人數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望．11．（2024·高三·陜西·開學考試）如圖，一質點在大小隨機的外力作用下，在x軸上從原點0出發(fā)向右運動，每次移動1個單位或2個單位，其中每次移動1個單位的概率均為p，移動2個單位的概率均為．(1)記質點移動5次后位于8的位置的概率為，求的最大值及最大值點；(2)若，記質點從原點0運動到n的位置的概率為．（i）求；（ii）證明：是等比數(shù)列，并求．題型四：超幾何分布12．設隨機變量X服從正態(tài)分布，則的最小值為．13．口袋中裝有兩個紅球和三個白球，從中任取兩個球，用X表示取出的兩個球中白球的個數(shù)，則X的數(shù)學期望.14．（2024·高三·陜西安康·開學考試）某農(nóng)場收獲的蘋果按三個蘋果等級進行裝箱，已知蘋果的箱數(shù)非常多，且三個等級蘋果的箱數(shù)之比為6∶3∶1(1)現(xiàn)從這批蘋果中隨機選出3箱，若選到任何一箱蘋果是等可能的，求至少選到2箱A級蘋果的概率；(2)若用分層隨機抽樣的方法從該農(nóng)場收獲的A，B，C三個等級蘋果中選取10箱蘋果，假設某游客要從這10箱蘋果中隨機購買3箱，記購買的A級蘋果有X箱，求X的分布列與數(shù)學期望．15．（2024·新疆·二模）某人工智能研究實驗室開發(fā)出一款全新聊天機器人棋型，它能夠通過學習和理解人類的語言來進行對話．聊天機器人棋型的開發(fā)主要采用RLHF（人類反饋強化學習）技術，在測試它時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則它的回答被采納的概率為90%，當出現(xiàn)語法錯誤時，它的回答被采納的概率為.(1)在某次測試中輸入了7個問題，聊天機器人棋型的回答有5個被采納，現(xiàn)從這7個問題中抽取4個，以表示抽取的問題中回答被采納的問題個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；(2)設輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為，若聊天機器人棋型的回答被采納的概率為，求的值．16．（2024·高三·上?！卧獪y試）某中學選派40名學生參加上海市高中生志愿者的培訓活動，他們參加培訓的次數(shù)統(tǒng)計如下表所示：培訓次數(shù)123參加人數(shù)51520(1)從這40名學生中任選3名，求這3名學生中至少有2名學生參加培訓次數(shù)恰好相等的概率（結果用最簡分數(shù)表示）；(2)從這40名學生中任選2名，用表示這2人參加培訓次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的期望（結果用最簡分數(shù)表示）．題型五：二項分布與超幾何分布的綜合應用17．某工廠生產(chǎn)某款電池，在滿電狀態(tài)下能夠持續(xù)放電時間不低于10小時的為合格品，工程師選擇某臺生產(chǎn)電池的機器進行參數(shù)調試，在調試前后，分別在其產(chǎn)品中隨機抽取樣本數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，制作了如下的列聯(lián)表：產(chǎn)品合格不合格合計調試前451560調試后35540合計8020100(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為參數(shù)調試與產(chǎn)品質量有關聯(lián)；(2)現(xiàn)從調試前的樣本中按合格和不合格，用分層隨機抽樣法抽取8件產(chǎn)品重新做參數(shù)調試，再從這8件產(chǎn)品中隨機抽取3件做對比分析，記抽取的3件中合格的件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；(3)用樣本分布的頻率估計總體分布的概率，若現(xiàn)在隨機抽取調試后的產(chǎn)品1000件，記其中合格的件數(shù)為，求使事件“”的概率最大時的取值.參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.0.0250.010.0050.0015.0246.6357.87910.82818．（2024·北京西城·三模）根據(jù)2024城市魅力排行榜，一線城市4個，分別為：上海、北京、深圳、廣州；新一線城市15個，分別為：成都、杭州、重慶、蘇州、武漢、西安、南京、長沙、天津、鄭州、東莞、無錫、寧波、青島、合肥.其中城區(qū)常住人口超過一千萬的超大城市10個，分別為：上海、北京、深圳、重慶、廣州、成都、天津、東莞、武漢、杭州.(1)從10個超大城市中隨機抽取一座城市，求該城市是一線城市的概率；(2)從10個超大城市按不可放回抽樣的方式隨機抽取3個城市，隨機變量X表示新一線城市的數(shù)量，求隨機變量X的分布列和期望；(3)從10個超大城市中按可放回抽樣的方式隨機抽取3個城市，隨機變量Y表示新一線城市的數(shù)量，比較E（X）與E（Y）的大小關系.（直接寫出結果）19．在一個不透明的密閉紙箱中裝有10個大小?形狀完全相同的小球，其中8個白球，2個黑球.小張每次從紙箱中隨機摸出一個小球觀察其顏色，連續(xù)摸4次，記隨機變量為小張摸出白球的個數(shù).(1)若小張每次從紙箱中隨機摸出一個小球后放回紙箱，求和；(2)若小張每次從紙箱中隨機摸出一個小球后不放回紙箱，求的分布列.題型六：正態(tài)密度函數(shù)20．已知兩個連續(xù)型隨機變量X，Y滿足條件，且服從標準正態(tài)分布．設函數(shù)，則的圖像大致為（

）A． B． C． D．21．李明上學有時坐公交車，有時騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到，假設坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布，．X和Y的分布密度曲線如圖所示．則下列結果正確的是（

）A． B．C． D．22．甲、乙兩類水果的質量（單位：kg）分別服從正態(tài)分布，，其相應的分布密度曲線如圖所示，則下列說法正確的是（

）（注：正態(tài)曲線的函數(shù)解析式為，）A．甲類水果的平均質量B．乙類水果的質量比甲類水果的質量更集中于均值左右C．甲類水果的平均質量比乙類水果的平均質量大D．乙類水果的質量服從的正態(tài)分布的參數(shù)23．已知三個正態(tài)密度函數(shù)（，）的圖像如圖所示，則（

）A．， B．，C．， D．，24．設，，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示，下列結論中正確的是（

）A． B．C． D．題型七：正態(tài)曲線的性質25．一個正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖像與x軸所夾部分的面積為．26．某批零件的尺寸服從正態(tài)分布，且滿足，零件的尺寸與8的誤差不超過2即合格，從這批產(chǎn)品中抽取件，若要保證抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.8，則的最小值為.27．甲乙兩名射擊運動員進行射擊訓練．已知兩名運動員射擊的彈落點相對于靶心的左右偏差，都近似服從正態(tài)分布，，．如圖為，的密度曲線，則甲乙二人中，成績更穩(wěn)定的是．28．（2024·全國·模擬預測）設隨機變量，向量與向量的夾角為銳角的概率是0.5，則的值是．題型八：正態(tài)曲線概率的計算29．某公司定期對流水線上的產(chǎn)品進行質量檢測，以此來判定產(chǎn)品是否合格可用．已知某批產(chǎn)品的質量指標服從正態(tài)分布，其中的產(chǎn)品為“可用產(chǎn)品”，則在這批產(chǎn)品中任取1件，抽到“可用產(chǎn)品”的概率約為．參考數(shù)據(jù)：若，則，，．30．在某項測量中，測量結果服從正態(tài)分布．若，則．31．二項分布和正態(tài)分布是兩類常見的分布模型，在實際運算中二項分布可以用正態(tài)分布近似運算.即：若隨機變量，當充分大時，可以用服從正態(tài)分布的隨機變量近似代替，其中的期望值和方差相同，一般情況下當時，就有很好的近似效果.該方法也稱為棣莫佛——拉普拉斯極限定理.如果隨機拋一枚硬幣次，設正面向上的概率為，則“正面向上的次數(shù)大于50、小于60”的概率近似為.(結果保留三位小數(shù).參考數(shù)據(jù)：若，則，，題型九：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求參數(shù)32．已知，若，則．33．（2024·上海青浦·二模）設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則實數(shù)．34．（2024·高三·安徽亳州·期末）已知隨機變量，若，則的取值范圍是.35．（2024·高三·河南·開學考試）已知隨機變量，若，則實數(shù)的值為．題型十：正態(tài)分布的實際應用36．（2024·山東日照·三模）電信詐騙是指通過電話、網(wǎng)絡和短信等方式，編造虛假信息，設置騙局，對受害人實施遠程詐騙的犯罪行為.隨著5G時代的全面來臨，借助手機、網(wǎng)銀等實施的非接觸式電信詐騙迅速發(fā)展蔓延，不法分子甚至將“魔爪”伸向了學生.為了增強同學們的防范意識，某校舉辦了主題為“防電信詐騙，做反詐達人”的知識競賽.(1)已知該校參加本次競賽的學生分數(shù)近似服從正態(tài)分布，若某同學成績滿足，則該同學被評為“反詐標兵”；若，則該同學被評為“反詐達人”.（i）試判斷分數(shù)為88分的同學能否被評為“反詐標兵”；（ii）若全校共有40名同學被評為“反詐達人”，試估計參與本次知識競賽的學生人數(shù)（四舍五入后取整）.(2)已知該學校有男生1000人，女生1200人，經(jīng)調查有750名男生和600名女生了解“反詐”知識，用樣本估計總體，現(xiàn)從全校隨機抽出2名男生和3名女生，這5人中了解“反詐”知識的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學期望.參考數(shù)據(jù)：若，則，，37．（2024·福建福州·模擬預測）甲企業(yè)生產(chǎn)線上生產(chǎn)的零件尺寸的誤差服從正態(tài)分布，規(guī)定的零件為優(yōu)等品，的零件為合格品．(1)從該生產(chǎn)線上隨機抽取100個零件，估計抽到合格品但非優(yōu)等品的個數(shù)（精確到整數(shù)）；(2)乙企業(yè)擬向甲企業(yè)購買這批零件，先對該批零件進行質量抽檢，檢測的方案是：從這批零件中任取2個作檢測，若這2個零件都是優(yōu)等品，則通過檢測；若這2個零件中恰有1個為優(yōu)等品，1個為合格品但非優(yōu)等品，則再從這批零件中任取1個作檢測，若為優(yōu)等品，則通過檢測；其余情況都不通過檢測．求這批零件通過檢測時，檢測了2個零件的概率（精確到0.01）．（附：若隨機變量，則，，）38．（2024·湖南岳陽·三模）某地區(qū)舉行專業(yè)技能考試，共有8000人參加，分為初試和復試，初試通過后，才能參加復試.為了解考生的考試情況，隨機抽取了100名考生的初試成績，并以此為樣本，繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示.(1)若所有考生的初試成績近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計值，，試利用正態(tài)分布估計所有考生中初試成績不低于85分的人數(shù)；(2)復試共四道題，前兩道題考生每題答對得5分，答錯得0分，后兩道題考生每題答對得10分，答錯得0分，四道題的總得分為考生的復試成績.已知某考生進入復試，他在復試中，前兩題每題能答對的概率均為，后兩題每題能答對的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響.規(guī)定復試成績上了20分（含20分）的考生能進入面試，請問該考生進入面試的概率有多大?附：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則：，.題型十一：標準正態(tài)分布的應用39．（2024·四川成都·三模）2021年某地在全國志愿服務信息系統(tǒng)注冊登記志愿者8萬多人，2020年7月份以來，共完成1931個志愿服務項目，8900多名志愿者開展志愿服務活動累計超過150萬小時，為了了解此地志愿者對志愿服務的認知和參與度，隨機調查了500名志愿者每月的志愿服務時長(單位：小時)，并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．(1)估計這500名志愿者每月志愿服務時長的樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中間值代表)；(2)由直方圖可以認為，目前該地志愿者每月服務時長X服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.一般正態(tài)分布的概率都可以轉化為標準正態(tài)分布的概率進行計算：若，令，則，且．(i)利用直方圖得到的正態(tài)分布，求；(ii)從該地隨機抽取20名志愿者，記Z表示這20名志愿者中每月志愿服務時長超過10小時的人數(shù)，求(結果精確到0.001)，以及Z的數(shù)學期望(結果精確到0.01)．參考數(shù)據(jù)：，，，，.若，則，，.40．（2024·安徽合肥·二模）為了解市高三數(shù)學復習備考情況，該市教研機構組織了一次檢測考試，并隨機抽取了部分高三理科學生數(shù)學成績繪制如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計該市此次檢測理科數(shù)學的平均成績；（精確到個位）（2）研究發(fā)現(xiàn)，本次檢測的理科數(shù)學成績近似服從正態(tài)分布（，約為19.3）.①按以往的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，理科數(shù)學成績能達到升一本分數(shù)要求的同學約占，據(jù)此估計本次檢測成績達到升一本的理科數(shù)學成績大約是多少分？（精確到個位）②已知市理科考生約有10000名，某理科學生此次檢測數(shù)學成績?yōu)?07分，則該學生全市排名大約是多少名？（說明：表示的概率，用來將非標準正態(tài)分布化為標準正態(tài)分布，即，從而利用標準正態(tài)分布表，求時的概率，這里,相應于的值是指總體取值小于的概率，即.參考數(shù)據(jù)：，，）.41．（2024·河南平頂山·二模）2020年某地在全國志愿服務信息系統(tǒng)注冊登記志愿者8萬多人．2019年7月份以來，共完成1931個志愿服務項目，8900多名志愿者開展志愿服務活動累計超過150萬小時．為了了解此地志愿者對志愿服務的認知和參與度，隨機調查了500名志愿者每月的志愿服務時長（單位：小時），并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這500名志愿者每月志愿服務時長的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表）；（2）由直方圖可以認為，目前該地志愿者每月服務時長服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．一般正態(tài)分布的概率都可以轉化為標準正態(tài)分布的概率進行計算：若，令，則，且．（?。├弥狈綀D得到的正態(tài)分布，求；（ⅱ）從該地隨機抽取20名志愿者，記表示這20名志愿者中每月志愿服務時長超過10小時的人數(shù)，求（結果精確到0.001）以及的數(shù)學期望．參考數(shù)據(jù)：，．若，則．1．（2024·高三·福建莆田·開學考試）下圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木塊上釘著若干排互相平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃，將小球從頂端放入，小球在下落過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子從左到右分別編號為用表示小球落入格子的號碼，則下面計算錯誤的是（

）A． B．C． D．2．在“最強大腦”的雙英對抗賽中，甲、乙兩人同時挑戰(zhàn)100秒記憶力項目，根據(jù)以往甲、乙兩人同場對抗挑戰(zhàn)該項目的記錄統(tǒng)計分析，在對抗挑戰(zhàn)中甲挑戰(zhàn)成功的概率，乙挑戰(zhàn)成功的概是，甲、乙均未挑戰(zhàn)成功的概率，則在甲挑戰(zhàn)成功的條件下，乙挑戰(zhàn)成功的概率為（

）A． B． C． D．3．巴黎奧運會期間，旅客人數(shù)（萬人）為隨機變量，且.記一天中旅客人數(shù)不少于26萬人的概率為，則的值約為（

）（參考數(shù)據(jù)：若，有，，）A．0.977 B．0.9725 C．0.954 D．0.6834．若隨機變量，則下列選項錯誤的是（

）A． B．C． D．5．（2024·高三·湖北·開學考試）已知隨機變量，且，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．6．某商場推出一種抽獎活動：盒子中裝有有獎券和無獎券共10張券，客戶從中任意抽取2張，若至少抽中1張有獎券，則該客戶中獎，否則不中獎.客戶甲每天都參加1次抽獎活動，一個月（30天）下來，發(fā)現(xiàn)自己共中獎11次，根據(jù)這個結果，估計盒子中的有獎券有（

）A．1張 B．2張 C．3張 D．4張7．（2024·四川成都·模擬預測）袋中有6個大小相同的黑球，編號為，還有4個同樣大小的白球，編號為，現(xiàn)從中任取4個球，則下列結論中正確的是（

）①取出的最大號碼服從超幾何分布；②取出的黑球個數(shù)服從超幾何分布；③取出2個白球的概率為；④若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則總得分最大的概率為A．①② B．②④ C．③④ D．①③④8．在一個袋中裝有質地大小一樣的6個黑球，4個白球，現(xiàn)從中任取4個小球，設取的4個小球中白球的個數(shù)為X，則下列結論正確的是（

）A． B．隨機變量服從二項分布C．隨機變量服從超幾何分布 D．9．（多選題）設為離散型隨機變量，下列說法正確的是（

）A．若等可能取，且，則B．若的概率分布為，則C．若服從兩點分布，且，則成功概率D．的方差可以用期望表示為.10．（多選題）（2024·高三·四川綿陽·開學考試）某學校有甲、乙、丙三個社團，人數(shù)分別為、、，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取人，進行某項興趣調查．已知抽出的人中有人對此感興趣，有人不感興趣，現(xiàn)從這人中隨機抽取人做進一步的深入訪談，用表示抽取的人中感興趣的學生人數(shù)，則（

）A．從甲、乙、丙三個社團抽取的人數(shù)分別為人、人、人B．隨機變量C．隨機變量的數(shù)學期望為D．若事件“抽取的3人都感興趣”，則11．（多選題）已知，且，下列關于二項分布與超幾何分布的說法中，錯誤的有（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．當樣本總數(shù)遠大于抽取數(shù)目時，可以用二項分布近似估計超幾何分布12．（2024·廣東汕頭·三模）某省2021年開始將全面實施新高考方案．在6門選擇性考試科目中，物理、歷史這兩門科目采用原始分計分；思想政治、地理、化學、生物這4門科目采用等級轉換賦分，將每科考生的原始分從高到低劃分為A，B，C，D，E共5個等級，各等級人數(shù)所占比例分別為15%，35%，35%，13%和2%，并按給定的公式進行轉換賦分．該省組織了一次高一年級統(tǒng)一考試，并對思想政治、地理、化學、生物這4門科目的原始分進行了等級轉換賦分．假設該省此次高一學生化學學科原始分Y服從正態(tài)分布．若，令，則．請解決下列問題：若以此次高一學生化學學科原始分D等級的最低分為實施分層教學的劃線分，試估計該劃線分大約為分（結果保留1位小數(shù)）附：若，．13．甲、乙、丙三人射擊的命中率分別為，，，現(xiàn)要求三人各射擊一次，假設每人射擊相互獨立，則至少有一人命中的概率為；記三人命中總次數(shù)為，則．14．某袋中裝有大小相同質地均勻的黑球和白球共5個．從袋中隨機取出3個球，已知恰全為黑球的概率為，若記取出3個球中黑球的個數(shù)為，則．15．一個口袋里裝有大小相同的個小球，其中紅色個，其余個顏色各不相同，現(xiàn)從中任意取出個小球，設變量為取出的個小球中紅球的個數(shù)，則的數(shù)學期望.16．（2024·山東泰安·模擬預測）某藍莓基地種植藍莓，按個藍莓果重量（克）分為級：的為級，的為級，的為級，的為級，的為廢果．將級與級果稱為優(yōu)等果．已知藍莓果重量服從正態(tài)分布．對該藍莓基地的藍莓進行隨機抽查，每次抽出個藍莓果．記每次抽到優(yōu)等果的概率為（可精確到）．若為優(yōu)等果，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查直到抽出優(yōu)等果，但抽查次數(shù)最多不超過次，若抽查次數(shù)的期望值不超過，的最大值為．附：，，17．（2024·遼寧大連·一模）某同學進行投籃訓練，已知每次投籃的命中率均為0.5.(1)若該同學共投籃4次，求在投中2次的條件下，第二次沒有投中的概率；(2)設隨機變量服從二項分布，記則當時，可認為η服從標準正態(tài)分布.若保證投中的頻率在區(qū)間的概率不低于，求該同學至少要投多少次.附:若，則，.18．（2024·山東濰坊·模擬預測）2023年3月某學校舉辦了春季科技體育節(jié)，其中安排的女排賽事共有12個班級作為參賽隊伍，本次比賽啟用了新的排球用球已知這種球的質量指標（單位：g）服從正態(tài)分布，其中，.比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊進行11場比賽，最后靠積分選出最后冠軍，積分規(guī)則如下（比賽采取5局3勝制）：比賽中以3：0或3：1取勝的球隊積3分，負隊積0分；而在比賽中以3：2取勝的球隊積2分，負隊積1分.9輪過后，積分榜上的前2名分別為1班排球隊和2班排球隊，1班排球隊積26分，2班排球隊積22分.第10輪1班排球隊對抗3班排球隊，設每局比賽1班排球隊取勝的概率為.(1)令，則，且，求，并證明：；(2)第10輪比賽中，記1班排球隊3：1取勝的概率為，求出的最大值點，并以作為的值，解決下列問題.（?。┰诘?0輪比賽中，1班排球隊所得積分為，求的分布列；（ⅱ）已知第10輪2班排球隊積3分，判斷1班排球隊能否提前一輪奪得冠軍（第10輪過后，無論最后一輪即第11輪結果如何，1班排球隊積分最多）？若能，求出相應的概率；若不能，請說明理由.參考數(shù)據(jù)：，則，，.19．（2024·廣西·模擬預測）正態(tài)分布與指數(shù)分布均是用于描述連續(xù)型隨機變量的概率分布．對于一個給定的連續(xù)型隨機變量X，定義其累積分布函數(shù)為．已知某系統(tǒng)由一個電源和并聯(lián)的A，B，C三個元件組成（如圖），在電源電壓正常的情況下，至少一個元件正常工作才可保證系統(tǒng)正常運行，電源及各元件之間工作相互獨立．(1)已知電源電壓X（單位：V）服從正態(tài)分布，且X的積累分布函數(shù)為Fx，求；(2)在數(shù)理統(tǒng)計中，指數(shù)分布常用于描述事件發(fā)生的時間間隔或等待時間．已知隨機變量T（單位：天）表示某高穩(wěn)定性元件的使用壽命，且服從指數(shù)分布，其累計分布函數(shù)為．設，證明：；附：若隨機變量Y服從正態(tài)分布，則，，．20．（2024·廣東佛山·模擬預測）某記憶力測試軟件的規(guī)則如下：在標號為1、2、3、4的四個位置上分別放置四張相似的圖片，觀看15秒，收起圖片并打亂，1分鐘后，測試者根據(jù)記憶還原四張卡片的位置，把四張卡片分別放到四個位置上之后完成一次測試，四張卡片中與原來位置相同1張加2分，不同1張則扣1分．(1)規(guī)定：連續(xù)三次測試全部得8分為優(yōu)秀，三次測試恰有兩次得8分為良好，若某測試者在每次測試得8分的概率均為（），求他連續(xù)三次測試結果為良好的概率的最大值；(2)假設某測試者把四張卡片隨機地放入四個位置上，他測試1次的得分為X，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望．21．（2024·廣西柳州·模擬預測）如圖，在一條無限長的軌道上，一個質點在隨機外力的作用下，從位置0出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動一個單位，設移動次后質點位于位置．

(1)求；(2)求；(3)指出質點最有可能位于哪個位置，并說明理由．22．第十四屆全國冬季運動會（簡稱冬運會）于2024年2月17日至2月27日在內蒙古自治區(qū)舉辦，這是歷屆全國冬運會中規(guī)模最大、項目最多、標準最高的一屆，也是內蒙古自治區(qū)首次承辦全國綜合性運動會.為迎接這一體育盛會，內蒙古某大學組織大學生舉辦了一次主題為“喜迎冬運會，當好東道主”的冬運會知識競賽，該大學的一學院為此舉辦了一場選拔賽，選拔賽分為初賽和決賽，初賽通過后才能參加決賽，決賽通過后將代表該學院參加該大學的冬運會知識競賽.(1)初賽采用選一題答一題的方式，每位參賽大學生最多有7次答題機會，累計答對4道題或答錯4道題即終止比賽，答對4道題則進入決賽，答錯4道題則被淘汰.已知大學生甲答對每道題的概率均為，且回答各題的結果相互獨立；（i）求甲至多回答了5道題就進入決賽的概率；（ii）設甲在初賽中答題的道數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.(2)決賽共答3道題，若答對題目數(shù)量不少于2道，則勝出，代表學院參加學校比賽；否則被淘汰已知大學生乙進入了決賽，他在決賽中前2道題答對的概率相等，均為，3道題全答對的概率為，且回答各題的結果相互獨立，設他能參加學校比賽的概率為，求的最小值.23．（2024·江西南昌·模擬預測）南昌二中一直有個優(yōu)秀的傳統(tǒng)“畢業(yè)學習經(jīng)驗分享會”：每屆高考結束后，各班推薦優(yōu)秀學生代表與下一屆學生進行學習經(jīng)驗分享.2024屆高三年級班號依次為0，1，2，…，27，高三0班推薦2名男生和2名女生，其余各班均推薦1名男生和1名女生參加分享會；第一場分享會的4名學生嘉賓是從高三0班的優(yōu)秀學生代表中選出的2名和高三1班的2名優(yōu)秀學生代表共同形成，第二場分享會的4名學生嘉賓是從上一場4名嘉賓中選出的2名和高三2班的2名優(yōu)秀學生代表共同形成，…，按照這樣的方式，依次進行到第二十七場分享會.(1)求在第一場分享會學生嘉賓中有2名男生的概率；(2)求在第二場分享會學生嘉賓中有2名男生的概率；(3)記在第二十七場分享會學生嘉賓中男生人數(shù)為，求的分布列和期望.24．（2024·四川成都·模擬預測）為了估計魚塘中魚的數(shù)量，常常采用如下方法：先從魚塘中撈出條魚，在魚身上做好某種標記后再放回魚塘．一段時間后，再從魚塘中撈出條魚，并統(tǒng)計身上有標記的魚的數(shù)目，就能估計出魚塘中的魚的總數(shù)．已知，設第二次撈出的條魚中身上有標記的魚的數(shù)目為隨機變量．(1)若已知，．①求的均值；②是否有的把握認為能撈出身上有標記的魚（即能撈出身上有標記的魚的概率不小于）？(2)若，其中身上有標記的魚有條，估計池塘中魚的總數(shù)（將使最大的作為估計值）．參考數(shù)據(jù)：，，，．1．（2022年新高考全國II卷數(shù)學真題）已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且，則．2．（2021年天津高考數(shù)學試題）甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次平局，已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為和，且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為，3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為．3．（2004年普通高等學校招生考試數(shù)學（理）試題（全國卷Ⅱ））從裝有3個紅球，2個白球的袋中隨機取出2個球，設其中有個紅球，則隨機變量的概率分布為：．0124．（2006年普通高等學校招生考試數(shù)學（理）試題（湖北卷））在某校舉行的數(shù)學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似服從正態(tài)分布．已知成績在90分以上（含90分）的學生有12名．(1)試問此次參賽學生總數(shù)約為多少人？(2)若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學生，試問設獎的分數(shù)線約為多少分？可供查閱的（部分）標準正態(tài)分布表01234567891.20.88490.88690.8880.89070.89250.89440.89620.89800.89970.90151.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.91771.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92780.92920.93060.93191.90.97130.97190.97260.97320.