浙江省湖州市天略外國語學校2026屆高二數(shù)學第一學期期末達標測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線在y軸上的截距為（）A. B.C. D.2．拋物線型太陽灶是利用太陽能輻射的一種裝置．當旋轉拋物面的主光軸指向太陽的時候，平行的太陽光線入射到旋轉拋物面表面，經(jīng)過反光材料的反射，這些反射光線都從它的焦點處通過，形成太陽光線的高密集區(qū)，拋物面的焦點在它的主光軸上．如圖所示的太陽灶中，灶深CD即焦點到灶底（拋物線的頂點）的距離為1m，則灶口直徑AB為（）A.2m B.3mC.4m D.5m3．已知平面內有一點，平面的一個法向量為，則下列四個點中在平面內的是（）A. B.C. D.4．如圖，D是正方體的一個“直角尖”O(jiān)-ABC（OA，OB，OC兩兩垂直且相等）棱OB的中點，P是BC中點，Q是AD上的一個動點，連PQ，則當AC與PQ所成角為最小時，（）A. B.C. D.25．將直線2x－y＋λ＝0沿x軸向左平移1個單位，所得直線與圓x2＋y2＋2x－4y＝0相切，則實數(shù)λ值為()A.－3或7 B.－2或8C0或10 D.1或116．用3，4，5，6，7，9這6個數(shù)組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，下列結論正確的有（）A.在這樣的六位數(shù)中，奇數(shù)共有480個B.在這樣的六位數(shù)中，3、5、7、9相鄰的共有120個C.在這樣的六位數(shù)中，4，6不相鄰的共有504個D.在這樣六位數(shù)中，4個奇數(shù)從左到右按照從小到大排序的共有60個7．在矩形中，，在該矩形內任取一點M，則事件“”發(fā)生的概率為（）A. B.C. D.8．函數(shù)的導數(shù)為（）A.B.CD.9．在四棱錐中，四邊形為菱形，平面，是中點，下列敘述正確的是（）A.平面 B.平面C.平面平面 D.平面平面10．以，為焦點，且經(jīng)過點的橢圓的標準方程為（）A. B.C. D.11．已知且，則下列不等式恒成立的是A. B.C. D.12．在正項等比數(shù)列中，和為方程的兩根，則等于（）A.8 B.10C.16 D.32二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設，分別是橢圓C：左、右焦點，點M為橢圓C上一點且在第一象限，若為等腰三角形，則M的坐標為___________14．一支車隊有10輛車，某天下午依次出發(fā)執(zhí)行運輸任務．第一輛車于14時出發(fā)，以后每間隔10分鐘發(fā)出一輛車．假設所有的司機都連續(xù)開車，并都在18時停下來休息．截止到18時，最后一輛車行駛了____小時，如果每輛車行駛的速度都是60km/h，這個車隊各輛車行駛路程之和為______千米15．已知點，平面過，，三點，則點到平面的距離為________.16．中小學生的視力狀況受到社會的關注.某市有關部門從全市6萬名高一學生中隨機抽取400名學生，對他們的視力狀況進行一次調查統(tǒng)計，將所得到的有關數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖，如圖所示，從左至右五個小組的頻率之比為，則抽取的這400名高一學生中視力在范圍內的學生有______人.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的右焦點是橢圓上的一動點，且的最小值是1，當垂直長軸時，.(1)求橢圓的標準方程；(2)設直線與橢圓相切，且交圓于兩點，求面積的最大值，并求此時直線方程.18．（12分）如圖，在長方體中，，若點P為棱上一點，且，Q，R分別為棱上的點，且.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.19．（12分）已知數(shù)列的前n項和為滿足（1）求證：是等比數(shù)列，并求數(shù)列通項公式；（2）若，數(shù)列的前項和為．求證：20．（12分）已知函數(shù).（1）判斷的單調性.（2）證明：.21．（12分）已知動點在橢圓：（）上，，為橢圓左、右焦點．過點作軸的垂線，垂足為，點滿足，且點的軌跡是過點的圓（1）求橢圓方程；（2）過點，分別作平行直線和，設交橢圓于點，，交橢圓于點，，求四邊形的面積的最大值22．（10分）設函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論單調性；(2)證明：當時，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】將代入直線方程求y值即可.【詳解】令，則，得.所以直線在y軸上的截距為.故選：D2、C【解析】建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線的方程為，根據(jù)是拋物線的焦點，求得拋物線的方程，進而求得的長.【詳解】由題意，建立如圖所示的平面直角坐標系，O與C重合，設拋物線的方程為，由題意可得是拋物線的焦點，即，可得，所以拋物線的方程為，當時，，所以.故選：C.3、A【解析】設所求點的坐標為，由，逐一驗證選項即可【詳解】設所求點的坐標為，則，因為平面的一個法向量為，所以，，對于選項A，，對于選項B，，對于選項C，，對于選項D，故選：A4、C【解析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，求得AC與PQ夾角的余弦值關于點坐標的函數(shù)關系，求得角度最小時點的坐標，即可代值計算求解結果.【詳解】根據(jù)題意，兩兩垂直，故以為坐標原點，建立空間直角坐標系如下所示：設，則，不妨設點的坐標為，則，，則，又，設直線所成角為，則，則，令，令，則，令，則，此時.故當時，取得最大值，此時最小，點，則，故，則故選：C.5、A【解析】根據(jù)直線平移的規(guī)律，由直線2x﹣y+λ=0沿x軸向左平移1個單位得到平移后直線的方程，然后因為此直線與圓相切得到圓心到直線的距離等于半徑，利用點到直線的距離公式列出關于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值解：把圓的方程化為標準式方程得（x+1）2+（y﹣2）2=5，圓心坐標為（﹣1，2），半徑為，直線2x﹣y+λ=0沿x軸向左平移1個單位后所得的直線方程為2（x+1）﹣y+λ=0，因為該直線與圓相切，則圓心（﹣1，2）到直線的距離d==r=，化簡得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5，解得λ=﹣3或7故選A考點：直線與圓的位置關系6、A【解析】A選項，特殊位置優(yōu)先考慮求出這樣的六位數(shù)中，奇數(shù)個數(shù)；B選項，相鄰問題捆綁法求解；C選項，不相鄰問題插空法求解；D選項，定序問題使用倍縮法求解.【詳解】用3，4，5，6，7，9這6個數(shù)組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，個位為3,5,7,9中的一位，有種，其余五個數(shù)位上的數(shù)字進行全排列，有種，綜上：在這樣的六位數(shù)中，奇數(shù)共有個，A正確；在這樣的六位數(shù)中，3、5、7、9相鄰，將3、5、7、9捆綁，有種排法，再與4,6進行全排列，故共有個，B錯誤；在這樣的六位數(shù)中，4，6不相鄰，先將3、5、7、9進行全排列，再從五個位置中任選兩個將4,6排列，綜上共有個，C錯誤；在這樣的六位數(shù)中，4個奇數(shù)從左到右按照從小到大排序的共有個，D錯誤.故選：A7、D【解析】利用幾何概型的概率公式，轉化為面積比直接求解.【詳解】以AB為直徑作圓，當點M在圓外時，.所以事件“”發(fā)生的概率為.故選：D8、B【解析】由導數(shù)運算法則可求出.【詳解】，.故選：B.9、D【解析】利用反證法可判斷A選項；利用面面垂直的性質可判斷BC選項；利用面面垂直的判定可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為四邊形為菱形，則，平面，平面，平面，若平面，因為，則平面平面，事實上，平面與平面相交，假設不成立，A錯；對于B選項，過點在平面內作，垂足為點，平面，平面，則，，，平面，而過作平面的垂線，有且只有一條，故與平面不垂直，B錯；對于C選項，過點在平面內作，垂足為點，因為平面，平面，則，，，則平面，若平面平面，過點在平面內作，垂足為點，因為平面平面，平面平面，平面，平面，而過點作平面的垂線，有且只有一條，即、重合，所以，平面平面，所以，，但四邊形為菱形，、不一定垂直，C錯；對于D選項，因為四邊形為菱形，則，平面，平面，，，平面，因為平面，因此，平面平面平面，D對.故選：D.10、B【解析】根據(jù)焦點在x軸上，c=1，且過點，用排除法可得.也可待定系數(shù)法求解，或根據(jù)橢圓定義求2a可得.【詳解】因為焦點在x軸上，所以C不正確；又因為c=1，故排除D；將代入得，故A錯誤，所以選B.故選：B11、C【解析】∵且，∴∴選C12、C【解析】根據(jù)和為方程兩根，得到，然后再利用等比數(shù)列的性質求解.【詳解】因為和為方程的兩根，所以，又因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先計算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的橫坐標為，代入橢圓C：求出.【詳解】橢圓C：,所以.因為M在橢圓上,.因為M在第一象限,故.為等腰三角形,則,所以,由余弦定理可得.過M作MA⊥x軸于A,則所以,即M的橫坐標為.因為M為橢圓C：上一點且在第一象限，所以，解得：所以M的坐標為.故答案為：14、①.2.5####②.1950【解析】通過分析，求出最后一輛車的出發(fā)時間，從而求出最后一輛車的行駛時間，這10輛車的行駛路程可以看作等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式進行求解.【詳解】因為，所以最后一輛車出發(fā)時間為15時30分，則最后一輛車行駛時間為18-15.5=2.5小時，第一輛車行程為km，且從第二輛車開始，每輛車都比前一輛少走km，這10輛車的行駛路程可以看作首項為240，公差為-10的等差數(shù)列，則10輛車的行程路程之和為（km）.故答案為：2.5,195015、【解析】先求得平面ABC的一個法向量，然后由求解.【詳解】因為，，，，所以，設平面ABC的一個法向量為，則，即，令，則，所以則點到平面的距離為，故答案：16、50【解析】利用頻率分布直方圖的性質求解即可.【詳解】第五組的頻率為，第一組所占的頻率為，則隨機抽取400名學生視力在范圍內的學生約有人.故答案為：50.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2），.【解析】（1）由的最小值為1，得到，再由，結合，求得的值，即可求得橢圓的方程.（2）設切線的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)直線與橢圓相切，求得，結合點到直線的距離公式和圓的弦長公式，求得的面積的表示，結合函數(shù)的單調性，即可求解.【詳解】（1）由題意，點橢圓上的一動點，且的最小值是1，得，因為當垂直長軸時，可得，所以，即，又由，解得，所以橢圓的標準方程為.（2）由題意知切線的斜率一定存在，否則不能形成，設切線的方程為，聯(lián)立，整理得，因為直線與橢圓相切，所以，化簡得，則，因為點到直線的距離，所以，即，故的面積為，因為，可得，即，函數(shù)在上單調遞增，所以，當時取等號，則，即面積的最大值為.當時，此時，所以直線的方程為.【點睛】對于直線與橢圓的位置關系的處理方法：1、判定與應用直線與橢圓的位置關系，一把轉化為研究直線方程與橢圓組成的方程組的解得個數(shù)，結合判別式求解；2、對于過定點的直線，也可以通過定點在橢圓的內部或在橢圓上，判定直線與橢圓的位置關系.18、（1）（2）【解析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法求線面角；（2）用空間向量法求二面角【小問1詳解】以D為坐標原點，射線方向為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系.當時，，所以，設平面的法向量為，所以，即不妨得，，又，所以，則【小問2詳解】在長方體中，因為平面，所以平面平面，因為平面與平面交于，因為四邊形為正方形，所以，所以平面，即為平面的一個法向量，，所以，又平面的法向量為，所以.19、（1）證明見解析，（2）證明見解析【解析】（1）令可求得的值，令，由可得，兩式作差可得，利用等比數(shù)列的定義可證得結論成立，確定該數(shù)列的首項和公比，可求得數(shù)列的通項公式；（2）求得，利用錯位相減法可求得，結合數(shù)列的單調性可證得結論成立.【小問1詳解】證明：當時，，解得，當時，由可得，上述兩個等式作差得，所以，，則，因為，則，可得，，，以此類推，可知對任意的，，所以，，因此，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項為，公比為，所以，，解得.【小問2詳解】證明：，則，其中，所以，數(shù)列為單調遞減數(shù)列，則，，，上式下式，得，所以，，因此，.20、（1）在R上單調遞增，無單調遞減區(qū)間；（2）證明見解析.【解析】（1）對求導，令并應用導數(shù)求最值，確定的符號，即可知的單調性.（2）利用作差法轉化證明的結論，令結合導數(shù)研究其單調性，最后討論的大小關系判斷的符號即可證結論.【小問1詳解】由題設，.令，則.當時，單調遞減；當時，單調遞增故，即，則在R上單調遞增，無單調遞減區(qū)間.【小問2詳解】.令，則.令，則，顯然在R上單調遞增，且，∴當時，單調遞減；當時，單調遞增.故，即，在R上單調遞增，又，∴當時，，；當時，，；當時，.綜上，，即.【點睛】關鍵點點睛：第二問，應用作差法有，構造中間函數(shù)并應用導數(shù)研究單調性，最后討論的大小證結論.21、（1）；（2）【解析】(1)設點和，由題意可得點的軌跡方程，將點Q的坐標代入T的方程計算出即可；(2)設的方程，和，聯(lián)立橢圓方程并消元得到關于y的一元二次方程，根據(jù)韋達定理得到，進而求出和，根據(jù)平行線間的距離公式可得與的距離，得出所求四邊形面積的表達式，結合換元法和基本不等式化簡求值即可.【詳解】解：（1）設點，，則點，，，∵，∴，∴，∵點在橢圓上，∴，即為點的軌跡方程又∵點的軌跡是過的圓，∴，解得，所以橢圓的方程為（2）由題意，可設的方程為，聯(lián)立方程，得設，，則，且，所以，同理，又與的距離為，所以，四邊形的面積為，令，則，且，當且僅當，即時等號成立所以，四邊形的面積最大