15.3.2角平分線的判定第十五章軸對稱圖形與等腰三角形

滬科版2024·八年級上冊學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)123

理解角平分線的定義；掌握并運用角平分線的判定定理；區(qū)分“性質(zhì)定理”與“判定定理”探究新知角平分線的性質(zhì)：定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.逆命題它是真命題嗎？你能證明嗎？到角兩邊距離相等的點在角的平分線上角的內(nèi)部PBAＯCD驗證猜想角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上求證：點P在

∠AOB的角平分線上.證明：作射線OP∴

點P在∠AOB的角平分線上在Rt△PCO和Rt△PDO中(全等三角形的對應(yīng)角相等)OP=OPPC=PD∵PC⊥OA，PD⊥OB∴△PCO和△PDO是直角三角形∴Rt△PCO≌Rt△PDO∴

∠AOP=∠BOPPBAＯCD

已知：如圖，點P在

∠AOB的內(nèi)部，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是D、E，PC=PD.(公共邊)(已知)(HL)(角平分線的定義)∵角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上角平分線的判定：定理：應(yīng)用所具備的條件：(1)位置關(guān)系：(2)數(shù)量關(guān)系：判定定理的作用：幾何語言：∵PC⊥OA，∴

點P在

∠AOB的平分線上點在角的內(nèi)部；該點到角兩邊的距離相等.判斷點是否在角平分線上.(或OP平分∠AOP)PBAＯCD(角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上)PD⊥OB，且PC=PD.比一比圖形已知條件結(jié)論PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于點DPE⊥OB于點EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于點DPE⊥OB于點E角的平分線的判定角的平分線的性質(zhì)(角的內(nèi)部的)點到角兩邊的距離相等點在角平分線上性質(zhì)判定1、已知，如圖，OC

是

∠AOB

內(nèi)部的一條射線，P

是射線

OC上任意點，PD⊥OA，PE⊥OB，下列條件中：①

∠AOC=∠BOC，②

PD=PE，③

OD=OE，④

∠DPO=∠EPO，能判定

OC

是

∠AOB

的角平分線的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個D知識拓展：判定角平分線的方法：①

角平分線的定義②

角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.(角平分線的判定定理)鞏固練習(xí)AOBP12EF2、已知PA=PB，∠1+∠2=180°,求證：OP平分

∠AOB證明：過點P分別作PF⊥OB于點F，PE⊥OA于點E，則∠PEA=∠PFB=90°∵

∠1+∠2=180°，

∠PBF+∠2=180°在△PEA和△PFB中∠PEA=∠PFB∠1=∠PBFPA=PB∵∴△PEA≌△PFB∴

PE＝PF又∵

PE⊥OA，PF⊥OB(AAS)(全等三角形的對應(yīng)邊相等)∴

OP平分∠AOB∴

∠1=∠PBF(同角的補角相等)(角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上)3、已知：如圖：△ABC中，∠ABC的平分線BE與∠ACB的平分線CF交于點P.求證：AP平分∠BAC.ABCPEFGNM∵

∠ABC的平分線BE與∠ACB的平分線CF交于點P證明：∴

PM=PN，PN=PG過點P分別作PM⊥AB于點M,PN⊥BC于點N,PG⊥AC于點G.

(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)∴

PM=PG∴AP平分∠BAC(角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上)(等量代換)三角形三條內(nèi)角平分線相交于一點，這點到三角形三邊的距離相等.這一點叫做三角形的內(nèi)心.三角形的角平分線的性質(zhì)定理：4、如圖，在△ABC中，點

O

是△ABC內(nèi)一點，且點

O

到

△ABC

三邊的距離相等，若

∠A=70°，則

∠BOC

的度數(shù)為（）

A.35°

B.125°

C.55°

D.135°DEFB知識拓展：三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點是三角形三條角平分線的交點.5、如圖，已知

△ABC

的外角

∠BCE

和

∠CBD

的平分線相交于點F，求證：點

F

在

∠DAE

的平分線上．MNG證明：過點F分別作

FM⊥AE于點M，F(xiàn)N⊥BC于點N，F(xiàn)G⊥BD

于點G.∵

∠BCE

和∠CBD的平分線相交于點F∴

FM=FN，F(xiàn)N=FG∴

FM=FG∴

點

F

在

∠DAE

的平分線上(角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上)知識拓展：三角形兩外角平分線的交點到三邊所在直線的距離也相等.6、如圖，直線

l1、l2、l3表示三條互相交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，可選擇的地址有幾處?畫出它的位置.P1P2P3P4l1l2l37、如圖,D,E,F分別是△ABC三邊上的點,CE=BF,△DCE和△DBF的面積相等,DH⊥AB于H,DG⊥AC于G.

求證:AD平分∠BAC.∵DH⊥AB,證明：∴S△DBF=12BFS△DCH=12CE又∵△DCE和△DBF的面積相等，且CE=BF∴DG=DH又∵

DH⊥AB，DG⊥AC∴

AD平分∠BAC(角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上)DG⊥AC×DG×DH

8、如圖，△ABC的周長為l，點P為三角形內(nèi)角平分線的交點，點P到AB的距離為r，試求

△ABC的面積.BCPEFDA證明：過點P分別作PF⊥AB于點F，PE⊥AC

于點E，連接PA，PB，PC.PD⊥BC于點D，∵點P為三角形內(nèi)角平分線的交點∴PF=PD=PE=rrrr∴S△ABC=S△ABP=12AB×PFBC×PD+12AC×PE+12+S△BPC+S△APC=12AB×rBC×r+12AC×r+12=12r×(AB+BC+AC)又∵△ABC的周長為

l∴S△ABC=12rl

8、如圖，△ABC的周長為l，點P為三角形內(nèi)角平分線的交點，點P到AB的距離為r，試求

△ABC的面積.BCPEFDArrrS△ABC=12rl知識拓展：r是內(nèi)心到邊的距離l

是三角形的周長即S△ABC=12內(nèi)心到邊的距離×三角形的周長9、如圖，O是三條角平分線的交點，OD⊥BC于D，若OD=3，△ABC的周長為15，求S△ABC.ABCOFDE證明：過點O分別作DF⊥AC于點F，OE⊥AB于點E，連接AO.∵OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，且OD⊥BC∴

OD=OE=OF∴S△ABC=S△ABO=12AB×OEBC×OD+12AC×OF+12=12AB×ODBC×OD+12AC×OD+12=12OD×(AB+BC+AC)又∵OD=3，△ABC的周長為15∴S△ABC=12×3×15=22.5+S△BOC+S△AOC∴OD=OE，OD=OF10、如圖，在

△ABC

中，∠ABC=90°，AB=7，AC=25，BC=24，三