專題15.4等邊三角形中的幾何綜合思維方法思維方法正向思維：是一類常規(guī)性的、傳統(tǒng)的思維形式，指的是大家按照自上而下，由近及遠(yuǎn)、從左到右、從可知到未知等一般而言的線性方向做出探究問(wèn)題的思維途徑。逆向思維：是指在剖析、破解數(shù)學(xué)難題進(jìn)程中，可以靈活轉(zhuǎn)換思維方向，從常規(guī)思維的相反方向出發(fā)進(jìn)行探索的思維方式，比如正向思維無(wú)法解決問(wèn)題時(shí)可反其道而行采取逆向思維，直接證明有困難時(shí)可采用間接證明。知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、等邊三角形1．定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形．2．等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60°．3．等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形．典例分析典例分析【典例1】△ABC為等邊三角形，在△ABC外作射線AP，D為射線AP上一點(diǎn)，連接CD，在平面內(nèi)有一點(diǎn)（1）如圖1，連接BD，若點(diǎn)E恰好在BD上，且∠DCE=60（2）如圖2，連接ED，若∠DCE=120°，且DE恰好過(guò)BC邊的中點(diǎn)（3）如圖3，若∠CAP=40°，∠DCE=120°，連接BE，當(dāng)線段BE的長(zhǎng)度最小時(shí)，在射線BE上取一點(diǎn)F，在邊【思路點(diǎn)撥】（1）本題考查了三角形全等和等邊三角形的性質(zhì)，找到全等的條件是解題的關(guān)鍵．根據(jù)CE=CD，∠DCE=60°，可知△DCE為等邊三角形，利用公共角，證得∠1=∠3，再證△ADC≌△BEC（2）本題考查了三角形全等和等邊三角形的性質(zhì)，通過(guò)“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．要證DM=EM+AD，由于三邊不在一條直線上，因此考慮“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”把線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化．在ED上取點(diǎn)N，使得MN=EM，連接NC、BN、AN，證明（3）本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是首先證明點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡，找到何時(shí)線段BE最短，然后構(gòu)造三角形，確定何時(shí)AF+AG的值最小．以BC為邊向下作等邊三角形△BCM，連接ME，證明△ACD≌△MCE，得到∠CME=40°，即得當(dāng)點(diǎn)D在射線AP上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是在直線ME上，且滿足∠CME=40°，由此得到當(dāng)BE⊥EM時(shí)，線段BE最短．要證明兩條線段AF+AG的最小值，通常利用兩點(diǎn)之間線段最短，因此需要將其中一條線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化．以點(diǎn)C為頂點(diǎn)，作∠BCN=∠ABF【解題過(guò)程】（1）解：如圖，∵CE=CD，∴△DCE∵△ABC∴∠2+∠3=∠ACB∵∠1+∠2=∠DCE∴∠1=∠3，∵∠1=∠3CD∴△ADC∴∠ADC∵∠DEC∴∠BEC∴∠ADC∴∠ADB故∠ADB（2）解：在ED上取點(diǎn)N，使得MN=EM，連接NC、BN、∵M(jìn)為BC邊的中點(diǎn)∴BM=∵BM∴△BMN∴BN=CE=∵∠DCE=120°，∴∠ABN∠ACD∴∠∵AB=∴△ABN∴AN=AD，∵∠BAN∴∠CAD∴△AND∴AD=∴DM故DM=（3）解：以BC為邊向下作等邊三角形△BCM，連接ME∵△ABC和△∴AC=∵∠DCE=120°，∴∠ACD∵∠MCE∴∠ACD∵AC=∴△ACD∴∠CME∴當(dāng)點(diǎn)D在射線AP上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是在直線ME上，且滿足∠CME∴當(dāng)線段BE的長(zhǎng)度最小時(shí)，即過(guò)點(diǎn)B向直線ME作垂線，E為垂足，即BE⊥EM，∵∠CME=40°，∴∠EMB∴在Rt△BEM中，又∵∠MBC∴∠EBC∴∠ABF以點(diǎn)C為頂點(diǎn)，作∠BCN=∠ABF=50°，且∵CN=∴△ABF∴AF=∴AF+連接AN交射線BE于點(diǎn)O，在△AGN∵AF+∴當(dāng)A,G,此時(shí)，∵CN=∴△ACN為等腰三角形，又∠∴∠CAN在△NCG中，∠∴∠BGO在△BOG中，∠∴∠AOF又∵△ABF∴∠BAF在△ABF中，∠∴在△AOF中，∠∴∠FAC故當(dāng)AF+AG的值最小，學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（23-24七年級(jí)下·山東淄博·期末）如圖，△ABC是等邊三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于點(diǎn)E，連接CD分別交AE，AB于點(diǎn)F，G，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CD分別交CD，①∠BAC=4∠ADC；②DF=AH；③BH=PFA．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④⑤2．（23-24八年級(jí)上·黑龍江牡丹江·期末）如圖、已知△ABC是等邊三角形，在△ABC外有一點(diǎn)D，AD=CD，且∠DAC=30°，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，且∠EBF=30°．下列結(jié)論：①BE=BF；②A．4 B．3 C．2 D．13．（23-24八年級(jí)下·湖北武漢·期末）如圖，點(diǎn)C是線段BD上一點(diǎn)，分別以BC,CD為邊在BD同側(cè)作等邊△ABC和等邊△CDE，連BE,AD交于點(diǎn)F，若A．2 B．12 C．32 D4．（23-24七年級(jí)下·山東東營(yíng)·期末）如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ，以下五個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③CP=CQ；④OCA．①③⑤ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤5．（23-24八年級(jí)上·河南信陽(yáng)·期末）如圖，邊長(zhǎng)為a的等邊△ABC中，BF是AC上中線且BF=b，點(diǎn)D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，則6．（22-23八年級(jí)上·山東濟(jì)南·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=60°，點(diǎn)D在AB上，CD=14，∠BDC=60°，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E，使CE=AC，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，交AB7．（23-24七年級(jí)下·四川成都·期末）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°,AC=BC=8,D為AC邊上一點(diǎn)，AD=2,E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，以DE為邊并在DE的左側(cè)作等邊8．（23-24八年級(jí)上·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，在△BCD中，∠BCD<120°，分別以BC、CD和BD為邊在△BCD外部作等邊三角形ABC、等邊三角形CDE和等邊三角形BDF，連接AD、BE和CF交于點(diǎn)P，則PA、PB、PC、9．（23-24八年級(jí)上·天津西青·期末）如圖，點(diǎn)D是等邊△ABC中BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC邊上，且∠EDF=120°，若BE=2，

10．（23-24八年級(jí)下·吉林·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC=BC=18cm，點(diǎn)D在AC上，CD=8cm．點(diǎn)M在線段CB上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，∠DMN的度數(shù)為_(kāi)_____（2）開(kāi)始運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，△BMN（3）若點(diǎn)M和點(diǎn)N在到達(dá)終點(diǎn)后不停止運(yùn)動(dòng)，而是沿著△ABC的三邊順時(shí)針繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，直到回到出發(fā)點(diǎn)后停止，直接寫出：線段MN與△11．（22-23八年級(jí)上·廣東廣州·期中）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)E為邊AB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D在邊CB的延長(zhǎng)線上，且ED（1）當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)（如圖1），則有AE__________DB（填“>”“<”或“=”）；（2）如圖2，若點(diǎn)E為AB上任意一點(diǎn)，猜想AE與DB的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（3）在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC，若△ABC的邊長(zhǎng)為2，AE12．（23-24八年級(jí)上·廣東廣州·期末）如圖1圖2，點(diǎn)O是線段AC的中點(diǎn)，OB⊥（1）如圖1，若∠ABO=30°，求（2）如圖1，在（1）的條件下，若點(diǎn)D在射線AC上，點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)，且△BDQ是等邊三角形，QC的延長(zhǎng)線交直線OB于點(diǎn)P，求PC（3）如圖2，在（1）的條件下，若點(diǎn)M在線段BC上，△OMN是等邊三角形，且點(diǎn)M沿著線段BC從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，點(diǎn)N隨之運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)N13．（23-24八年級(jí)上·重慶萬(wàn)州·階段練習(xí)）（1）問(wèn)題情境如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，（2）遷移應(yīng)用如圖2，△ABC和△ADE都是等邊三角形，A，B，E三點(diǎn)在同一條直線上，M是AD的中點(diǎn)，N是AC的中點(diǎn)，P在BE上，△MNP是等邊三角形，求證：P（3）拓展創(chuàng)新如圖3，P是線段BE的中點(diǎn)，BE=9，在BE的下方作等邊△PFH（P，F(xiàn)，H三點(diǎn)按逆時(shí)針順序排列，△PFH的大小和位置可以變化），連接EF，BH．當(dāng)EF14．（23-24八年級(jí)上·山東聊城·期中）已知在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，ED=（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與DB的大小關(guān)系；AE______DB（填“>”“<”或“=”）．（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)E為AB邊上任意一點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）如圖（3）在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上，且ED=EC，若△ABC的邊長(zhǎng)為1，AE15．（23-24八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊AC、BC上的點(diǎn)，且AD=CE，AE、BD（1）如圖1，求證：∠BFE（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AE于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)C作CH∥BD交AE延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，若F為（3）如圖3，在（2）的條件下K為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠K+∠ABD=60°，△ABC16．（22-23九年級(jí)上·安徽·階段練習(xí)）安安利用兩張正三角形紙片，進(jìn)行了如下探究：

【探究證明】（1）如圖1，△ABC和△DCE均為等邊三角形，連接AE交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：【拓展延伸】（2）如圖2，在正三角形紙片△ABC的BC邊上取一點(diǎn)D，作∠ADE=60°交∠ACB外角平分線于點(diǎn)E，探究CE，【思維提升】（3）如圖3，△ABC和△DCE均為正三角形，當(dāng)B，C，E三點(diǎn)共線時(shí)，連接PC，若①AP-②AP+17．（2023七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知：△ABC是等邊三角形，△BDC是等腰三角形，其中∠BDC=120°，過(guò)點(diǎn)D作∠EDF=60°，分別交AB于E，交（1）若BE=CF，求證：①△DEF是等邊三角形；②（2）若BE≠CF，即E、F分別是線段AB、AC上任意一點(diǎn)，18．（22-23八年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊AB，BC（1）如圖1，求證：∠AFD（2）如圖2，F(xiàn)H為∠AFC的平分線，點(diǎn)H在FM的延長(zhǎng)線上，連接HA、HC，∠（3）如圖3，在（2）的條件下，延長(zhǎng)AF交CH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，點(diǎn)G在線段AH上，GH=CK，連接CG交FH于點(diǎn)M，F(xiàn)N=3，AK19．（23-24八年級(jí)上·山東日照·期末）已知，如圖1，在等邊△ABC中，∠BAC與∠ABC的角平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)D、E分別在邊AB,BC上，且∠DOE=60°（1）方法探索：小敏的思路是：如圖3，在AB上取一點(diǎn)F，使AF=BE，連接OF．先證明△BOE≌△______，從而OE=______；繼而證明△DOE≌△______，從而DE=（2）拓展運(yùn)用：如圖2，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，其它條件不變，猜想AD、DE、BE三者