第15章軸對稱圖形與等腰三角形（復(fù)習(xí)講義）1.掌握基本概念：使學(xué)生理解軸對稱圖形的定義，掌握對稱軸、對稱點(diǎn)的概念，并能識別和繪制軸對稱圖形。同時，讓學(xué)生掌握等腰三角形的判定定理（兩邊相等或兩底角相等），以及等腰三角形的性質(zhì)（底角相等、三線合一等）.2.培養(yǎng)空間觀念和邏輯推理能力：通過觀察、分析軸對稱圖形和等腰三角形，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和數(shù)學(xué)抽象思維，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)和交流的能力.3.應(yīng)用知識解決實(shí)際問題：培養(yǎng)學(xué)生在解決實(shí)際問題時運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法進(jìn)行探究和解決問題的素養(yǎng)，通過小組討論等活動，讓學(xué)生在實(shí)踐中運(yùn)用所學(xué)知識.4.熟練掌握性質(zhì)并應(yīng)用：能夠熟練掌握軸對稱圖形的性質(zhì)并能熟練應(yīng)用，特別是線段的垂直平分線和角的平分線及等腰三角形的性質(zhì)2.●一、軸對稱圖形（一）軸對稱圖形的相關(guān)概念★1、軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱．★2、軸對稱圖形是針對一個圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對稱軸折疊時，互相重合；軸對稱圖形的對稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無數(shù)條．★3、常見的軸對稱圖形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．（二）軸對稱圖形的性質(zhì)★1、性質(zhì)：★2、畫對稱軸的方法：（1）過兩對對稱點(diǎn)所連的線段的中點(diǎn)作直線；（2）作一對對稱點(diǎn)連線的垂直平分線.●二、軸對稱（一）軸對稱的相關(guān)概念★1、軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱（或說這兩個圖形成軸對稱），這條直線叫做對稱軸．折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，也叫做對稱點(diǎn).【注意】理解軸對稱的定義應(yīng)抓住三點(diǎn)：①有兩個圖形；②存在一條直線；③一個圖形沿著這條直線折疊后能與另一個圖形重合.★2、軸對稱圖形和軸對稱的區(qū)別與聯(lián)系軸對稱圖形軸對稱圖形區(qū)別意義一個圖形具有的特殊形狀兩個全等圖形的特殊的位置關(guān)系對稱軸的條數(shù)一條或多條只有一條對稱軸的位置一定經(jīng)過這個圖形可能在兩個圖形的外部，也可以經(jīng)過兩個圖形內(nèi)部或它們的公共邊（點(diǎn)）.聯(lián)系1.都是沿著某條直線折疊后能重合.2.若把成軸對稱的兩個圖形看作一個整體，則這個整體就是軸對稱圖形；反過來，若把軸對稱圖形的對稱軸兩旁的部分看作兩個圖形，則這兩個圖形關(guān)于這條直線（原對稱軸）對稱．（二）軸對稱的性質(zhì)★1、軸對稱的性質(zhì)：（1）成軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點(diǎn)的連線被對稱軸垂直平分．如右圖：直線MN是AA′,BB′,CC′的垂直平分線.由軸對稱的性質(zhì)得到一下結(jié)論：①如果兩個圖形的對應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱；②如果兩個圖形成軸對稱，我們只要找到一對對應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個圖形的對稱軸．③成軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等.（2）軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．★2、找對稱軸：若兩個圖形成軸對稱，其對稱軸就是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線，因此只要找到一對對應(yīng)點(diǎn)，再作出連接它們的線段的垂直平分線就可以得到這兩個圖形的對稱軸．軸對稱圖形的對稱軸作法相同．★3、、作一個圖形關(guān)于某條直線成軸對稱的方法：先確定一些特殊的點(diǎn)，然后作這些特殊點(diǎn)的對稱點(diǎn)，順次連接即可．●三、畫已知圖形的軸對稱圖形畫與已知圖形成軸對稱的圖形的步驟：（1）找：觀察已知圖形，找出能代表已知圖形的關(guān)鍵點(diǎn)（頂點(diǎn)或拐點(diǎn)）；（2）作：分別作出這些關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)；（3）連：按原圖形的順序依次連結(jié)相應(yīng)的對稱點(diǎn).●四、線段的垂直的平分線◆1、線段的垂直平分線的定義：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.如圖，MN⊥AA′，AP=A′P.直線MN是線段AA′的垂直平分線.說明：線段的垂直平分線可以看成是與線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合.◆2、線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等.★★應(yīng)用格式：（如右圖）∵直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點(diǎn)P在直線l，∴PA=PB．★★作用：證明線段相等.◆3、線段的垂直平分線的判定：與線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．★★應(yīng)用格式：（如上圖）∵PA=PB，∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上．★★作用：判斷一個點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上.●五、角的平分線（一）角平分線的性質(zhì)定理◆1、性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等.◆2、應(yīng)用所具備的條件：（1）點(diǎn)在角的平分線上；（2）到角兩邊的距離(垂直).◆3、定理的作用：證明線段相等.◆4、角平分線的性質(zhì)的幾何語言：如圖，∵OC是∠AOB的平分線，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE【注意】①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直.（二）角平分線的判定定理◆1、判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.◆2、應(yīng)用所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點(diǎn)在角的內(nèi)部；（2）數(shù)量關(guān)系：該點(diǎn)到角兩邊的距離相等.◆3、定理的作用：判斷點(diǎn)是否在角的平分線上.◆4、角平分線的判定的幾何語言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.★拓展三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等，反之，三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點(diǎn)是該三角形三條角平分線的交點(diǎn).●六、等腰三角形的概念及性質(zhì)★1、等腰三角形的概念：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．★2、等腰三角形性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等(簡寫“等邊對等角”).★用符號語言表示為：在△ABC中，∵AB=AC（已知），∴∠B＝∠C（等邊對等角）.★3、等腰三角形性質(zhì)2：等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合.簡稱：等腰三角形三線合一.★用符號語言表示為：在△ABC中，（1）∵AB=AC,∠1=∠2(已知)，∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）.（2）∵AB=AC,BD=CD(已知)，∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）.（3）∵AB=AC,AD⊥BC(已知)，∴BD=CD,∠1=∠2（等腰三角形三線合一）.★在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．★拓展：等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸為頂角平分線（或底邊上的高或底邊上的中線）所在的直線.●七、等邊三角形的概念及性質(zhì)★1、定義：三邊相等的三角形叫作等邊三角形或正三角形．★2、性質(zhì)：（1）等邊三角形是軸對稱圖形，并且有3條對稱軸．（2）等邊三角形的各角都等于60°．★3、等邊三角形與等腰三角形的性質(zhì)比較：等腰三角形等邊三角形對稱性軸對稱圖形(1條)軸對稱圖形(3條)邊兩腰相等三邊都相等角兩底角相等三個角都等于60°特殊線底邊上的中線、高和頂角的平分線互相重合(1條)每一邊上的中線、高和這一邊所對的角的平分線互相重合(3條)●八、等腰三角形的概念及性質(zhì)等腰三角形的判定方法：★1、定義法：有兩邊相等的三角形是等腰三角形.★2、判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形.(簡稱“等角對等邊”)．幾何語言：在△ABC中，∵∠B＝∠C（已知），∴AB=AC（等角對等邊）.★3、等腰三角形的判定與性質(zhì)的區(qū)別條件結(jié)論作用性質(zhì)(等邊對等角)在同一個三角形中，兩邊相等.這兩邊所對的角也相等.證明角相等.判定(等角對等邊)在同一個三角形中，兩個角相等.這兩個角所對的邊也相等.證明線段相等.●九、等邊三角形的判定★1、等邊三角形的判定（1）三個角都相等的三角形是等邊三角形．（2）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．★2、等邊三角形與等腰三角形判定的區(qū)別圖形等腰三角形等邊三角形判定從邊看：兩條邊相等的三角形是等腰三角形.三條邊都相等的三角形是等邊三角形.從角看：兩個角相等的三角形是等腰三角形.三個角相等的三角形是等邊三角形.特別說明：這個作法實(shí)際上就是線段垂直平分線的尺規(guī)作圖法，我們也可以用這種方法確定線段的中點(diǎn)．題型一題型一軸對稱圖形的識別【例1】（25-26八年級上·江蘇淮安·階段練習(xí)）下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【變式1-1】（25-26八年級上·全國·期中）下列圖形中，是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【變式1-2】列圖形中，不是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．題型題型二軸對稱性質(zhì)的應(yīng)用【例2】如圖，△ABC中，D點(diǎn)在BC上，將D點(diǎn)分別以AB、AC為對稱軸，畫出對稱點(diǎn)E、F，并連接AE、AF．根據(jù)圖中標(biāo)示的角度，求∠A．113° B．124° C．129° D．134°【變式2-1】（24-25八年級上·全國·單元測試）如圖所示，△A'B'C'與△ABC關(guān)于直線MNA．直線MN被線段AA'垂直平分 B．線段AAC．直線MN經(jīng)過線段AA'中點(diǎn)，但不垂直 D．【變式2-2】小華在鏡子中看到身后墻上的鐘，你認(rèn)為時間最接近8時整的是（）A． B． C． D．【變式2-3】如圖是一個經(jīng)過改造的規(guī)格為4×7的臺球桌面示意圖，圖中四個角上的陰影部分分別表示四個入球孔，如果一個球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過臺球邊緣多次反彈），那么球最后將落入的球袋是（）A．1號袋 B．2號袋 C．3號袋 D．4號袋題型題型三與軸對稱有關(guān)的探索規(guī)律問題【例3】如圖，彈性小球從點(diǎn)P出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動，每當(dāng)小球碰到矩形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角．當(dāng)小球第1次碰到矩形的邊時的點(diǎn)為Q，第2次碰到矩形的邊時的點(diǎn)為M，…．第9次碰到矩形的邊時的點(diǎn)為圖中的（）A．點(diǎn)P B．點(diǎn)Q C．點(diǎn)M D．點(diǎn)N【變式3-1】如圖，彈性小球從點(diǎn)P出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動，每當(dāng)小球碰到矩形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角．當(dāng)小球第1次碰到矩形的邊時的點(diǎn)為Q，第2次碰到矩形的邊時的點(diǎn)為M，…．第2022次碰到矩形的邊時的點(diǎn)為圖中的（）A．點(diǎn)P B．點(diǎn)Q C．點(diǎn)M D．點(diǎn)N【變式3-2】下面四個圖形是標(biāo)出了長寬之比的臺球桌的俯視圖，一個球從一個角落以45°角擊出，在桌子邊沿回彈若干次后，最終必將落入角落的一個球囊．圖1中回彈次數(shù)為1次，圖2中回彈次數(shù)為2次，圖3中回彈次數(shù)為3次，圖4中回彈次數(shù)為5次．若某臺球桌長寬之比為5：4，按同樣的方式擊球，球在邊沿回彈的次數(shù)為（）次．A．6 B．7 C．8 D．9題型題型四利用軸對稱解決最短路徑問題【例4】A，B兩個小鎮(zhèn)在河流的同側(cè)，隨著居民用水量的增加，現(xiàn)需要在河邊l上修建一個自來水廠P，分別向兩個小鎮(zhèn)供水．要使所用水管總長度最短，則下列圖形中，自來水廠P的位置正確的是（）B．C． D．【變式4-1】如圖，在△ABC中，AC=6，AB=8，△ABC的面積為20，AD平分∠BAC，點(diǎn)F，E分別為AC，AD上動點(diǎn)，連結(jié)CE，EFA．6 B．5 C．4 D．3【變式4-2】如圖，在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，AB⊥BC，點(diǎn)D、E分別是邊A．365 B．425 C．465題型題型五線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用【例5】（25-26九年級上·海南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，若∠A=50°，∠B=46°A．34° B．44° C．46° D．50°【變式5-1】（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于E，垂足為D．若ED=5A．7 B．8 C．10 D．12【變式5-2】如圖，在△ABC中，BC＝10cm，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D、交AC于點(diǎn)E，△BCE的周長等于22cm．（1）證明：BE+EC＝AC；（2）求AC的長．題型題型六線段垂直平分線的判定【例6】下面是作線段AB的垂直平分線的尺規(guī)作圖方法．如圖所示，分別以點(diǎn)A,B為圓心，大于12AB的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C和這樣作的理由是（

）①等腰三角形的三線合一②線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等③兩點(diǎn)確定一條直線④到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上A．① B．②③ C．③④ D．④【變式11-2】如圖，已知：AC=AD,（1）AB平分∠CBD（2）CD垂直平分AB（3）AB與CD互相垂直平分

（4）CD平分∠A．一個 B．兩個 C．三個 D．四個【變式11-3】如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線分別交AB，BC于點(diǎn)M，D，邊AC的垂直平分線分別交AC，BC于點(diǎn)N，E，(1)若BC=12，求△(2)試判斷點(diǎn)O是否在BC的垂直平分線上，并說明理由．題型題型七利用線段的垂直平分線解決實(shí)際問題【例7】【變式11-1】如圖所示，現(xiàn)要在一塊三角形草坪上建一涼亭供大家休息，使涼亭到草坪三個頂點(diǎn)的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（

）A．△ABC三條角平分線的交點(diǎn) B．△C．△ABC三條中線的交點(diǎn) D．△【變式7-1】如圖，物業(yè)公司計劃在小區(qū)內(nèi)修建一個電動車充電樁，要求到A，B，C三個出口的距離都相等，則充電樁應(yīng)建在（）A．△ABC的三條高的交點(diǎn)處 B．△ABC的三條角平分線的交點(diǎn)處 C．△ABC的三條中線的交點(diǎn)處 D．△ABC的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處【變式7-2】某公園的A，B，C處分別有海盜船、摩天輪、旋轉(zhuǎn)木馬三個娛樂項(xiàng)目，現(xiàn)要在公園內(nèi)一個售票中心，使三個娛樂項(xiàng)目所處位置到售票中心的距離相等，則售票中心應(yīng)建立在（）A．△ABC三邊高線的交點(diǎn)處 B．△ABC三角角平分線的交點(diǎn)處 C．△ABC三邊中線的交點(diǎn)處 D．△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)處題型題型十五尺規(guī)作圖（作線段的垂直平分線）【例8】下列尺規(guī)作圖分別表示：①作一個角的平分線；②作一個角等于已知角；③作一條線段的垂直平分線．其中作法正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【變式8-1】如圖，在三角形ABC中，分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于12AB長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線MN交AB于點(diǎn)O，連接COA．AO＝BO B．MN⊥AB C．AN＝BN D．AB＝2CO【變式8-2】（24-25八年級上·貴州遵義·期中）如圖：(1)用尺規(guī)作圖，在圖中作出Rt△ABC邊BC垂直平分線EF，交BC于點(diǎn)F，AB于點(diǎn)(2)在（1）的條件下，若∠B=25°，求【變式8-3】如圖，△ABC(1)請?jiān)趫D中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD；((2)在（1）的條件下，若△ADC的周長為10，AB=7，則題型題型九角平分線的性質(zhì)求線段長【例9】如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是△ABC的角平分線，若AC＝9，CD＝6，則點(diǎn)D到BC的距離是（）?A．2 B．4 C．3 D．6【變式9-1】如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，ED＝3，BC＝8，則BD的長為（）A．3 B．5 C．8 D．10【變式9-2】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝7，CD=37AC，BD平分∠ABC，則點(diǎn)A．2 B．3 C．4 D．7【變式9-3】（2025·湖南長沙·一模）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，G是BC中點(diǎn)，連接DG，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC交(1)求證：DG⊥(2)若AB=5,?AC題型題型十角平分線的性質(zhì)求面積【例10】如圖，射線OC是∠AOB角平分線，D是OC射線上一點(diǎn)，DP⊥OA于點(diǎn)P，DP＝4，若點(diǎn)Q是射線OB上一點(diǎn)，OQ＝3，則△ODQ的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式10-1】如圖，在△ABC中，BD是△ABC的角平分線，DE⊥BC于點(diǎn)E．若AB＝4，DE＝2，則△ABD的面積為．【變式10-2】如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，已知，BC＝8，DE＝2，則△BCE的面積等于．【變式10-3】如圖，△ABC中，AD是∠A的角平分線，BE是△ABD邊AD上的中線，若△ABC的面積是24，AB＝5，AC＝3，則△ABE的面積是．題型題型十一角平分線性質(zhì)求最值【例11】如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA，點(diǎn)D是OB上的動點(diǎn)，若PC＝3，則PD的長的最小值為．【變式11-1】如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P是射線OC上一點(diǎn)，PM⊥OB于點(diǎn)M，點(diǎn)N是射線OA上的一個動點(diǎn)．若PM＝4，則PN的長度不可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式11-2】如圖，點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上，點(diǎn)P到OA邊的距離等于5，點(diǎn)Q是OB邊上的任意一點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是（）A．PQ≤5 B．PQ≥5 C．PQ＜5 D．PQ＞5題型題型十二角平分線性質(zhì)的證明【例12】如圖，已知BD為∠ABC的平分線，AB＝BC，點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求證：PM＝PN．【變式12-1】如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，點(diǎn)E，D分別為垂足，CF＝CB．求證：BE＝FD．【變式6-2】如圖，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，BE，CF相交于點(diǎn)D，若BD＝CD．求證：AD平分∠BAC．題型題型十三角平分線的判定【例13】如圖，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA=PB，∠MON=50°，∠OPC=30°，則∠PCA=．【變式13-1】如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF求證：AD平分∠BAC．【變式13-2】如圖，△AOB中，點(diǎn)C為∠AOB的角平分線與外角∠DAB的角平分線的交點(diǎn)，連接CB．求證：BC平分外角∠ABE．題型題型十四角平分線性質(zhì)與判定的綜合【例14】（2025·北京門頭溝·二模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，點(diǎn)F在AC上，點(diǎn)G在AB上，①DC=DE；②GD平分∠FGE；③∠CABA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式14-1】如圖，CD⊥OM,CE⊥ON，垂足分別為D,【變式14-2】如圖，過△ABC的邊AC的垂直平分線MN上的點(diǎn)M，作△ABC的另外兩邊AB，BC所在直線的垂線，垂足分別為D，E，AD=CE，作射線BM；求證：題型題型十五利用等腰三角形的性質(zhì)求角度【例15】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，則∠ADB＝（）A．100° B．115° C．130° D．145°【變式15-1】（25-26八年級上·全國·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD,A．36° B．72° C．108° D．144°【變式15-1】如圖，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P的線段MN分別交AB，BC于點(diǎn)M，N，且M，N分別在PA，PC的垂直平分線上．若∠APC=143°A．74° B．106° C．126° D．132°【變式15-2】（24-25八年級上·貴州遵義·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，在AB延長線上取一點(diǎn)D，在BC延長線上取一點(diǎn)E，使BD=BE，連接DE，延長AC交DE于點(diǎn)F，若CEA．24° B．30° C．36° D．45°題型題型十六利用等腰三角形的性質(zhì)求線段長【例16】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，DE＝5cm，則BF＝（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【變式16-1】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝12，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，BD＝4，則AE等于（）A．4 B．6 C．8 D．10【變式16-2】（24-25八年級上·浙江臺州·期末）如圖，△ABC中，AC=BC，BE⊥AC，E為垂足，點(diǎn)D在BC上，且AB=AD，若CE題型題型十七等腰三角形性質(zhì)的證明【例17】已知，如圖，AB=AE，∠B=∠E，BC【變式17-1】如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，過點(diǎn)A分別作AD⊥BD、AE⊥CE，且AE＝AD．求證：∠EAB＝∠DAC．【變式17-2】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，E為邊BC上的點(diǎn)，且AB=AE，D為線段BE的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AE，過點(diǎn)A(1)求證：∠C(2)求證：AC=題型題型十八等腰三角形的判定【例18】下列對△ABC的判斷，錯誤的是（）A．若AB＝AC，∠B＝60°，則△ABC是等邊三角形 B．若∠A：∠B：∠C＝3：4：7，則△ABC是直角三角形 C．若∠A＝20°，∠B＝80°，則△ABC是等腰三角形 D．若AB＝BC，∠C＝40°，則∠B＝40°【變式18-1】【變式18-2】如圖，點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是BP延長線上一點(diǎn)，∠ABP=∠ACD求證：△APD題型題型十九等腰三角形性質(zhì)與判定的綜合【例19】（25-26八年級上·浙江·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E、F分別在BC、AB、AC邊上，且BE(1)求證：△DEF(2)當(dāng)∠A=50°時，求【變式19-1】【變式19-2】如圖，AD是△ABC的角平分線，CE∥AD，與BA的延長線相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AD的延長線上，且FC＝AC．求證：（1）△ACE是等腰三角形；（2）AB∥CF．題型題型二十等邊三角形的性質(zhì)的計算【例20】正三角形ABC中，BD=CE，AD與BE交于點(diǎn)P，∠APEA．45° B．60° C．55° D．75°【變式20-1】（2025八年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，在等邊△ABC中，D是CB邊上一點(diǎn)，以AD為邊向右側(cè)構(gòu)造等邊△ADE，連結(jié)CE，則∠BCEA．120° B．130° C．140° D．150°【變式20-2】（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在BC的延長線上，點(diǎn)E在線段AD上，∠DAC=2∠DBE，BE與AC交于點(diǎn)F，若CF=1，DE題型題型二十一等邊三角形的判定【例21】下列對△ABC的判斷，錯誤的是（）A．若AB＝AC，∠B＝60°，則△ABC是等邊三角形 B．若∠A：∠B：∠C＝3：4：7，則△ABC是直角三角形 C．若∠A＝20°，∠B＝80°，則△ABC是等腰三角形 D．若AB＝BC，∠C＝40°，則∠B＝40°【變式21-1】【變式21-2】如圖，點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是BP延長線上一點(diǎn)，∠ABP=∠ACD求證：△APD題型題型二十二30°角所對的直角邊等于斜邊的一半【例22】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1.5，則AD的長為（）A．1.5 B．2 C．3 D．4【變式22-1】如圖，在等邊△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，且CE＝3，則AB的長為（）A．16 B．12 C．9 D．10【變式22-1】如圖，△ABC中，AB＝AC．∠BAC＝120°，AC的垂直平分線交BC于D．交AC于E，DE＝2．求BD的長．【變式22-2】如圖，在△ABC中，AB=AC=12cm(1)求∠BCD(2)求△ABC題型題型二十三等邊三角形的性質(zhì)與判定的綜合【例23】(1)求證：DE平分∠BDC(2)若點(diǎn)M在DE上，且DC=DM，求證：【變式23-1】如圖1，等邊△ABC與等邊△ECD的頂點(diǎn)B，C，D三點(diǎn)在一條直線上，連接AD，BE(1)求∠BFD(2)如圖2，連接FC，①求證：FB是∠AFC②若AF=4，CF=2，求【變式23-2】如圖，在△ABC中，∠BAC為銳角．點(diǎn)D為射線BC上一動點(diǎn)，以AD為邊且在AD的右側(cè)作等邊三角形(1)如果AB=①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時，如圖1，線段CE、BD的數(shù)量關(guān)系為，∠BCE=②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，如圖2，①中的結(jié)論是否仍然成立，請說明理由．如圖3，如果AB≠AC，∠BAC<60°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動．當(dāng)題型題型二十四等腰三角形與動點(diǎn)運(yùn)動問題【例24】如圖，已知等邊△ABC的邊長為6cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動，運(yùn)動時間為tS，已知點(diǎn)M的速度1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s，當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時，M、N同時停止運(yùn)動．?（1）當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時，點(diǎn)M的位置在；當(dāng)M、N運(yùn)動秒時，點(diǎn)N追上點(diǎn)M；（2）當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動時，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？如存在，請求出此時M、N運(yùn)動的時間．【變式24-1】在邊長為9的等邊三角形ABC中，點(diǎn)Q是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)P是AB上一動點(diǎn)，以每秒1個單位的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B移動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．（1）如圖1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；（2）如圖2，若點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，同時點(diǎn)Q以每秒2個單位的速度從點(diǎn)B經(jīng)點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動，當(dāng)t為何值時，△APQ為等邊三角形？【變式24-2】如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，AC=10cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動，且速度為每秒(1)BP=（用t(2)當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動時，出發(fā)秒后，△PQB(3)當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動時，出發(fā)幾秒后，△BCQ是以BC或BQ基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測1．左邊圖形與右邊圖形成軸對稱的是（

）A．B． C． D．2．如圖，已知△ABC（AB＜BC），用尺規(guī)作圖在線段BC上確定一點(diǎn)P，使得PA+PC＝BC，則下列作法正確的是（）A． B． C． D．3．如圖，已知線段AB與線段A'B'關(guān)于直線l成軸對稱，連接A