2025考研專業(yè)課《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項選擇題（請將正確選項前的字母填在答題紙上。每小題2分，共10分。）1.設(shè)事件A與B互斥，且P(A)>0,P(B)>0，則下列結(jié)論正確的是（）。（A）P(A|B)=P(A)（B）P(A|B)=0（C）P(A∪B)=P(A)+P(B)（D）P(B|A)=P(B)2.已知隨機變量X的分布律為P(X=k)=C(k+1)/20，k=1,2,3，則常數(shù)C等于（）。（A）3（B）4（C）5（D）63.設(shè)隨機變量X～N(μ,σ2)，Y=1/(σ√(2π))*∫_μ^xe^(-(t-μ)2/(2σ2))dt，則Y的分布函數(shù)F(y)在y=0處的值為（）。（A）0（B）1/2（C）1/e（D）1-1/e4.設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，且X～N(0,1)，Y～N(1,2)，則隨機變量Z=2X-Y的均值E(Z)和方差D(Z)分別為（）。（A）-1,6（B）-1,5（C）1,6（D）1,55.從均值為λ（λ>0）的泊松分布總體中抽取容量為2的簡單隨機樣本X?，X?，則樣本方差S2的期望E(S2)等于（）。（A）λ（B）λ/2（C）2λ（D）λ2二、填空題（請將答案填在答題紙上。每小題3分，共15分。）6.設(shè)A,B,C為三個事件，若A∪B=A∪C，且A∩B?A∩C，則P(B-C)=__________。7.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)={c(x-1),0<x<2;0,其他}，則常數(shù)c=__________。8.設(shè)隨機變量X～N(μ,4)，Y～N(μ,9)，且X與Y相互獨立，記U=X+Y，V=X-Y，則協(xié)方差Cov(U,V)=__________。9.設(shè)總體X～N(μ,σ2)，X?,X?,…,Xn為樣本，樣本均值為X?，樣本方差S2，則統(tǒng)計量T=(n-1)S2/σ2服從______分布，自由度為______。10.從總體中抽取樣本容量為n的樣本，若用樣本均值X?和樣本方差S2分別估計總體的期望μ和方差σ2，則X?是μ的______估計量，S2是σ2的______估計量。三、計算題（請寫出詳細計算過程。每小題5分，共20分。）11.一批產(chǎn)品共10件，其中有3件次品。現(xiàn)從中不放回地抽取3件，求抽到的次品件數(shù)X的分布律。12.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)={1/π(1+x2),-∞<x<∞;0,其他}，求隨機變量Y=1/X的密度函數(shù)f_Y(y)。13.設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)={c(x+y),0<x<1,0<y<x;0,其他}，求常數(shù)c及邊緣密度函數(shù)f_X(x)。14.從正態(tài)總體N(10,4)中抽取容量為9的樣本，樣本均值為X?。求X?大于9.5的概率。四、綜合應(yīng)用題（請寫出詳細解答過程。每小題10分，共30分。）15.甲乙兩人約定在下午1點至2點之間在某地會面，先到者等待另一人15分鐘，過時就離開。假設(shè)兩人在下午1點至2點之間（60分鐘內(nèi)）的任一時刻到達是等可能的，求兩人能會面的概率。16.設(shè)總體X～N(μ,σ2)，其中μ未知，σ2已知。樣本容量為n，樣本均值為X?。記θ=μ-1，欲用X?對θ進行估計。（1）求θ的無偏估計量；（2）求該估計量的方差。17.從總體中抽取樣本容量為n的樣本X?,X?,…,Xn，總體均值記為μ，總體方差記為σ2（σ2>0）。考慮統(tǒng)計量T=(X?-a)/(S/√n)，其中a為已知常數(shù)，X?為樣本均值，S為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。（1）當(dāng)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)時，證明T服從t分布，并指出其自由度；（2）當(dāng)總體分布未知，但n足夠大時，說明T近似服從什么分布，并指出其理由。試卷答案一、單項選擇題1.B2.C3.B4.A5.A二、填空題6.P(A∩B^C)7.1/38.-59.χ2;n-110.無偏；一致三、計算題11.解：次品件數(shù)X可能取值為0,1,2,3。P(X=0)=C(7,3)/C(10,3)=35/120=7/24。P(X=1)=C(7,2)C(3,1)/C(10,3)=21/120=7/40。P(X=2)=C(7,1)C(3,2)/C(10,3)=21/120=7/40。P(X=3)=C(3,3)/C(10,3)=1/120?；?qū)懗煞植悸桑篨0123P7/247/407/401/12012.解：y=g(x)=1/x，x=h(y)=1/y，h'(y)=-1/y2。f_Y(y)=f_X(h(y))|h'(y)|=f_X(1/y)*|(-1/y2)|=|1/(π(1+(1/y)2))|*|(-1/y2)|=1/(π(y2+1))*1/y2=1/(π(y2+1))，y∈(-∞,∞)。即f_Y(y)={1/(π(y2+1)),y∈(-∞,∞);0,其他}。13.解：由∫_0^1∫_0^xc(x+y)dydx=1，得c∫_0^1[xy+y2/2]_0^xdx=c∫_0^1(x2+x3/2)dx=c[x3/3+x?/8]_0^1=c(1/3+1/8)=c(11/24)=1，故c=24/11。f_X(x)=∫_0^x(24/11)(x+y)dy=(24/11)[xy+y2/2]_0^x=(24/11)(x2+x3/2)=(12/11)x(2+x)，0<x<1。即f_X(x)={(12/11)x(2+x),0<x<1;0,其他}。14.解：X?~N(μ,σ2/n)=N(10,4/9)。P(X?>9.5)=P((X?-10)/(2/3)>(9.5-10)/(2/3))=P(Z>-1.5)=1-P(Z≤-1.5)=1-0.067=0.933。（或查表得0.9332）四、綜合應(yīng)用題15.解：設(shè)甲到達時間為x，乙到達時間為y，x,y∈[0,60]。會面的條件是|x-y|≤15。這是一個幾何概型問題，樣本空間Ω的面積為60*60=3600。會面區(qū)域A由|x-y|≤15表示，即y-15≤x≤y+15。在xy平面上，該區(qū)域由四條直線x=y-15,x=y+15,x=0,x=60圍成。該區(qū)域面積為60*60-2*(60-15)*(60-15)=3600-2*45*45=3600-4050=-450。這顯然不對，重新分析。會面區(qū)域A是夾在x=y-15和x=y+15之間的帶狀區(qū)域，在樣本空間內(nèi)。其邊界與x=0,x=60的交點分別為(0,15),(0,-15)（舍去），(45,60),(60,45)。面積為矩形面積-兩個三角形面積=60*60-2*(1/2)*45*45=3600-2*2025=3600-4050=-450。仍然錯誤。正確的會面區(qū)域是兩條平行線x=y-15和x=y+15在正方形[0,60]×[0,60]內(nèi)的部分。其面積為2*(1/2)*45*45=2025。故所求概率P=面積A/面積Ω=2025/3600=45/80=9/16。16.解：（1）θ=μ-1。欲用X?估計θ，令μ?=X?，則θ?=μ?-1=X?-1。E(θ?)=E(X?-1)=E(X?)-1=μ-1=θ。故θ?是θ的無偏估計量。（2）Var(θ?)=Var(X?-1)=Var(X?)=σ2/n。（因為常數(shù)1的方差為0）即該估計量的方差為σ2/n。17.解：（1）當(dāng)X～N(μ,σ2)時，X?～N(μ,σ2/n)，且S2是σ2的無偏估計量。T=(X?-a)/(S/√n)=[(X?-μ)+(μ-a)]/(S/√n)=(X?-μ)/(S/√n)+[(μ-a)/(S/√n)]。由于X?-μ～N(0,σ2/n)，故(X?-μ)/(σ/√n)～N(0,1)。又T=(X?-μ)/(S/√n)=(X?-μ)/(√[(n-1)S2/(n-1)])～t(n-1)。（由抽樣分布定理）而(μ-a)/(S/√n)是一個隨機變量除以一個隨機變量（S/√n），其分布一般不是t分布。但若將T寫為T=(X?-μ)/(S/√n)+(μ-a)/(S/√n)，其中第一項服從t(n-1)分布，第二項不服從t分布。因此，此形式不能說明T整體服從t分布。題目可能設(shè)問有誤。如果題目意圖是考察T的第一項，則T的第一項服從t(n-1)分布，自由度為n-1。如果題目意圖是考察T的形式，則不能直接斷言T服從t分布。（2）當(dāng)總體分