TOC\o"1-5"\h\z\u第四章極點(diǎn)極線篇 31二次曲線的切線 3直線的一般式與二次曲線相切的充要條件和等效判別式 3切線斜率已知的二次曲線的切線方程 4處理切線的兩個(gè)常用套路 7切線：y＝ex＋a 9二次曲線的替換法則 11點(diǎn)在二次曲線上的切線方程 11點(diǎn)在二次曲線外的切線方程 16雙切線方程 162切點(diǎn)弦方程 20預(yù)備知識(shí)：直線的同一法 20二次曲線的切點(diǎn)弦方程 20切點(diǎn)弦vs中點(diǎn)點(diǎn)差法 26過(guò)焦點(diǎn)的切點(diǎn)弦 283極點(diǎn)極線vs切線 28極點(diǎn)極線的定義 28極點(diǎn)極線和調(diào)和分割 30調(diào)和分割與調(diào)和點(diǎn)列 324極點(diǎn)極線vs相交弦 34極點(diǎn)極線的綜合模型——自極三角形 34自極三角形的應(yīng)用舉例 35一般情況的代數(shù)證明 35特殊的相交弦：頂點(diǎn)和軸上點(diǎn)組合 415極點(diǎn)極線的常見(jiàn)模型 45等角定理的特殊化模型 46橢圓和雙曲線 46拋物線 54等角模型的拓展 57等角定理的一般情況 58共軛點(diǎn)的等分點(diǎn)模型 62斜率等差模型 65模型一 65模型二 70斜率比值模型 71焦準(zhǔn)距的平方和共圓模型 76橢圓的平行弦模型 84蝴蝶定理初步 92

第四章極點(diǎn)極線篇1二次曲線的切線直線的一般式與二次曲線相切的充要條件和等效判別式1.直線(其中A、B不同時(shí)為零)與二次曲線相切的充要條件：(1)

直線與橢圓相切的充要條件是：．(2)

直線與圓相切的充要條件是：．【】(3)

直線與雙曲線相切的充要條件是：，且.【除去漸近線！】注：若是，則相切的充要條件是：，且．(4)

直線與拋物線相切的充要條件是：.拓展直線與有心曲線相切的充要條件是：有心曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)到直線的距離之積滿(mǎn)足．具體證明與應(yīng)用見(jiàn)附件《直線與圓錐曲線位置關(guān)系判定的再探究》《直線與圓錐曲線相切的充要條件》例已知橢圓與直線相切，且離心率，求此橢圓方程．解，又，易得橢圓方程為．例已知與為橢圓上的兩個(gè)定點(diǎn)，P是橢圓上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，求△APB的面積的最大值．解點(diǎn)必須在平行于的橢圓在第一象限的切線上，利用上述公式，，利用直線，例(2009湖北理)已知雙曲線的準(zhǔn)線過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，則直線與橢圓至多有一個(gè)交點(diǎn)的充要條件是()．A． B． C． D．解易得，然后利用等效判別式，易求得A．例(2012廣東文)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左焦點(diǎn)，且點(diǎn)在上．(1)

求的方程；(2)

設(shè)直線l同時(shí)與橢圓和拋物線相切，求直線l的方程．解(1)

；(2)

易知直線l的斜率必定存在且不為0，因此，設(shè)直線l為，直線l與聯(lián)立：，由可得：…①；直線l與聯(lián)立：，由可得：…②；由①②解得：或，因此，直線l的方程為或．切線斜率已知的二次曲線的切線方程已知切線斜率為k的二次曲線的切線方程？切線有兩條??！根據(jù)二次曲線的形式不同，有四種情況，具體分別如下：(1)

①切線斜率為k與圓相切的切線方程為：；②切線斜率為k與圓相切的切線方程為：．(1)①切線斜率為k與橢圓相切的切線方程為：；②切線斜率為k與橢圓相切的切線方程為：．(1)①切線斜率為k與雙曲線相切的切線方程為：，；②切線斜率為k與雙曲線相切的切線方程為：，．(1)①切線斜率為k與拋物線相切的切線方程為：；②切線斜率為k與拋物線相切的切線方程為：．例(2014浙江理)如圖，設(shè)橢圓，動(dòng)直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且點(diǎn)P在第一象限．(1)

已知直線l的斜率為k，用a、b、k表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)

若過(guò)原點(diǎn)O的直線l1與l垂直，證明：點(diǎn)P到直線l1的距離的最大值為．解(1)

法一設(shè)點(diǎn)，則直線l為：，與橢圓聯(lián)立： 【計(jì)算量不?。　恐本€l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)，故，即，即，進(jìn)而，，因此，點(diǎn)P的坐標(biāo)是．法二設(shè)直線l的方程為，與橢圓聯(lián)立：，直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)，故，即，進(jìn)而解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，又點(diǎn)P在第一象限，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為．注此題的答案如果借助結(jié)論的話(huà)：利用即可解得！但是作為解答題，如何正確且簡(jiǎn)便的書(shū)寫(xiě)？是個(gè)難點(diǎn)！比如，多數(shù)同學(xué)在考場(chǎng)上很可能是會(huì)走法一的路子，因?yàn)榍蟮淖鴺?biāo)，所以先把坐標(biāo)設(shè)出來(lái)，但是法一的那個(gè)聯(lián)立方程，計(jì)算量不小的，雖然可以利用等效判別式計(jì)算，但是那個(gè)方程聯(lián)立是避免不了的！相對(duì)于法一，法二的計(jì)算量就平和多了，因此，對(duì)于直線和橢圓（或雙曲線）相切的問(wèn)題，要積累這個(gè)書(shū)寫(xiě)套路??！(2)

由于直線過(guò)原點(diǎn)O且與l垂直，故直線的方程為，所以點(diǎn)P到直線的距離，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，因此，點(diǎn)P到直線的距離的最大值為．例(2013山東理壓軸)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，離心率為，過(guò)且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1．(1)

求橢圓C的方程；(2)

點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接．設(shè)的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)，求m的取值范圍；(3)

在(2)的條件下，過(guò)點(diǎn)P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．設(shè)直線的斜率分別為．若，試證明為定值，并求出這個(gè)定值．分析此題總的來(lái)說(shuō)，答案易得，難度不大，唯一的難點(diǎn)就是答題步驟的規(guī)范書(shū)寫(xiě)！第(2)小問(wèn)，設(shè)，利用結(jié)論易知點(diǎn)M的坐標(biāo)為，可以借助正弦定理規(guī)范書(shū)寫(xiě)；第(3)小問(wèn)，點(diǎn)P處切線斜率的求解，可以利用替換法則：，或者利用中點(diǎn)點(diǎn)差法的極限形式：，即，即．但是，如果要規(guī)范書(shū)寫(xiě)的話(huà)，就相對(duì)麻煩一些，不過(guò)，可以借助等效判別式進(jìn)行簡(jiǎn)化運(yùn)算： ．解(1)

由題意可得：，，解得，，橢圓C的方程為．(2)

在、中，利用正弦定理可得： ，即，設(shè)，則，同理可得：，故，解得，由于，故．(3)

設(shè)直線l為，與橢圓聯(lián)立： ，令，整理可得：，又，故，解得，又，，故．處理切線的兩個(gè)常用套路例(2012福建理)如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，離心率．過(guò)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為8．(1)

求橢圓E的方程．(2)

設(shè)動(dòng)直線與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線相交于點(diǎn)Q．試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．解(1)

；(2)

法一特殊值引路，先猜后證法直線l與橢圓聯(lián)立：，由于直線l與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則，且，即，故，即．易知點(diǎn)，假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿(mǎn)足條件，由圖形對(duì)稱(chēng)性知，點(diǎn)M必在x軸上，取，，此時(shí)，，以PQ為直徑的圓為，并且交x軸于點(diǎn)、；取，，此時(shí)，，以PQ為直徑的圓為，并且交x軸于點(diǎn)、；因此，若符合條件的點(diǎn)M存在，則M的坐標(biāo)必為．接下來(lái)證明就是滿(mǎn)足條件的點(diǎn)：由于，則，即MP⊥MQ，因此，存在定點(diǎn)，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M．法二正面求解，注意點(diǎn)的設(shè)法！前面同法一，得到點(diǎn)，點(diǎn)，假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿(mǎn)足條件，由圖形對(duì)稱(chēng)性知，點(diǎn)M必在x軸上，不妨設(shè)，則，整理得：，若使得此式對(duì)任意m、k都成立，則須，解得，因此，存在定點(diǎn)，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M．法三利用替換法則快速定位橢圓的切線方程由題意知，直線l的斜率存在，因此，設(shè)，直線l為，與橢圓聯(lián)立：……，由，……，可得，即直線l為：，令，可得點(diǎn)，假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿(mǎn)足條件，由圖形對(duì)稱(chēng)性知，點(diǎn)M必在x軸上，不妨設(shè)，則，整理得：，故．注上面三種方法，實(shí)際上給出了此類(lèi)相切問(wèn)題的兩個(gè)常用套路：①切點(diǎn)；【以求切點(diǎn)為目標(biāo)】②；【以求斜率為目標(biāo)】如果對(duì)此套路熟悉的話(huà)，顯然就沒(méi)有必要先猜后證了，直接用法二就可以了！此外，對(duì)于法三，后續(xù)的計(jì)算是很簡(jiǎn)潔的，但是“…”的過(guò)程往往會(huì)相對(duì)很繁瑣，計(jì)算量很大，但是，此法也有一個(gè)好處，就是化簡(jiǎn)的答案已事先知道，可以及時(shí)驗(yàn)證，避免計(jì)算錯(cuò)誤??！背景例(2006全國(guó)卷Ⅰ理)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一個(gè)以和為焦點(diǎn)、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線與x、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，且向量．求：(1)

點(diǎn)M的軌跡方程；(2)

的最小值．解(1)

易得，即，；(2)

設(shè)，由于點(diǎn)P在第一象限，故，，因此，切線AB的方程為：，進(jìn)而可得點(diǎn)，．設(shè)，由可得：，，代入，可得點(diǎn)M的軌跡方程為．【軌跡學(xué)名叫“圓橢”！！】(2)

，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為3．注點(diǎn)M的軌跡學(xué)名叫“圓橢”，也可以設(shè)切線為，利用套路求解．切線：y＝ex＋a配圖例(2005湖南文壓軸、理)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，離心率為e．直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，P是點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，設(shè)．(1)

證明：；(2)(文)若，的周長(zhǎng)為6，寫(xiě)出橢圓C的方程；(3)

確定的值，使得是等腰三角形．解(1)

法一利用已知條件“M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)”，再結(jié)合所問(wèn)，能猜到直線l和橢圓C是相切的，因此，直接聯(lián)立解方程不會(huì)太麻煩！易得，，直線l與橢圓C聯(lián)立，可解得，其中，由于，，代入可得：．法二向量坐標(biāo)化，然后利用坐標(biāo)代入法易得，，結(jié)合，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)為，然后代入橢圓C：，即，即，解得，故得證．(2)(文)當(dāng)時(shí)，，由的周長(zhǎng)為6，得，解得，，，因此，橢圓C為．(3)

法一因?yàn)?，所以為鈍角，要使為等腰三角形，必有，即，亦即點(diǎn)到直線l的距離為c，故，即，解得，即，是等腰三角形．法二利用對(duì)稱(chēng)點(diǎn)公式暴力求解先把直線l寫(xiě)成：，故，代入可得：，兩邊同時(shí)除以，化簡(jiǎn)得，解得．例(2012安徽理)如圖，、分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓C的上半部分于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交直線于點(diǎn)Q．(1)

如果點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；求此時(shí)橢圓C的方程；(2)

證明：直線PQ與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn)．解(1)

，則，易得，設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)M，則，由題意易得，即，即，解得，，，故橢圓C的方程為．(2)

，設(shè)，則，解得，即點(diǎn)Q為，故，直線PQ的方程為：，即為．直線PQ和橢圓C聯(lián)立：，解得，，因此，直線PQ與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn)P．注①對(duì)于第(1)小問(wèn)，由于圖形中含有多個(gè)直角三角形，因此，可以?xún)?yōu)先嘗試使用平幾性質(zhì)，簡(jiǎn)化解析運(yùn)算！?、趯?duì)于第(2)小問(wèn)，實(shí)際上也是常見(jiàn)結(jié)論：直線和橢圓相切，其余性質(zhì)，可以參考本題的條件說(shuō)明．二次曲線的替換法則對(duì)于一般的二次曲線，用代，用代，用代xy，用代x，用代y，即得方程：．曲線的切線，切點(diǎn)弦，中點(diǎn)弦，弦中點(diǎn)方程均可由此方程得到！點(diǎn)在二次曲線上的切線方程已知點(diǎn)在二次曲線上，求過(guò)點(diǎn)的切線方程？切線是一條！根據(jù)二次曲線的形式不同，有四種情況，具體分別如下：①圓上一點(diǎn)處的切線方程是：；②圓上一點(diǎn)處的切線方程是：；③圓上一點(diǎn)處的切線方程是：．橢圓上一點(diǎn)處的切線方程是：.雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程是：.拋物線上一點(diǎn)處的切線方程是．相關(guān)拓展：以下兩種情況和上述情況所得出的直線方程是完全一樣的??！已知點(diǎn)在二次曲線外，過(guò)點(diǎn)作二次曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別是，求出切點(diǎn)弦所在的直線方程？【極線定理！為極點(diǎn)，為極線，兩者是一對(duì)！】已知點(diǎn)在二次曲線內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作一條直線交二次曲線于兩點(diǎn)，再以?xún)牲c(diǎn)為切點(diǎn)，作出兩條切線和，為兩條切線和的交點(diǎn)；類(lèi)似地，過(guò)點(diǎn)再作一條直線交二次曲線于兩點(diǎn)，再以?xún)牲c(diǎn)為切點(diǎn)，作出兩條切線和，為兩條切線和的交點(diǎn)；求出直線的方程？?jī)傻李}：例(2011江西理壓軸)若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為A、B，直線AB恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓方程是．解利用替換法則，易得直線AB為：，故，，橢圓方程是．例(1)

如圖所示，內(nèi)外兩個(gè)橢圓的離心率相同，從外層橢圓頂點(diǎn)向內(nèi)層橢圓引切線AC、BD，設(shè)內(nèi)層橢圓方程為，若直線AC與BD的斜率之積為，則橢圓的離心率為()．A． B． C． D．(2)

如圖，已知A、B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線l∥AB，l與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)，直線CE、DF為橢圓的切線，則CE與DF的斜率之積等于()．A． B． C． D．解(1)

法一選C；不妨特殊化，設(shè)切線BD關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)切線為BE，令切線AC和BE恰好重合為切線AB，則，即．法二設(shè)，，外層橢圓為，則，．橢圓在點(diǎn)C處的切線為：，代入，可得，；橢圓在點(diǎn)D處的切線為：，代入，可得，；因此，，即．法三設(shè)直線AC為：，利用等效判別式：，解得；同理可得：，因此，．(2)

選C；不妨在第一象限，令CD與該橢圓相切于點(diǎn)H，則切點(diǎn)F與H關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，切點(diǎn)E與H關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，此時(shí)有．例(2013安徽文壓軸)已知橢圓的焦距為4，且過(guò)點(diǎn)．(1)

求橢圓C的方程；(2)

設(shè)為橢圓C上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線，垂足為E．取點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)A作AE的垂線交x軸于點(diǎn)D．點(diǎn)G是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，作直線QG，問(wèn)這樣作出的直線QG是否與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn)？并說(shuō)明理由．解(1)

；(2)

這題雖然是壓軸題，但是，實(shí)際上是送分題，直接把條件照著翻譯一下即可．易知，，直線AD為，令，可得點(diǎn)，進(jìn)而可得點(diǎn)，故直線QG為：，即，又，故，即為（顯然是點(diǎn)Q處的切線！），將代入橢圓：，化簡(jiǎn)得：，解得，則，故直線QG與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn)．注將代入橢圓：，如果選擇驗(yàn)證，顯然，計(jì)算量會(huì)大很多的！例(2009安徽理)點(diǎn)在橢圓上，，，直線與直線垂直，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP的傾斜角為，直線的傾斜角為．(1)

證明：點(diǎn)P是橢圓與直線的唯一交點(diǎn)；(2)

證明：、、構(gòu)成等比數(shù)列．分析本題的難點(diǎn)是第(1)問(wèn)，估計(jì)多數(shù)學(xué)生會(huì)用“”去證明，即使利用等效判別式，計(jì)算量也會(huì)很感人，因此，不能死記公式，要根據(jù)題目靈活分析，選擇合適的解法．證明(1)

法一由得，代入橢圓可得： 將代入上式：，解得，因此，方程組有唯一解，即直線與橢圓有唯一交點(diǎn)P．法二顯然P是橢圓與的交點(diǎn)，若Q是橢圓與的交點(diǎn)，代入的方程，得，即，由于，故，即P與Q重合．法三在第一象限內(nèi)，由可得：，，橢圓在點(diǎn)P處的切線斜率，切線方程為，即，因此，就是橢圓在點(diǎn)P處的切線，P也是橢圓與直線的唯一交點(diǎn)．(2)

由于，的斜率為，的斜率為，故，即、、構(gòu)成等比數(shù)列．例橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是、，離心率為，過(guò)且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1．(1)

求橢圓C的方程；(2)

點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸、短軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l，使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)l與y軸的交點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)P作與l垂直的直線m，設(shè)m與y軸的交點(diǎn)為B，求證：△PAB的外接圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．解(1)

；(2)

設(shè)P(x0，y0)(y0≠0)，則直線l的方程為y－y0＝k(x－x0)．聯(lián)立整理得(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(yeq\o\al(2,0)－2kx0y0＋k2xeq\o\al(2,0)－1)＝0．由題意Δ＝0，即(4－xeq\o\al(2,0))k2＋2x0y0k＋1－yeq\o\al(2,0)＝0．又，所以16yeq\o\al(2,0)k2＋8x0y0k＋xeq\o\al(2,0)＝0，故k＝－．所以直線l方程為，令x＝0，解得點(diǎn)A，又直線m方程為，令x＝0，解得點(diǎn)B，△PAB的外接圓方程為以AB為直徑的圓方程，即．整理得：，分別令解得圓過(guò)定點(diǎn)．點(diǎn)在二次曲線外的切線方程已知點(diǎn)在二次曲線外，求過(guò)點(diǎn)的切線方程？切線是兩條?。⊥ǚǎ涸O(shè)切線方程為，接著和二次曲線進(jìn)行方程聯(lián)立，然后利用，求出即可；若求得只有一值，則還應(yīng)該有一條斜率不存在的直線，此時(shí)應(yīng)補(bǔ)上！特殊地，對(duì)于圓，也可以利用圓心到直線之距等于半徑即，求出．雙切線方程橢圓設(shè)為橢圓外一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P作橢圓的兩條切線的方程為： ．雙曲線設(shè)為雙曲線外一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P作雙曲線的兩條切線的方程為： ．拋物線設(shè)為拋物線外一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P作拋物線的兩條切線的方程為： ．注以橢圓為例，記，，則橢圓的雙切線方程即為 ，可類(lèi)比中點(diǎn)弦、定比點(diǎn)差法的替換法則，實(shí)際上都是對(duì)橢圓的一般式方程進(jìn)行的替換和組合應(yīng)用！當(dāng)點(diǎn)無(wú)限接近橢圓時(shí)，則雙切線方程變?yōu)?，即橢圓上點(diǎn)的切線方程．證明此處以橢圓為例進(jìn)行證明，對(duì)于雙切線方程的證明，如果利用常規(guī)方法，即使借助等效判別式，也是很難證明的，此處利用直線的定比分點(diǎn)式方程，即構(gòu)造定比的二次方程進(jìn)行證明．過(guò)橢圓外一點(diǎn)作線段PQ，設(shè)，則分線段PQ所成的比為的點(diǎn)A的坐標(biāo)為，假設(shè)點(diǎn)A在橢圓上，代入橢圓方程，并整理得： ，如果線段PQ是橢圓的一條切線，則此方程的兩個(gè)根必然相等，令可得： ，此時(shí)，不妨令Q為切線上的動(dòng)點(diǎn)，即將上式中Q的坐標(biāo)改寫(xiě)為，即為： ，此即為點(diǎn)對(duì)橢圓的雙切線方程．注也可以從曲線系的角度進(jìn)行理解，把切點(diǎn)弦看成雙重合直線，則雙切線就是過(guò)該雙重合直線與橢圓公共點(diǎn)的相交雙直線，因此，橢圓的雙切線方程可以表示為： ，將雙切線交點(diǎn)代入上述方程，解出即可．例(2008聯(lián)賽一試改編)從拋物線上的點(diǎn)向圓引兩條切線分別與y軸交于B、C兩點(diǎn)，則△ABC的面積的最小值是．法一利用“雙切線模型＋韋達(dá)定理”，不過(guò)，有兩個(gè)構(gòu)造思路思路1設(shè)線法：過(guò)點(diǎn)A的與圓相切的直線方程為，利用相切構(gòu)造關(guān)于、的二次方程，最后化成關(guān)于的式子．思路2設(shè)點(diǎn)法：設(shè)，，利用直線AB、AC與圓相切，構(gòu)造關(guān)于b、c的二次方程，最后化成關(guān)于的式子．兩個(gè)思路相比，顯然，思路2要簡(jiǎn)單很多，有興趣的不妨一試，具體過(guò)程此處略．法二，其中D為直線AB和圓的切點(diǎn)．又，故，即．因此，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．法三將圓化為：，則點(diǎn)關(guān)于此圓的雙切線方程為： ，令可得：，注意到，故 ，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．注①通過(guò)此題我們也可以發(fā)現(xiàn)，和圓有關(guān)的題目，發(fā)現(xiàn)并利用好平幾性質(zhì)可以大大的簡(jiǎn)化運(yùn)算?。、趯?duì)于“”，可以利用“多項(xiàng)式的除法”，即“長(zhǎng)除法”進(jìn)行變形．練習(xí)已知圓心在x軸上的圓C過(guò)點(diǎn)和，圓D的方程為．(1)

求圓C的方程；(2)

由圓D上的動(dòng)點(diǎn)P向圓C作兩條切線分別交y軸于A、B兩點(diǎn)，求的取值范圍．解(1)

；(2)

法一設(shè)EQP\b\bc\((\l(x\S\DO(0),y\S\DO(0))),A(0,a),B(0,b),則直線PA方程為EQ\F(y－a,y\S\DO(0)－a)＝EQ\F(x,x\S\DO(0)),整理得：EQ\b\bc\((\l(y\S\DO(0)－a))x－x\S\DO(0)y＋ax\S\DO(0)＝0．∵直線PA與圓C相切，可得EQ\F(|a－y\S\DO(0)＋ax\S\DO(0)|,\R(,\b\bc\((\l(y\S\DO(0)－a))\S\UP6(2)＋x\S\DO(0)\S\UP6(2)))＝1，化簡(jiǎn)得EQ\b\bc\((\l(x\S\DO(0)＋2))a\S\UP6(2)－2y\S\DO(0)a－x\S\DO(0)＝0；同理可得PB方程EQ\b\bc\((\l(x\S\DO(0)＋2))b\S\UP6(2)－2y\S\DO(0)b－x\S\DO(0)＝0，因而a，b為EQ\b\bc\((\l(x\S\DO(0)＋2))x\S\UP6(2)－2y\S\DO(0)x－x\S\DO(0)＝0的兩根，∴丨AB丨＝|a－b|＝EQ\R(,(a＋b)\S\UP6(2)－4ab)\R(,\b\bc\((\l(\F(2y\S\DO(0),x\S\DO(0)＋2)))\S\UP6(2)＋\F(4x\S\DO(0),x\S\DO(0)＋2))＝EQ2\R(,2)﹒\R(,\F(5x\S\DO(0)－6,\b\bc\((\l(x\S\DO(0)＋2))\S\UP6(2))),令t＝EQx\S\DO(0)＋2∈[4,8],則|AB|＝EQ2\R(,2)﹒\R(,－\F(16,t\S\UP6(2))＋\F(5,t)),配方可求得EQ|AB|\S\DO(min)＝EQ\R(,2),|AB|\S\DO(max)＝EQ\F(5\R(,2),4)．故答案為：EQ\b\bc\[(\l(\R(,2),\F(5\R(,2),4)))．法二幾何法，和上題的法二實(shí)質(zhì)是一樣的，算兩次的思想．設(shè)，則 ，故，令，則．法三雙切線方程的作法此處略．例如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的直線分別交拋物線于A、B兩點(diǎn)，直線BO與過(guò)點(diǎn)A平行于x軸的直線相交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M與此拋物線相切的直線與直線相交于點(diǎn)N．則()．A． B． C． D．答案選A．法一設(shè)，，則直線AB的方程為：，代入點(diǎn)E可得：．直線OB的方程為：，令，可得，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為．設(shè)，則，只需要再得到一個(gè)關(guān)于、的式子即可．直線MN的兩點(diǎn)式方程為：，與拋物線方程聯(lián)立： ，令，可得，故．法二利用到點(diǎn)對(duì)拋物線的雙切線方程為： ，代入點(diǎn)、，可得： ，解得．2切點(diǎn)弦方程預(yù)備知識(shí)：直線的同一法例(2014湖北文)設(shè)a、b是關(guān)于t的方程的兩個(gè)不等實(shí)根，則過(guò)，兩點(diǎn)的直線與雙曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()．A．0 B．1 C．2 D．3解易知直線AB的方程為，又雙曲線的漸近線為，則直線AB為雙曲線的漸近線，故選A．二次曲線的切點(diǎn)弦方程二次曲線的切點(diǎn)弦方程(1)

橢圓外一點(diǎn)對(duì)橢圓的切點(diǎn)弦的方程為：．(2)

雙曲線外一點(diǎn)對(duì)雙曲線的切點(diǎn)弦的方程為：．(3)

拋物線外一點(diǎn)對(duì)拋物線的切點(diǎn)弦的方程為：．(4)

圓外一點(diǎn)對(duì)圓的切點(diǎn)弦的方程為：．例如圖，求證：橢圓外一點(diǎn)對(duì)橢圓的切點(diǎn)弦AB的方程為：．證明設(shè)切點(diǎn)，，則切線PA、PB的方程分別為：、．又點(diǎn)在切線PA、PB上，則、，亦即切點(diǎn)，在直線上，因此，切點(diǎn)弦AB的方程就是．例如圖，已知點(diǎn)為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，求證：過(guò)點(diǎn)P的弦AB兩端點(diǎn)的切線的交點(diǎn)Q的軌跡為：．證明設(shè)，則點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦AB為：，又定點(diǎn)在切點(diǎn)弦AB上，故，即點(diǎn)Q的軌跡為．例(1)

過(guò)橢圓上一點(diǎn)M作圓的兩條切線，點(diǎn)A、B為切點(diǎn)．過(guò)A、B的直線l與x軸、y軸分別交于P、Q兩點(diǎn)，則△POQ的面積的最小值為()．A． B． C．1 D．(2)

已知雙曲線，圓，過(guò)雙曲線的任意一點(diǎn)作圓C的兩條切線，其切點(diǎn)分別為A、B．若直線AB與x軸、y軸分別交于M、N兩點(diǎn)，則．A． B． C． D．解(1)

選B；設(shè)，則直線l的方程為：，易得，．又，即，故．(2)選A；

直線AB為：，令，，；令，，，因此，．例圓的切線與橢圓交于兩點(diǎn)A、B，分別以A、B為切點(diǎn)的橢圓的切線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程為．解設(shè)，則極點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線（切點(diǎn)弦）AB的方程為：，又直線AB和圓相切，故，即，即點(diǎn)P的軌跡方程為．例(2008江西理)設(shè)點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)P作雙曲線的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B，定點(diǎn)．(1)

過(guò)點(diǎn)A作直線的垂線，垂足為N，試求的重心G所在曲線方程．(2)

求證：三點(diǎn)A、M、B共線．分析此題第(1)小問(wèn)，個(gè)人認(rèn)為也是一道坑題，因?yàn)楹幸粋€(gè)未知數(shù)m，估計(jì)會(huì)有同學(xué)會(huì)陷入一個(gè)思維誤區(qū)：就是在求曲線方程時(shí)，也會(huì)想方設(shè)法把未知數(shù)m也消掉，如果走上此題，解題無(wú)望了．第(2)小問(wèn)是赤裸裸的套路題，而且和第(1)小問(wèn)沒(méi)有半毛錢(qián)的關(guān)系，而且，不知道套路的同學(xué)，估計(jì)也很難在考場(chǎng)上做出來(lái)．同時(shí)，第(2)小問(wèn)的背景是極點(diǎn)極線，極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線AB為，顯然點(diǎn)M也在極線AB上．由于極線AB是切點(diǎn)弦，一般利用“同一法”進(jìn)行求解．解(1)

設(shè)，則垂線AN為：，與直線聯(lián)立，解得，設(shè)重心，則，解得，代入可得：，即為重心G所在曲線方程．(2)

設(shè)，易知，設(shè)切線PA的方程為：，與雙曲線聯(lián)立： ，由和，可解得，因此，切線PA的方程為：，同理可得，切線PA的方程為：，又點(diǎn)在切線PA、PB上，即，即點(diǎn)、在直線上，又點(diǎn)也在直線上，因此，三點(diǎn)A、M、B共線．例從直線上任一點(diǎn)M作拋物線的切線MP和MQ（P和Q是切點(diǎn)），求切點(diǎn)弦PQ的中點(diǎn)N的軌跡方程．分析設(shè)極線對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)為，又點(diǎn)關(guān)于拋物線的極線為，由于和是同一條直線，易得點(diǎn)T為．此時(shí)切點(diǎn)弦PQ過(guò)定點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為常規(guī)的弦中點(diǎn)軌跡問(wèn)題了，易得．解設(shè)，利用同一法，…，易得點(diǎn)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦PQ的方程為：，又，對(duì)比可知：切點(diǎn)弦PQ恒過(guò)定點(diǎn)．當(dāng)切點(diǎn)弦PQ的斜率不存在時(shí)，利用點(diǎn)差法：，即．當(dāng)切點(diǎn)弦PQ的斜率不存在時(shí)，中點(diǎn)N為亦滿(mǎn)足上述方程．例(2009浙江文壓軸)已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為．(1)

求p于m的值；(2)

設(shè)拋物線C上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，過(guò)P的直線交C于另一點(diǎn)Q，交x軸于M點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作PQ的垂線交C于另一點(diǎn)N．若MN是C的切線，求t的最小值．解(1)

拋物線的準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線定義，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，故，解得，拋物線方程為：，將代入拋物線方程，解得．(2)

法一設(shè)線法＋韋達(dá)定理易知直線PQ的斜率存在且不為0，設(shè)直線PQ為：，令，可得．直線PQ與拋物線聯(lián)立：，，可得，即．又，可得直線NQ的方程為：，與拋物線聯(lián)立：，，可得．因此，．由于．故拋物線在點(diǎn)N處切線斜率為．故，整理得，由可得（舍去），或，因此，t的最小值為．法二設(shè)點(diǎn)法＋韋達(dá)定理注意到點(diǎn)M和直線ON是一對(duì)極點(diǎn)極線，設(shè)，則直線ON為：，與拋物線聯(lián)立可解得．【考試之時(shí)，需要正常求解，比較簡(jiǎn)單，故具體過(guò)程略．】直線PQ為：，與拋物線聯(lián)立：，由于，故．由可得：，整理可得：，由可得：，結(jié)合，故，當(dāng)時(shí)，，，，，符合題意，因此，t的最小值為．例已知拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，．(1)

求拋物線E的方程；(2)

過(guò)拋物線E上的點(diǎn)N作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為P、Q，若P、Q、O（O為原點(diǎn)）三點(diǎn)共線，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．解(1)

由已知得，，設(shè)AB和x軸的的交點(diǎn)為D，則，．在中，根據(jù)直角三角形的射影定理：，即，解得，故拋物線E的方程為．(2)

根據(jù)題意，可知N、P、C、Q四點(diǎn)共圓，且以NC為直徑，因此，設(shè)，則該圓的方程為，即為…①又圓C的方程為：…②，由①－②可得直線PQ的方程為：，代入，可得，因此，點(diǎn)N的坐標(biāo)為或．注直線PQ為點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦，利用替換法則，易得直線PQ為：．例已知點(diǎn)A是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A作圓的兩條切線，它們分別切圓D于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．(1)

當(dāng)，A點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，求兩條切線的方程；(2)

對(duì)于給定的正數(shù)r，當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，A總在圓D外部，直線EF都不通過(guò)的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)區(qū)域，求這個(gè)區(qū)域的面積的取值范圍．解(1)

或；(2)

設(shè)，由于點(diǎn)A總在圓D外部，故對(duì)于任意恒成立，又，因此，，即．點(diǎn)E、F既在圓…①上，也在以、為直徑的圓上，即在…②上，由①－②可得直線EF的方程為： ，欲使得對(duì)任意，直線EF均不通過(guò)點(diǎn)，則關(guān)于的二次方程無(wú)解，即 ，即，因此，當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線EF都不通過(guò)的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)區(qū)域是圓面，其面積是，取值范圍是．切點(diǎn)弦vs中點(diǎn)點(diǎn)差法性質(zhì)一(1)

橢圓點(diǎn)P對(duì)橢圓的切點(diǎn)弦AB被OP平分，且AB不可能過(guò)橢圓的中心O．注若橢圓的切點(diǎn)弦AB過(guò)中心O，則A、B兩點(diǎn)處的切線互相平行，顯然產(chǎn)生矛盾．(2)

雙曲線點(diǎn)P對(duì)雙曲線的切點(diǎn)弦AB被OP平分，且AB不可能過(guò)雙曲線的中心O．(3)

拋物線點(diǎn)P對(duì)拋物線的切點(diǎn)弦AB被過(guò)點(diǎn)P與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸平行的直線平分．例求證：點(diǎn)對(duì)橢圓的切點(diǎn)弦AB被OP平分．證明易知點(diǎn)對(duì)橢圓的切點(diǎn)弦AB為：．當(dāng)或時(shí)，顯然有切點(diǎn)弦AB被OP平分．當(dāng)時(shí)，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，利用中點(diǎn)點(diǎn)差法，…，易得：，又，故，又，故，即O、M、P三點(diǎn)共線，即OP平分切點(diǎn)弦AB．例如圖，已知橢圓弦AB的斜率為定值，求過(guò)端點(diǎn)A、B的兩條切線的交點(diǎn)P的軌跡．證明設(shè)，則點(diǎn)P對(duì)橢圓的切點(diǎn)弦AB為：，因此，，即點(diǎn)P的軌跡為，范圍是在橢圓外的部分．性質(zhì)二橢圓在橢圓中，直線的全部幾何意義如下：(1)

直線在橢圓內(nèi)的部分是斜率為k的平行弦的中點(diǎn)軌跡（圖中的直徑ST）．(2)

直線與橢圓的交點(diǎn)處的切線與平行弦平行（圖中點(diǎn)S、T處的切線）．(3)

直線在橢圓外的部分是斜率為k的平行弦兩端點(diǎn)的切線的交點(diǎn)軌跡（圖中的切點(diǎn)弦AB、CD對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P、Q）．注對(duì)于雙曲線，規(guī)律類(lèi)似，此處就不予討論．拋物線在拋物線中，直線的全部幾何意義如下：(1)

直線在拋物線內(nèi)的部分是斜率為k的平行弦的中點(diǎn)軌跡（圖中的直徑ST）．(2)

直線與拋物線的交點(diǎn)處的切線與平行弦平行（圖中點(diǎn)S處的切線l）．(3)

直線在拋物線外的部分是斜率為k的平行弦兩端點(diǎn)的切線的交點(diǎn)軌跡（圖中的切點(diǎn)弦AB、CD對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P、Q）．性質(zhì)三二次曲線內(nèi)的極點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線與以點(diǎn)P為中點(diǎn)的中點(diǎn)弦平行．過(guò)焦點(diǎn)的切點(diǎn)弦橢圓點(diǎn)P對(duì)橢圓的切點(diǎn)弦AB過(guò)焦點(diǎn)F，則點(diǎn)P在與F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線上，且PF⊥AB．雙曲線點(diǎn)P對(duì)雙曲線的切點(diǎn)弦AB過(guò)焦點(diǎn)F，則點(diǎn)P在與F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線上，且PF⊥AB．拋物線點(diǎn)P對(duì)拋物線的切點(diǎn)弦AB過(guò)焦點(diǎn)F，則點(diǎn)P在準(zhǔn)線上，且PF⊥AB，PA⊥PB．【串聯(lián)焦點(diǎn)弦模型】證明以橢圓為例，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦AB為：，代入焦點(diǎn)，可得，因此，點(diǎn)P在與F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線上．當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)弦AB的斜率不存在，與x軸垂直，易知PF⊥AB．當(dāng)時(shí)，，，則，故PF⊥AB．注(1)

由于“焦點(diǎn)弦兩個(gè)端點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)在與焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線上”，因此，可以借助此法，并結(jié)合橢圓的光學(xué)性質(zhì)，作出焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線．(2)

對(duì)于拋物線中特有的“PA⊥PB”的證明，可以參考阿基米德三角形或蒙日?qǐng)A專(zhuān)題．(3)

許多時(shí)候，在題目中，往往只給出一半的形式，此時(shí)，要能看到本質(zhì)，如圖所示，具體可參考例題．3極點(diǎn)極線vs切線極點(diǎn)極線的定義1.二次曲線的替換法則對(duì)于一般式的二次曲線，用代，用代，用代xy，用代x，用代y，常數(shù)項(xiàng)不變，可得方程： ．2.極點(diǎn)極線的代數(shù)定義對(duì)于二次曲線，我們稱(chēng)點(diǎn)（非二次曲線的中心）與直線是關(guān)于曲線的一對(duì)極點(diǎn)極線，也稱(chēng)點(diǎn)P為直線l關(guān)于曲線的極點(diǎn)，直線l為點(diǎn)P關(guān)于曲線的極線．高中階段，常見(jiàn)的二次曲線的極點(diǎn)極線的方程如下：(1)

圓①極點(diǎn)關(guān)于圓的極線方程是：；②極點(diǎn)關(guān)于圓的極線方程是：；③極點(diǎn)關(guān)于圓的極線方程是：．(2)

橢圓極點(diǎn)關(guān)于橢圓的極線方程是：．(3)

雙曲線極點(diǎn)關(guān)于雙曲線的極線方程是：．(4)

拋物線極點(diǎn)關(guān)于拋物線的極線方程是：．注①極點(diǎn)極線是成對(duì)出現(xiàn)的?、谖覀兪熘慕裹c(diǎn)和焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線就是最常見(jiàn)的極點(diǎn)極線?、蹖?duì)于中點(diǎn)弦，弦中點(diǎn)方程也可由上述方程得到！具體參見(jiàn)前面的相關(guān)專(zhuān)題．3.極點(diǎn)極線的幾何意義(1)

若極點(diǎn)P在二次曲線上，則極線是過(guò)點(diǎn)P的切線方程．(2)

若極點(diǎn)P在二次曲線內(nèi)部，則極線是過(guò)點(diǎn)P的弦兩端端點(diǎn)的切線交點(diǎn)的軌跡．如圖所示，過(guò)點(diǎn)P的弦AB、CD的兩端端點(diǎn)作切線，得到的直線MN即為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的軌跡．【極線和二次曲線必定相離】(3)

若極點(diǎn)P在二次曲線外部，分成兩種情況：①極線在二次曲線內(nèi)的部分是點(diǎn)P對(duì)二次曲線的切點(diǎn)弦；【極線和二次曲線必定相交】②極線在二次曲線外的部分是過(guò)點(diǎn)P的弦兩端端點(diǎn)的切線交點(diǎn)的軌跡．4.極點(diǎn)極線的配極性質(zhì)①點(diǎn)P關(guān)于二次曲線的極線p經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q點(diǎn)Q關(guān)于二次曲線的極線q經(jīng)過(guò)點(diǎn)P．②直線p關(guān)于二次曲線的極點(diǎn)P在直線q上直線q關(guān)于二次曲線的極點(diǎn)Q在直線p上．①②說(shuō)白了，就是點(diǎn)P和點(diǎn)Q是二次曲線的一組調(diào)和共軛點(diǎn)．例(2010湖北文壓軸)已知橢圓的兩焦點(diǎn)為,點(diǎn)滿(mǎn)足，則的取值范圍為_(kāi)______，直線與橢圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)_____．解結(jié)合圖形可得：，即；可以借助等效判別式，易得公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為0．當(dāng)然，背景是：直線是點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線，由于點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部，故公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為0．例已知直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，則的取值范圍是．解由于極線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部，故，即的取值范圍是．極點(diǎn)極線和調(diào)和分割性質(zhì)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于二次曲線的極線為l，過(guò)點(diǎn)P作任一割線交于點(diǎn)A、B，交l于點(diǎn)Q，則或，即點(diǎn)P、Q調(diào)和分割線段AB，或者稱(chēng)點(diǎn)P與Q關(guān)于調(diào)和共軛．簡(jiǎn)言之，也就是點(diǎn)P關(guān)于二次曲線的調(diào)和共軛點(diǎn)的軌跡是一條直線，而這條直線就是極點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線．下面以橢圓為例進(jìn)行嚴(yán)格的證明．例過(guò)異于原點(diǎn)的點(diǎn)引橢圓的割線PAB，其中點(diǎn)A、B在橢圓上，Q是割線PAB上的一點(diǎn)，證明：P、Q調(diào)和分割A(yù)、B的充要條件是點(diǎn)Q在定直線上．證明參見(jiàn)前面的定比點(diǎn)差法專(zhuān)題！例過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線l交圓于點(diǎn)A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若在線段AB上的點(diǎn)Q滿(mǎn)足，則．答案；Q點(diǎn)的軌跡就是極點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的極線！推論(1)

設(shè)點(diǎn)P