2025～2026學(xué)年第一學(xué)期鎮(zhèn)江市高三期中質(zhì)量監(jiān)測

數(shù)學(xué)試卷2025.12

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無

效。

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,5},B={2,3,6},則(CuA)∩B

A.{2}B.{2,6}C.{1,2,4}D.{2,4,6}

2.設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足(√2-i)z=2√2+i,則復(fù)數(shù)z的虛部為

A.1B.iC.√2D.√2i

3.“α>β”是“sina>sinβ”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線與雙曲的漸近線交于點(diǎn)(-11),且有一個(gè)

公共的焦點(diǎn)，則雙曲線方程為

A.x2-y2=1B.D.2x2-2y2=1

5.已知α∈(0,π),,則tan2a=

A.B.C.D.

6.某工廠生產(chǎn)的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P(單位：mg/L)與過濾時(shí)間1

(單位：h)的關(guān)系為：P=Pe?(P?,k是正常數(shù)).如果在前5h消除了10%的污染物，那

么污染物減少50%需要的時(shí)間大約為(精確到1h,參考數(shù)據(jù)lg2≈0.301,Ig3≈0.477)

A.31hB.33hC.35hD.37h

7.已知△ABC角AB,C的對邊分別為a,b,c,A=60°,D為BC上一點(diǎn)，且AD=√3,

則b+3c的最大值是

D.8

A.2B.4C.6

8.如圖，某圓柱完全在一個(gè)棱長為9的空心正四面體內(nèi)部，該圓柱的下底面落在此正四面體一個(gè)底

面上，當(dāng)該圓柱體積最大時(shí)，其底面半徑為

(第8題圖)

A.√3B.2C.2√2D.3

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.在長方體ABCD-A?B?C?D?中，AD=AA?=1,AB=2,動(dòng)點(diǎn)E在棱AB上，則

A.D?EIICC

B.D?E⊥AD

C.三棱錐D?-ECC的體積是定值

D.若D?E⊥EC,則AE長為1

10.已知直線l:(2m+1)x-(m-1)y-m-2=0(m∈R),圓C:x2+y2+2x-4y+4=0,則

A.動(dòng)直線1經(jīng)過定點(diǎn)(0,-1)

B.圓心C到直線I的最大距離為√5

C.當(dāng)直線I與圓C相交時(shí)，

D.當(dāng)m=0時(shí)，圓C上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到直線1的距離為

11.設(shè)函數(shù)f(x)=|sinx|+|lcosx,則

A.f(x)的圖象關(guān)于直線對稱

B.f(x)的一個(gè)正周期為

C.f(x)的一個(gè)單調(diào)減區(qū)問是

D.函在區(qū)間[m,川](m<n)上有2026個(gè)零點(diǎn)，則n-m的最小值為

高三數(shù)學(xué)試卷第2頁(共4頁)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.如圖，向量e?,e??,a的起點(diǎn)與終點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，請用基底ei,e2表示α=▲.

(第12愿圖)

13.《周髀算經(jīng)》中給出的弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大的正方

形，若下圖中所示的角為α,且小正方形與大正方形面積之比為1:5,則tana

的值為▲·

(第13題圖)

14.已知函數(shù)f(x)=alnx(a>0),若函數(shù)g(x)=f(x1D|-2025,則g(x)的所有零點(diǎn)之積為

▲:方程|f(x)|=x有三個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)a的范圍為▲

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本小題13分)

已知△ABC的面積記為S.請?jiān)谝韵氯齻€(gè)條件中，選擇一個(gè)合適的條件，補(bǔ)充完成下題(只要寫

序號(hào)),并解答該題.

①2a=c+2bcosC;②√3AB·BC+2S=0;③(a+b+c)(a-b+c)=3ac

△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知▲_

(1)若b=7,c=5,求a;

(2)若△ABC為銳角三角形，b=2,求a+c的取值范圍.

16.(本小題15分)

(1)橢圓的定義是“動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的和為定值的點(diǎn)的軌跡”.如果橢圓的焦點(diǎn)分別為

F(-c,0),F?(c,0),長軸長為2a(a>c>0),請根據(jù)該定義，推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)P為(1)中橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)∠F?PF?最大時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo).

對業(yè)出北4頁)

17.(本小題15分)

已知三棱錐P-ABC中，△PAC是邊長為√6的等邊三角形，AB=BC=√2,PB=√5.

(1)證明：平而PAC⊥平面ABC;

(2)求二面角A-PC-B的正弦值.

(第17題圖)

18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=e?-x,a∈R.

(1)當(dāng)α=1時(shí)，求函數(shù)y=f(x)的值域：

(2)當(dāng)α=-1,x∈(0,+∞)時(shí)，

①判斷函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

②設(shè)函數(shù)g(x)=|f(x)|,若方程g(x)=m(m∈R)有兩個(gè)不相等的正數(shù)解xi,x2,

證明：

19.(本小題17分)

已知雙曲線廠：(a>0,b>0)的離心串為√5,與x軸交于點(diǎn)A(1.0).

(1)求雙曲線廠的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(2)若動(dòng)直線1:與雙曲線廠交于異于點(diǎn)A的不同兩點(diǎn)B,C.

①若AB⊥AC,求此時(shí)直線I的方程；

②經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的動(dòng)圓M是否經(jīng)過異于點(diǎn)A的定點(diǎn)，如果存在，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)：

如果不存在，誚說明理由.

高三數(shù)學(xué)試卷第4頁(共4頁)

2025～2026學(xué)年第一學(xué)期鎮(zhèn)江市高三期中監(jiān)測

數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)2025.12.2

一、單項(xiàng)選擇題：

題號(hào)答案出處考查知識(shí)能力素養(yǎng)難度

1B共案1基礎(chǔ)訓(xùn)練1改編集合運(yùn)算概念理解簡單

2C必修2P116練習(xí)6(4)改編復(fù)數(shù)運(yùn)算概念理解，應(yīng)試技巧簡單

3D共案1課堂檢測1改編充要條件判斷概念理解簡單

4D選擇性必修1P107第2題雙曲線拋物線性質(zhì)概念理解、運(yùn)算能力中檔

5A共案37課后作業(yè)3三角運(yùn)算運(yùn)算能力中檔

6B共案14例題1函數(shù)應(yīng)用閱讀理解運(yùn)算能力較難

向量基本定理，解三角

7D共案39例6(2)改編形，基本不等式分析能力、運(yùn)算能力較難

空間想象，函數(shù)思

8A原創(chuàng)函數(shù)在立幾最值中應(yīng)用想、運(yùn)算能力較難

二、多項(xiàng)選擇題：

題號(hào)答案出處考查知識(shí)能力素養(yǎng)難度

9BCD課本共案改編線面關(guān)系，度量空間想象簡單

10CD共案53例題1(2)改編直線和圓概念理解，運(yùn)算能力中檔

11ABD共案59變式訓(xùn)練3-2改編三角圖象，數(shù)形集合數(shù)學(xué)直觀、運(yùn)算能力較難

三、填空題：

題號(hào)答案出處考查知識(shí)能力素養(yǎng)難度

122e?+4e?共案45訓(xùn)練第3題向量基本定理概念理解，運(yùn)算能力簡單

13共案31例題4改編三角應(yīng)用閱讀理解，分析建模，運(yùn)算能力中檔

141,(e,+∞)期初17題改編函數(shù)綜合閱讀理解、運(yùn)算能力難

四、解答題：

15.解：

(1)選①在△ABC中，由2a=c+2bcosC及正弦定理，得2sinA=sinC+2sinBcosC,……1分

則2sin(B+C)=sinC+2sinBcosC,即2sinBcosC+2cosBsinC=sinC+2sinBcosC,

整理得：2cosBsinC=sinC,又sinC>0,

因此又B∈(0,π),(注意：不交代B的范圍不扣分，下同)……3分

所以……4分

選②由√3AB·BC+2S=0,得……2分

因?yàn)閏osB≠0,所以tanB=√3,又B∈(0,π),……3分

所以……4分

選③由(a+b+c)(a-b+c)=3ac,得到a2+c2-b2=ac,……1分

……3分

又B∈(0,π),所以……4分

根據(jù)余弦定理b2=a2+c2-2accosB,……5分

即49=a2+25-5a,整理得a2-5a-24=0.

第1頁共8頁

解得a=8或a=-3(舍去).所以a=8.……6分

(2)……7分

因?yàn)?則

……9分

……11分

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所則……12分

即a+c取值范圍為(2√3,4)……13分

【說明】本題源于共案39例題改變.考查正余弦定理的運(yùn)用及三角變化公式；考查三角函數(shù)圖象與性

質(zhì)；考查邏輯推理和運(yùn)算能力屬于基礎(chǔ)題；考查結(jié)構(gòu)不良題處理方法.

16.解：(1)設(shè)P(x,y)為橢圓上任意一點(diǎn)，根據(jù)橢圓的定義知PF?+PF?=2a,

即√(x+c2+y2+√(x-c)2+y2=2a,……1分

√(x+c)2+y2=2a-√(x-c)2+y2,……2分

移項(xiàng)平方得：(x+c)2+y2=4a2-4a√(x-c)2+y2+(x-c)2+y2,……3分

整理得：a2-cx=a√(x-c)2+y2.……4分

兩邊平方得：a?-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,……5分

整理得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).……6分

因?yàn)閍2-c2>0,設(shè)a2-c2=b2(b>0),于是得b2x2+a2y2=a2b2.

兩邊同除以a2b2,得橢圓方程……7分

(2)在△F?PF?中，設(shè)r=PF,r?=PF?,r+r?=2a,F?F?=2c

……9分

第2頁共8頁

……11分

……13分

當(dāng)且僅當(dāng)r=r?,即PF?=PF?時(shí)，,此時(shí)∠F?PF?最大.……14分

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±b).……15分

(注意：P點(diǎn)少一個(gè)坐標(biāo)，扣1分)

【說明】本題源于選擇性必修一第81頁“橢圓方程推導(dǎo)”、共案55例2.考查圓錐曲線方程的推導(dǎo)

方法、曲線與方程思想；考查圓錐曲線定義、橢圓焦點(diǎn)三角形性質(zhì)；考查余弦定理和基本不等式的應(yīng)

用；考查幾何最值問題處理方法；考查運(yùn)算能力；考查對課本重視程度.

立體幾何解答題閱卷要求：

1.推理論證過程中，缺少主要條件，該邏輯段不得分；缺少非主要條件，該小問累計(jì)扣分，每少一個(gè)非

主要條件，扣0.5分，扣滿該邏輯段分?jǐn)?shù)為止。

2.如果圖中沒有畫出輔助線(綜合法和空間向量法，包括坐標(biāo)軸)或者有坐標(biāo)軸但沒有標(biāo)明坐標(biāo)軸名

稱，解題過程全對，最多得該小問一半分，但只要有一個(gè)錯(cuò)誤，則該小問不得分。

3.如果沒有說明建系方式，也沒有畫出坐標(biāo)系，該小問不得分。

17.(1)證明：取AC中點(diǎn)0,連接PO,BO.因?yàn)椤鱌AC是邊長為√6的等邊三角形，

所以PO⊥AC,……1分

在△ABC中，因?yàn)锳B=BC=√2,

從而BO⊥AC,……2分

(第17(1))

在△POB中，,PB=√5.則PO2+BO2=PB2.所以……3分

【法一】又因?yàn)椤螾OB為二面角P-AC-B的平面角.……5分

所以平面PAC⊥平面ABC.……6分

【法二】所以PO⊥BO.

又因?yàn)椋琍O⊥AC,BO∩AC=0,BO,ACc平面ABC,

所以PO⊥平面ABC,且POc平面PAC,……5分

所以平面PAC⊥平面ABC.……6分

(2)【法一】由(1)平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,BO⊥AC,BOc平面ABC,

所以BO⊥平面PAC.……8分

(注意：也可以用線面垂直的判定定理證明BO⊥平面PAC.)

在平面PAC中過點(diǎn)O作OE⊥PC于點(diǎn)E,連接BE.由三垂線定理得：PC⊥BE.……10分

(注意：不書寫“三垂線定理”,扣1分)

第3頁共8頁

所以∠BEO為二面角B-PC-A的平面角.……12分

在△POC中，……13分

在直角三角形BEO中，由(1)C

……14分(第17(2))

即.所以二面角A-PC-B的正弦值為……15分

【法二】由(1)知PO,BO,AC兩兩垂直，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以{OA,OB,OP)為正交

基底建空間直角坐標(biāo)系0-xyz,如圖.……7分

則O(0,0,0),

則平面的法向量為……8分

APCm=(0,1,0),C

X(第17(2))

設(shè)平面BPC的法向量為n=(x,y,z),則即……10分

取x=1,則y=-√3,,所以平面BPC的法向量……12分

貝……14分

所以二面角A-PC-B的正弦值為4=

(注意：若以{OB,oc,OP}為正交基底如右圖建空間直角

坐標(biāo)系0-xyz,平面APC的一個(gè)法向量為m=(1,0,0),

平面BPC的一個(gè)法向量為n=(3,√3,1))

(第17(2))

【說明】本題來源于本題來源于高二共案61例1改編?？疾槊婷娲怪钡呐卸ǘɡ恚娼堑那蠓?，空間

向量；考查空間想象能力、分析能力、運(yùn)算能力。

第4頁共8頁

18.解：(1)當(dāng)α=1時(shí)，f(x)=e-x,x∈R,令f'(x)=e*-1=0,解得x=0.……1分

當(dāng)x∈(-∞,0),f'(x)<0,f(x)為減函數(shù)；

當(dāng)x∈(0,+oo)時(shí)，f'(x)>0,f(x)為增函數(shù)，……2分

則f(x)m.=f(0)=e?-0=1,…….3分

且當(dāng)x→-∞時(shí)，f(x)=e?-x→+∞0,(注意：此處不交代證明不扣分)

所以函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)閇1,+∞].……4分

(注意：如果用“當(dāng)x→+∞時(shí)，e?-x→+∞”,但沒有嚴(yán)格證明，扣1分)

(2)當(dāng)α=-1,x∈(0,+∞)時(shí)，

①因?yàn)椤?分

且f(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增.所以函數(shù)y=f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)..……7分

②設(shè)y=f(x)的零點(diǎn)為x?,則當(dāng)0<x<x?時(shí)，f(x)<0;當(dāng)x>x?時(shí)，f(x)>0.

……9分

不妨設(shè)0<x?<x?<x?,則-f(x,)=m,f(x?)=m,即f(x?)+f(x?)=0,.……11分

因……13分

令μ>0,設(shè)……15分

,得μ=1.

即函數(shù)φ(μ)在(0,1)上單調(diào)遞增，在[1,+∞)上單調(diào)遞減，……16分

由于x?x?<φ(μ),所……17分

【說明】本題源于共案26(1B)變式改編.綜合考查函數(shù)最值、零點(diǎn)性質(zhì)；考查不等式和導(dǎo)數(shù)在函數(shù)研

究中應(yīng)用；考查函數(shù)思想，考查構(gòu)造能力；考查分析推理、運(yùn)算能力.

第5頁共8頁

19.解：(1)已知雙曲線的離心率為且與x軸交于點(diǎn)A(1,0).

則a=1,c=√5,……2分

則b2=c2-a2=4,所以雙曲線廠的標(biāo)準(zhǔn)方程是：①……3分

(2)①將②代入①得：15x2-4mx-4(m2+4)=0③…4分

則△=16·m2+4×15×4×(m2+4)>0恒成立，(注意：不交代扣1分)……5分

④,⑤……6分

設(shè)B(x?,y?),C(x?,y?),由AB⊥AC,得到：AB·AC=0,即(x?-1,y)·(x?-1,y?)=0,

貝

將④⑤代入上式得：

即12m2-4m-5=0……7分

所以(舍)或者,即直線1的方程是……8分

②【法一】設(shè)經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的動(dòng)圓方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)⑥

A(1,0)代入⑥得到D+F+1=0⑦.……9分

設(shè)B(x?,y),C(x?,y?),則……10分

消去y……11分

比較③⑧得：

……12分

⑨,⑩,

由③⑨⑩得：……14分

(注意：此處D,E,F算錯(cuò)一個(gè)扣1分，扣