2/37第11章簡(jiǎn)單幾何體章末大總結(jié)簡(jiǎn)單幾何體教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)知識(shí)清單簡(jiǎn)單幾何體教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)知識(shí)清單題型精講強(qiáng)化訓(xùn)練多面體棱柱圓柱柱體中截面有關(guān)的計(jì)算柱體表面最短距離問(wèn)題柱體表面積與側(cè)面積柱體體積有關(guān)計(jì)算椎體中截面問(wèn)題柱體體積柱體表面積棱錐圓錐棱臺(tái)圓臺(tái)椎體、臺(tái)體體積球球的表面積和體積椎體表面最短距離問(wèn)題椎體表面積與側(cè)面積椎體體積內(nèi)切球問(wèn)題外接球問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)1.數(shù)學(xué)抽象：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積與體積公式；2.邏輯推理：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、的表面積，球的體積公式；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積與體積；4.直觀想象：球的切、接問(wèn)題。教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積與體積；2.教學(xué)難點(diǎn)：與圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球有關(guān)的組合體的表面積與體積會(huì)解決球的切、接問(wèn)題。知識(shí)點(diǎn)01多面體由三角形或平面多邊形圍成的封閉幾何體稱為多面體；【即學(xué)即練】已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2和3，高為，則該正四棱臺(tái)的體積為．【答案】/【分析】根據(jù)棱臺(tái)的體積公式求出幾何體體積即可.【詳解】由題意可得該正四棱臺(tái)的體積為．故答案為：．知識(shí)點(diǎn)02棱柱有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱底面(底)：兩個(gè)互相平行的面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)（2）棱柱的圖形【即學(xué)即練】如圖所示，長(zhǎng)方體被平面截成兩個(gè)幾何體，點(diǎn)分別在棱上，點(diǎn)分別在棱上，且，則截得的兩個(gè)幾何體分別是（

）A．三棱柱和五棱柱B．三棱臺(tái)和五棱柱 C．三棱柱和五棱臺(tái) D．三棱臺(tái)和五棱臺(tái)【答案】A【分析】由題意可證四邊形為平行四邊形，再根據(jù)棱柱的定義可知選擇A.【詳解】在長(zhǎng)方體，，又，所以四邊形為平行四邊形，同理四邊形、都是平行四邊形，又平面平面，故多面體為三棱柱，同理多面體為五棱柱，故選A.知識(shí)點(diǎn)03圓柱以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體圓柱的軸：旋轉(zhuǎn)軸圓柱的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面圓柱的側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面圓柱側(cè)面的母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊（2）圓柱的圖形（3）圓柱的表示圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖，圓柱【即學(xué)即練】以長(zhǎng)為，寬為的矩形的一邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的圓柱的底面面積為（）【答案】或【分析】利用旋轉(zhuǎn)體圓柱的特征直接求解即可.【詳解】以長(zhǎng)的邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，即得圓柱的底面半徑為，所以底面面積為；以寬的邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，即得圓柱的底面半徑為，所以底面面積為.故答案為：或知識(shí)點(diǎn)04柱體體積1、棱柱的體積①棱柱的高：柱體的兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點(diǎn)向另一底面作垂線，這點(diǎn)與垂足（垂線與底面的交點(diǎn)）之間的距離，即垂線段的長(zhǎng).②棱柱的體積：柱體的體積等于它的底面積和高的乘積，即.2、圓柱的體積：【即學(xué)即練】如圖，在正四棱柱中，，則該正四棱柱的體積為．

【答案】【分析】求出側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)后可求體積.【詳解】因?yàn)榍宜倪呅螢檎叫?，故，而，故，故，故所求體積為，故答案為：.知識(shí)點(diǎn)05柱體表面積多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和；所以，棱柱、圓柱的表面積就是圍成它們的各個(gè)面的面積的和；圖形表面積公式多面體多面體的表面積就是各個(gè)面的面積的和，也就是展開(kāi)圖的面積直棱柱圓柱（為圓柱的母線長(zhǎng)，為圓柱底面的半徑）底面積：側(cè)面積：表面積：【即學(xué)即練】已知一圓柱的底面半徑，母線長(zhǎng)l與底面圓的周長(zhǎng)相等，則該圓柱的表面積為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用圓柱表面積公式計(jì)算得解.【詳解】依題意，圓柱的母線，所以該圓柱的表面積.故答案為：知識(shí)點(diǎn)06棱錐有一個(gè)面是三角形或平面多邊形，且不在這個(gè)面上的棱都有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的多面體叫做棱錐；【即學(xué)即練】一個(gè)棱錐至少有個(gè)面.【答案】4【分析】根據(jù)棱錐的定義推斷即可.【詳解】棱錐的面數(shù)是由側(cè)面的面數(shù)加1個(gè)底面得到的，面數(shù)最少的棱錐有四個(gè)面，它是三棱錐.故答案為：4.知識(shí)點(diǎn)07圓錐以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面?zhèn)让妫褐苯侨切蔚男边呅D(zhuǎn)而成的曲面母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊錐體：棱錐和圓錐統(tǒng)稱為錐體（2）圓錐的圖形（3）圓錐的表示用表示它的軸的字母表示，如圖，圓錐【即學(xué)即練】已知圓錐底面半徑為，側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為的扇形，則此圓錐的母線長(zhǎng)為.【答案】【分析】利用圓錐的底面周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)，可求得圓錐的母線長(zhǎng).【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，由于圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)，則，解得.故答案為：.知識(shí)點(diǎn)08棱臺(tái)用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間的那部分多面體叫做棱臺(tái)上底面：原棱錐的截面下底面：原棱錐的底面?zhèn)让妫撼舷碌酌嬉酝獾拿鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點(diǎn)（2）棱臺(tái)的圖形【即學(xué)即練】正四棱臺(tái)的上、下地面分別是邊長(zhǎng)為1、2的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)為1，則該棱臺(tái)的體積為.【答案】/【分析】求出棱臺(tái)的高后可求體積.【詳解】設(shè)棱臺(tái)的高為，則，故體積為，故答案為：知識(shí)點(diǎn)09圓臺(tái)用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)軸：圓錐的軸底面：圓錐的底面和截面?zhèn)让妫簣A錐的側(cè)面在底面與截面之間的部分母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分臺(tái)體：棱臺(tái)和圓臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體（2）圓臺(tái)的圖形（3）圓臺(tái)的表示用表示它的軸的字母表示，如圖，圓臺(tái)【即學(xué)即練】已知圓臺(tái)，其上底面圓的直徑為2，下底面圓的直徑為8，母線長(zhǎng)為5，則該圓臺(tái)的體積為.【答案】【分析】先計(jì)算出圓臺(tái)的高，再利用圓臺(tái)的體積計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】由題意得，所以.故答案為：.知識(shí)點(diǎn)10椎體、臺(tái)體體積錐體的體積公式(為底面面積，為高)；臺(tái)體的體積公式(,分別為上下底面面積，為臺(tái)體的高)知識(shí)點(diǎn)11球半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱球（2）相關(guān)概念：球心：半圓的圓心半徑：連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段直徑：連接球面上兩點(diǎn)并經(jīng)過(guò)球心的線段知識(shí)點(diǎn)12球的表面積和體積（1）球的表面積：（2）球的體積:【即學(xué)即練】一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為、、，則此球的直徑為【答案】.【分析】長(zhǎng)方體的外接球直徑為其體對(duì)角線長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可求得.【詳解】長(zhǎng)方體的外接球直徑為其體對(duì)角線長(zhǎng)，根據(jù)題意可得：體對(duì)角線長(zhǎng)為.故答案為：.題型01柱體中截面有關(guān)的計(jì)算【典例1】如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M，N分別是，的中點(diǎn)，平面BMN截正方體所得截面為【答案】等腰梯形【分析】根據(jù)兩條平行線可以確定一個(gè)平行判斷.【詳解】連接，，由于M，N分別是，的中點(diǎn)，則,而，即四邊形為平行四邊形，故，得，且,結(jié)合正方體性質(zhì)可知，所以平面BMN截正方體所得截面為梯形，且為等腰梯形，故答案為：等腰梯形.【變式1】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則平面AEF截正方體所得的截面面積為.【答案】【分析】由，，從而截面為梯形求解.【詳解】解：如圖所示：因?yàn)?，所以，所以截面為梯形，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，則，梯形的高為，所以梯形的面積為：，故答案為：【變式2】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，M，N為和的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，M，N的平面去截該正方體，則所得截面圖形的周長(zhǎng)為.【答案】【分析】在正方體中確定五邊形即為所求截面，結(jié)合勾股定理計(jì)算即可求解.【詳解】如圖，連接，并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接，交于，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接，交于點(diǎn)，連接，則五邊形即為所求截面.易知分別是的三等分點(diǎn)，則，，所以該五邊形的周長(zhǎng)為.故答案為：【變式3】用一張的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面，接頭忽略不計(jì)，則圓柱的軸截面面積是.【答案】【分析】根據(jù)已知，分圓柱的高為8以及高為4，兩種情況，分別求出圓柱底面圓的半徑，進(jìn)而得出圓柱的軸截面面積.【詳解】若圓柱的高為，則底面圓的周長(zhǎng)為4，設(shè)，則，此時(shí)圓柱的軸截面為兩邊長(zhǎng)分別為和的矩形，所以軸截面面積；若圓柱的高為，則底面圓的周長(zhǎng)為8，設(shè)，則，此時(shí)圓柱的軸截面為兩邊長(zhǎng)分別為和的矩形，則軸截面面積.綜上可知，圓柱的軸截面面積為.故答案為：.【變式4】一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)為4，寬為2的矩形，則該圓柱的軸截面的面積為（

）A．32 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓柱側(cè)面展開(kāi)圖的特征，分4為底面周長(zhǎng)和2為底面周長(zhǎng)兩種情況討論求解.【詳解】若4為底面周長(zhǎng)，則圓柱的高為2，此時(shí)圓柱的底面直徑為，故圓柱的軸截面的面積為；若2為底面周長(zhǎng)，則圓柱的高為4，此時(shí)圓柱的底面直徑為，故圓柱的軸截面的面積為.故選：D.題型02柱體表面最短距離問(wèn)題【典例1】如圖，在直三棱柱中，，，，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】將平面和平面鋪平后轉(zhuǎn)化成平面上的問(wèn)題，再利用余弦定理即可求解.【詳解】在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，將兩個(gè)平面鋪平后轉(zhuǎn)化成平面上的問(wèn)題解決，如圖：

則的最小值就是平面四邊形內(nèi)的長(zhǎng)，在直三棱柱中，平面，平面，，，，即，，平面，平面，平面，，，，在中，，，，由余弦定理可得.故選：A.【變式1】如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為，高為，，分別是兩底面的直徑，，是母線．若一只小蟲(chóng)從點(diǎn)出發(fā)，從側(cè)面爬行到點(diǎn)，則小蟲(chóng)爬行的最短路線的長(zhǎng)度是（

）cm．（結(jié)果保留根式）A． B． C． D．4【答案】C【分析】在圓柱側(cè)面展開(kāi)圖中，矩形對(duì)角線的長(zhǎng)度即為所求.【詳解】如圖，在圓柱側(cè)面展開(kāi)圖中，線段的長(zhǎng)度即為所求，在中，，，.故選；C【變式2】如圖，四邊形是圓柱的軸截面，，圓的周長(zhǎng)為，是線段的中點(diǎn)，曲線在圓柱的側(cè)面上，且曲線的長(zhǎng)度等于在圓柱的側(cè)面上從到的最短距離，若為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將圓柱的側(cè)面展開(kāi)，結(jié)合余弦定理可知為鈍角，結(jié)合圖形可得出點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值.【詳解】如下圖所示，將圓柱的側(cè)面展開(kāi)，則，，從而，由余弦定理可得，所以為鈍角，故點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為.故選：C.【變式3】如圖，在單位正方體中，分別為線段和上為兩動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.【答案】【分析】把沿翻折到平面上，從而將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面問(wèn)題，利用正弦的和角公式，求得，再利用幾何關(guān)系，即可求解.【詳解】把沿翻折到平面上，得如圖所示的平面圖，由題知，，又，記，所以，當(dāng)時(shí)，且為與的交點(diǎn)，此時(shí)最小，最小值為線段的長(zhǎng)，又，所以的最小值為.【變式4】如圖，在長(zhǎng)方體中，，，是上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．

【答案】【分析】將沿為軸旋轉(zhuǎn)至與平面共面，可得，利用求解即可．【詳解】如圖，將以為軸旋轉(zhuǎn)至與平面共面位置，旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)記為，由圖可知，取的中點(diǎn)，連結(jié)，由已知條件可知，，根據(jù)勾股定理可得，即的最小值為．

題型03柱體表面積與側(cè)面積【典例1】已知圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形，則該圓柱的表面積是.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出該圓柱的底面圓半徑，再求出其表面積.【詳解】依題意，圓柱的底面圓周長(zhǎng)為4，則半徑，所以該圓柱的表面積.故答案為：【變式1】若圓柱的高為10，底面積為，則這個(gè)圓柱的側(cè)面積為.【答案】【分析】根據(jù)圓柱的底面積以及側(cè)面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則，得，所以圓柱的側(cè)面積.故答案為：.【變式2】一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為1、2、4，若一個(gè)正方體的體積和該長(zhǎng)方體體積相等，則這個(gè)正方體的表面積為．【答案】24【分析】本題根據(jù)正方體的體積和該長(zhǎng)方體體積相等得出正方體的邊長(zhǎng)，從而求出正方體的表面積.【詳解】根據(jù)題意得，正方體的體積，所以正方體的邊長(zhǎng)為，所以正方體的表面積為.故答案為：24.【變式3】有一根長(zhǎng)為hcm，底面半徑為rcm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在該圓柱的側(cè)面上纏繞3圈，并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，若鐵絲長(zhǎng)度的最小值為20cm，則圓柱側(cè)面積的最大值為．【答案】/【分析】將圓柱側(cè)面展開(kāi)可知鐵絲長(zhǎng)度的最小值等于直角邊分別為h，的直角三角形的斜邊長(zhǎng)，然后通過(guò)基本不等式及圓柱側(cè)面積公式即得.【詳解】若鐵絲長(zhǎng)度的最小值為20cm，則，所以，所以側(cè)面積為，所以圓柱側(cè)面積的最大值為．故答案為:【變式4】有一個(gè)正六棱柱的機(jī)械零件，底面邊長(zhǎng)為，高為，則這個(gè)正六棱柱的機(jī)械零件的表面積為.【答案】/【分析】正六棱柱，分別計(jì)算即可；【詳解】故答案為：題型04柱體體積有關(guān)計(jì)算【典例1】如圖，在正三棱柱中，，分別為的中點(diǎn)，則多面體體積為．

【答案】/【分析】由題意可知：為三棱臺(tái)，利用割補(bǔ)法，結(jié)合柱體和臺(tái)體體積公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：為三棱臺(tái)，則，可得正三棱柱的體積，三棱臺(tái)的體積，所以多面體體積為.故答案為：.【變式1】如圖，在三棱柱中，，E是棱AB上一點(diǎn)，且滿足，若平面把三棱柱分成大、小兩部分，則大、小兩部分的體積比為．

【答案】【分析】取的三等分點(diǎn)，連接，可得，設(shè)三棱柱的底面面積為，高為，得到三棱柱的體積為，進(jìn)而求得三棱臺(tái)的體積為，即可求解.【詳解】如圖所示，由在三棱柱中，是棱上一點(diǎn)，且滿足，即點(diǎn)為的三等分點(diǎn)，取的三等分點(diǎn)，連接，可得，設(shè)三棱柱的底面面積為，高為，則三棱柱的體積為，因?yàn)榉謩e為的三等分點(diǎn)，可得，即，所以三棱臺(tái)的體積為，所以兩部分的體積比為.故答案為：.

【變式2】若一個(gè)螺栓的底面是正六邊形，它的正（主）視圖和俯視圖如圖，則它的體積是．

【答案】【分析】由已知可得該幾何體是上方為圓柱、下方為正六棱柱，分別計(jì)算體積即可.【詳解】由三視圖知，幾何體是一個(gè)簡(jiǎn)單的組合體，上面是一個(gè)圓柱，圓柱的底面直徑是1.6，高是2，∴圓柱的體積是，下面是一個(gè)六棱柱，棱柱的高是1.5，底面的邊長(zhǎng)是2，∴六棱柱的體積是，∴組合體的體積是.故答案為：【變式3】將的矩形鐵皮作為圓柱的側(cè)面卷成一個(gè)圓柱，則圓柱的最大體積是．【答案】【分析】當(dāng)矩形的邊長(zhǎng)4作為圓柱的底面周長(zhǎng)時(shí)，圓柱的高為6，求得此時(shí)圓柱的體積為.當(dāng)矩形的邊長(zhǎng)6作為圓柱的底面周長(zhǎng)時(shí)，圓柱的高為4，求得此時(shí)圓柱的體積為，從而求得圓柱體積的最大值.【詳解】當(dāng)矩形的邊長(zhǎng)4作為圓柱的底面周長(zhǎng)時(shí)，圓柱的高為6，設(shè)底面半徑為，由可得，此時(shí)圓柱的體積為.當(dāng)矩形的邊長(zhǎng)6作為圓柱的底面周長(zhǎng)時(shí)，圓柱的高為4，設(shè)底面半徑為，由可得，此時(shí)圓柱的體積為，故圓柱的最大體積為.故答案為：.【變式4】如圖，在△ABC中，，DB⊥平面ABC，且，BD＝3，F(xiàn)C＝4，AE＝5.則此幾何體的體積為．【答案】96【分析】用“補(bǔ)形法”把原幾何體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，使，再由柱體的體積公式計(jì)算即可得出答案.【詳解】用“補(bǔ)形法”把原幾何體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，使，所以V幾何體＝V三棱柱.故答案為：.題型05椎體中截面問(wèn)題【典例1】已知正四面體棱長(zhǎng)為2，所有與它四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的平面截這個(gè)四面體所得的截面面積之和為．【答案】【分析】分別找出滿足條件的截面，求出面積之和即可.【詳解】如圖（1）：分別為正四面體棱的中點(diǎn)，此時(shí)它的四個(gè)頂點(diǎn)到截面的距離相等，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，.這樣的截面有4個(gè)；如圖（2）：分別為正四面體棱的中點(diǎn)，此時(shí)它的四個(gè)頂點(diǎn)到截面的距離相等，四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，，這樣的截面有3個(gè).所以滿足條件的截面的面積之和為：.故答案為：【變式1】如圖，空間四邊形的邊，成的角，且，，平行于與的截面分別交，，，于，則截面面積的最大值為.【答案】【分析】由題意易證四邊形是平行四邊形，（或），，則可得，，則可表示出，再由基本不等式即可求出其最大值.【詳解】∵∥平面，平面，平面平面，∴，同理，∴，同理，∴四邊形是平行四邊形.∵與所成的角為，∴（或），設(shè)，∵，∴，由，，得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即為的中點(diǎn)時(shí)，截面的面積最大，為.故答案為：.【變式2】若圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為3，圓心角為的扇形，則過(guò)這個(gè)圓錐頂點(diǎn)的截面中，最大截面面積等于.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出圓錐底面圓半徑及高，再判斷軸截面三角形形狀并求出最大面積.【詳解】依題意，圓錐底面圓周長(zhǎng)為，該圓錐底面圓半徑，而圓錐母線，該圓錐軸的高，其軸截面頂角為，，，，因此該圓錐軸截面是銳角三角形，是經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)的截面中的最大截面，所以最大截面面積等于.故答案為：【變式3】已知圓錐底面半徑為，高為1，則過(guò)圓錐的母線的截面面積的最大值為．【答案】【分析】依題意求得圓錐的母線長(zhǎng)，確定軸截面的頂角，從而求出截面面積的取值的最大值，由此得解．【詳解】依題意，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，圓錐的底面半徑為，高為1，，設(shè)圓錐的軸截面的兩母線夾角為，則，，，則過(guò)該圓錐的母線作截面，截面上的兩母線夾角設(shè)為，故截面的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故截面的面積的最大值為2．故答案為：2.【變式4】已知圓錐的底面半徑為，高為1，則過(guò)圓錐的頂點(diǎn)的截面面積的最大值為．【答案】2【分析】根據(jù)題意，由余弦定理可得圓錐的軸截面的兩母線夾角，再結(jié)合三角形的面積公式，即可得到結(jié)果.【詳解】依題意，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，因?yàn)閳A錐的底面半徑為，高為1，所以，設(shè)圓錐的軸截面的兩母線夾角為，則，因?yàn)?，所以，則過(guò)該圓錐的頂點(diǎn)做截面，截面上的兩母線夾角為，，故截面的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故截面面積的最大值為.故答案為：題型06椎體表面最短距離問(wèn)題【典例1】如圖，在三棱錐中，平面，，，為線段的中點(diǎn)，分別為線段和線段上任意一點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)題意，證得平面，得到，根據(jù)，得到，進(jìn)而得到，進(jìn)而得到為的中點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，即可求解.【詳解】因?yàn)槠矫妫?，所以，又因?yàn)?，，因?yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，在中，可得，在中，，故，則，又因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，為的中點(diǎn)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，為的中點(diǎn)，綜上所述，的最小值是.故答案為：【變式1】如圖，在三棱錐中，，，過(guò)點(diǎn)作截面，則周長(zhǎng)的最小值為.

【答案】【分析】根據(jù)圖形推出截面周長(zhǎng)最小值的情形，確定展開(kāi)圖的有關(guān)的角，利用勾股定理求出距離即可.【詳解】如圖，

沿著側(cè)棱把正三棱錐展開(kāi)在同一個(gè)平面內(nèi)，原來(lái)的點(diǎn)被分到兩處，則線段的長(zhǎng)度即為周長(zhǎng)的最小值.在中，，，故，所以.故答案為：.【變式2】半正多面體亦稱“阿基米德體”“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.某半正多面體由4個(gè)正三角形和4個(gè)正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成.在如圖所示的半正多面體中，若其棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M，N分別在線段，上，則的最小值為.

【答案】【分析】將幾何體展開(kāi)為平面，且在線段兩側(cè)（兩線段在兩點(diǎn)之間），利用兩點(diǎn)之間線段最短求的最小值.【詳解】由題設(shè)，該半正多面體的展開(kāi)圖如下圖示，

根據(jù)已知及幾何體結(jié)構(gòu)知：，，且，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在展開(kāi)圖中共線時(shí)等號(hào)成立.故答案為：【變式3】《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，在鱉臑中，平面分別為棱，上一點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)題意，求得，作出將沿著轉(zhuǎn)動(dòng)到四點(diǎn)共面的平面圖形，利用兩角和的正弦公式得，進(jìn)而求解即可.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又平面，所以平面，平面，則.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，則，所以，如圖，將沿著轉(zhuǎn)動(dòng)到四點(diǎn)共面，此時(shí)過(guò)作于，則的最小值為故答案為：.【變式4】如圖，一個(gè)立在水平地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為2，一只小蟲(chóng)從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)P處，若該小蟲(chóng)爬行的最短路程為，則圓錐底面圓的半徑等于．【答案】【分析】先根據(jù)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖得：為小蟲(chóng)爬行的最短路徑；再根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得；最后根據(jù)底面圓周長(zhǎng)等于的長(zhǎng)度即可得出答案.【詳解】把圓錐側(cè)面沿母線展開(kāi)成如圖所示的扇形，則為小蟲(chóng)爬行的最短路徑.依題意：小蟲(chóng)爬行的最短路程為.因?yàn)槟妇€長(zhǎng)，所以在中．則由弧長(zhǎng)公式得：．設(shè)圓錐底面圓的半徑為r.則，解得故答案為：題型07椎體表面積與側(cè)面積【典例1】在中，，，，現(xiàn)以所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的表面積為.【答案】【分析】由題意可得是以為直角的直角三角形，可得以所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為圓錐，據(jù)此計(jì)算可求幾何體的表面積．【詳解】因?yàn)樵谥?，，所以，所以是以為直角的直角三角形，故以所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為圓錐，所以圓錐的底面半徑為4，母線長(zhǎng)為5，所以底面周長(zhǎng)為，側(cè)面積為，所以幾何體的表面積為．故答案為：.【變式1】如圖已知點(diǎn)在圓錐的底面圓周上，為圓錐頂點(diǎn)，為圓錐的底面中心，且圓錐的底面積為，，若與截面所成角為，則圓錐的側(cè)面積為.【答案】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，由底面面積為可求，證明為直線與截面所成的角，解三角形求，由此可求圓錐的側(cè)面積.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，因?yàn)閳A錐的底面積為，所以，故，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，由已知平面，平面，所以，，平面，所以平面，所以在平面上的射影為，所以為直線與截面所成的角，由已知，又，所以為等邊三角形，故，因?yàn)?，，由余弦定理可得，所以，所以，所以圓錐的側(cè)面積為.故答案為：.【變式2】已知四棱錐如圖所示，其中底面為長(zhǎng)為4，寬為3的長(zhǎng)方形，頂點(diǎn)在底面的投影為底面中心，高為2．則該幾何體的體積，表面積．【答案】8【分析】由三棱錐的體積公式求解，表面積先計(jì)算各個(gè)側(cè)面的斜高再計(jì)算即可．【詳解】幾何體的體積為．正側(cè)面及相對(duì)側(cè)面底邊上的高為．左、右側(cè)面的底邊上的高為．故幾何體的表面積為．故答案為：8，【變式3】如圖，已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，則四棱錐的表面積為【答案】【分析】利用正四棱柱的性質(zhì)求解各個(gè)面的面積，再求和計(jì)算表面積即可.【詳解】因?yàn)檎睦庵牡酌孢呴L(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，而面，所以，由題意得四邊形是正方形，所以由勾股定理得，而，所以四邊形是平行四邊形，又，所以四邊形是矩形，其面積為，而，，，由勾股定理得如圖，在中，找中點(diǎn)，則，所以，由勾股定理得，所以，綜上四棱錐的表面積為.故答案為：【變式4】若一個(gè)圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合，且內(nèi)切球的半徑為，則該圓錐的側(cè)面積為．【答案】【分析】作出截面圖形，由圓錐的側(cè)面積公式結(jié)合題意計(jì)算可得.【詳解】過(guò)圓錐的旋轉(zhuǎn)軸作軸截面，得及其內(nèi)切圓和外接圓，且兩圓同圓心，即的內(nèi)心與外心重合，所以為正三角形，由題意的半徑為，所以的邊長(zhǎng)為6，所以圓錐的底面半徑為3，所以圓錐的側(cè)面積．故答案為：.題型08椎體體積【典例1】設(shè)是同一個(gè)半徑為的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為.【答案】/【分析】利用球的截面圓的性質(zhì)得球心到所在平面的距離，進(jìn)而得到所在平面的距離的最大值，再根據(jù)三棱錐的體積公式，即可求解.【詳解】設(shè)的邊長(zhǎng)為，由題知，解得，設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理，得到，解得，設(shè)球心到所在平面的距離為，由球的截面圓的性質(zhì)知，要使三棱錐體積的最大，則在所在平面的投影為的中心，且到所在平面距離的最大值為，所以三棱錐體積的最大值為.故答案為：.【變式1】已知四面體的三組對(duì)棱相等，依次為，，5，則該四面體的體積為．【答案】8【分析】根據(jù)題意可將四面體補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，然后列出相應(yīng)方程組，從而可求解.【詳解】如圖，把四面體補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為．易知，，，聯(lián)立以上三式，解得，，．故．故答案為：8.【變式2】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中描述了一種五面體——芻甍（chú

méng），其底面為矩形，頂棱和底面矩形的一組對(duì)邊平行.現(xiàn)有如圖所示——芻甍，，側(cè)面和為等邊三角形，且與底面所成角相等；若，E到底面的距離為，則該芻甍的體積為.【答案】【分析】將其分割成兩個(gè)三棱錐和一個(gè)直三棱柱，求出所需棱長(zhǎng)即可體積.【詳解】記的中點(diǎn)分別為，連接，易知，又，所以，因?yàn)闉檎切?，所以，因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)的兩條相交直線，所以平面，又平面，所以平面平面，過(guò)作，過(guò)分別作的平行線，如圖，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，所以平面，平面，所以，，所以，因?yàn)槠矫妫裕字?，是平面?nèi)的兩條相交直線，所以平面，同理平面，所以為直三棱柱，因?yàn)?，所以，所以該芻甍的體積為.故答案為：【變式3】已知中，，將頂點(diǎn)繞棱AB旋轉(zhuǎn)到，當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為.【答案】/【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定三棱錐的特征，求出其高即可求得體積.【詳解】在三棱錐中，，由，得，則，取中點(diǎn)，連接，則，顯然，則，又，平面，因此平面，三棱錐的體積.故答案為：【變式4】圓O的半徑為3，從中剪出扇形AOB圍成一個(gè)圓錐無(wú)底，當(dāng)所得的圓錐的體積最大時(shí)，圓心角為.【答案】【分析】根據(jù)題意，所得的圓錐的底面半徑為r，則圓錐的體積，利用基本不等式的性質(zhì)分析所得的圓錐的體積最大時(shí)r的值，進(jìn)而求出此時(shí)的圓心角，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，所得的圓錐的底面半徑為r，則該圓錐的高，則圓錐的體積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)圓錐的底面周長(zhǎng)為，其圓心角，故答案為：.題型09內(nèi)切球問(wèn)題【典例1】已知經(jīng)過(guò)圓錐SO的軸的截面是頂角為的等腰三角形，用平行于底面的截面將圓錐SO分成兩部分，若這兩部分幾何體都存在內(nèi)切球（與各面均相切），且上、下兩部分幾何體的體積之比是1：7，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出圓錐的軸截面，根據(jù)題意推出圓臺(tái)的上、下底面半徑之比為，設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為，圓臺(tái)存在內(nèi)切球可得圓臺(tái)的母線，在中，由余弦定理可求．【詳解】如圖，作出圓錐的軸截面，上部分小圓錐一定有內(nèi)切球，故只需下部分圓臺(tái)有內(nèi)切球即可，設(shè)圓臺(tái)的內(nèi)切球的球心，由上、下兩部分幾何體的體積之比是，可得截得的小圓錐與原圓錐的體積之比為，從而可得圓臺(tái)上下底面圓半徑之比為，設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為，則圓臺(tái)下底面半徑為，圓臺(tái)存在內(nèi)切球時(shí)，由切線長(zhǎng)定理可得圓臺(tái)母線長(zhǎng)，則可得圓錐的母線，所以圓錐的軸截面等腰三角形底邊，在中，由余弦定理可得.故選：C.【變式1】某圓錐的底面直徑和高均是2，則其內(nèi)切球（與圓錐的底面和側(cè)面均相切）的半徑為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】作出圓錐的軸截面，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，利用三角形面積關(guān)系建立關(guān)于R的方程，解之即可求解.【詳解】圓錐的軸截面如圖所示，設(shè)內(nèi)切球的球心為D，半徑為R，則，所以，又，即，解得，即內(nèi)切球的半徑為.故選：B【變式2】如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)．我們來(lái)重溫這個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)，圓柱的表面積與球的表面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓柱的表面積公式和球的表面積公式求解．【詳解】設(shè)球半徑為，則圓柱底面半徑為，高為，所以圓柱的表面積與球的表面積之比為，故選：C．【變式3】如圖，在三棱錐中，，，若三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，則此三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，并延長(zhǎng)交底面于點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交于，由于三棱錐是正四面體，因此是底面三角形中心，是中點(diǎn)，由球表面積求得球半徑，在直角三角形中求出正四面體的棱長(zhǎng)，然后由體積公式計(jì)算．【詳解】連接，并延長(zhǎng)交底面于點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交于，在三棱錐中，，，三棱錐是正四面體，是的中心，平面，三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，，解得球的半徑，設(shè)，則，，，，，，解得，，此三棱錐的體積為.故選：D.【變式4】四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，且，設(shè)該四棱錐的外接球球心與內(nèi)切球球心分別為，，則的長(zhǎng)為（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】由題設(shè)可知正四棱錐底面邊長(zhǎng)為側(cè)棱長(zhǎng)為，進(jìn)而求出外接球的半徑，應(yīng)用等體積法求內(nèi)切球的半徑，即可求解.【詳解】因?yàn)樗睦忮F的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，且，為正四棱錐，設(shè)底面中心為,則四棱錐外接球球心及內(nèi)切球球心都在上，設(shè)外接球球心為，半徑為.連接，則有.四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，在中，，由得，，整理得，.設(shè)內(nèi)切球的半徑為，中，，，所以，所以四棱錐表面積為，由，即，∴，則的長(zhǎng)為.故選：B.題型10外接球問(wèn)題【典例1】已知三棱錐，點(diǎn)到平面的距離是，則三棱錐的外接球表面積為．【答案】【分析】根據(jù)題意求得外接圓的半徑，再利用勾股定理證得平面，從而利用側(cè)棱垂直于底面的三棱錐的外接球的性質(zhì)即可得解.【詳解】記為的中點(diǎn)，連接，由題意知，且，所以外接圓的直徑為，且，即半徑，過(guò)作平面，因?yàn)槠矫?，則，又點(diǎn)到平面的距離是，即，而，所以，同理，又，所以是同一個(gè)點(diǎn)，所以平面，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則，則三棱錐的外接球表面積為.故答案為：【變式1】某圓臺(tái)的上下底面半徑分別為1和2，若它的外接球表面積為，則該圓臺(tái)的高為.【答案】【分析】由球體面積求球體半徑，結(jié)合圓臺(tái)軸截面外接圓為外接球最大截面圓，根據(jù)已知條件即可求圓臺(tái)的高.【詳解】若外接球半徑，則，可得，由圓臺(tái)軸截面外接圓為外接球最大截面圓，如下圖于，所以，則該圓臺(tái)的高.故答案為：【變式2】已知三棱錐，底面，，，，，則三棱錐的外接球表面積為.【答案】【分析】由題意將此三棱錐放在長(zhǎng)方體中，可得此三棱錐的外接球與這個(gè)長(zhǎng)方體的外接球相同，由題意可得長(zhǎng)方體的對(duì)角線，而長(zhǎng)方體的對(duì)角線與其外接球的直徑相同，進(jìn)而求出外接球的表面積．【詳解】解：因?yàn)槿忮F，底面，，，，，所以將此三棱錐放在長(zhǎng)方體中，可得此三棱錐的外接球與這個(gè)長(zhǎng)方體的外接球相同，由題意可得長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為，由長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的其外接球的直徑，所以，即，所以外接球的表面積，故答案為：．【變式3】三棱錐中，面，，，則三棱錐的外接球表面積為.【答案】【分析】根據(jù)題中條件，得到，可將該三棱錐放在一個(gè)底面邊長(zhǎng)為，高為的長(zhǎng)方體中，該三棱錐的外接球，即是該長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)外接球半徑為，根據(jù)題中條件求出半徑，即可得出球的表面積.【詳解】因?yàn)槊?，，，所以，則，所以可將該三棱錐放在一個(gè)底面邊長(zhǎng)為，高為的長(zhǎng)方體中，如圖；則該三棱錐的外接球，即是該長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)外接球半徑為，又長(zhǎng)方體的外接球直徑等于體對(duì)角線的長(zhǎng)，則，所以三棱錐的外接球表面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查求幾何體外接球的表面積，熟記球的表面積公式，以及幾何體的結(jié)構(gòu)特征即可，屬于?？碱}型.【變式4】三棱錐中，平面平面，，，則三棱錐的外接球表面積的最小值為.【答案】【分析】設(shè)球的半徑為，構(gòu)造直角三角形計(jì)算的最小值，即可求得三棱錐外接球表面積的最小值.【詳解】設(shè)為球心，過(guò)作平面，垂足為，則是的外心，連接，得是等邊三角形，設(shè)其邊長(zhǎng)為，連接，，過(guò)點(diǎn)做，垂足為；因?yàn)椋适蔷€段的中點(diǎn)，四邊形為矩形，設(shè)，則；因?yàn)?，故；設(shè)球的半徑為，則，故三棱錐外接球表面積的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐外接球表面積，屬于基礎(chǔ)題.1．若一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面圓的半徑分別為3和8．母線長(zhǎng)為13，則該圓臺(tái)的體積為．【答案】【分析】先求出圓臺(tái)的高，再由圓臺(tái)的體積公式求解即可．【詳解】因?yàn)閳A臺(tái)的上、下底面半徑分別為3和8，母線為13，所以圓臺(tái)的高為：，由圓臺(tái)的體積公式，求得圓臺(tái)體積為：．故答案為：2．已知正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為2，下底面邊長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該正四棱臺(tái)的體積為．【答案】28【分析】根據(jù)題意先求出棱臺(tái)的高，然后利用棱臺(tái)體積公式求解.【詳解】如圖所示，為正四棱臺(tái)，連接，由，得，過(guò)作，為垂足；過(guò)作，為垂足，則，，又，在中，得，所以正四棱臺(tái)的高，正四棱臺(tái)上下底面積分別為4和16，體積.故答案為：283．已知某圓柱的外接球的表面積為，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為．【答案】【分析】根據(jù)球的表面積求出半徑，建立圓柱高和半徑的方程，求出圓柱側(cè)面積解析式，利用基本不等式求解最大值.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為、高為，球的半徑為，由題知，解得，由圓柱的軸截面性質(zhì)知，所以該圓柱的側(cè)面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即該圓柱的側(cè)面積的最大值為.故答案為：.4．已知圓柱的底面直徑與球的半徑均為2，且圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等，則圓柱的母線長(zhǎng)為.【答案】8【分析】設(shè)圓柱的母線長(zhǎng)為，根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式和球的表面積公式列方程求解即可.【詳解】設(shè)圓柱的母線長(zhǎng)為，則圓柱的側(cè)面積為，易知球的表面積為，所以，解得.故答案為：85．如圖，在正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，則正方體被平面所截得的截面周長(zhǎng)是.【答案】【分析】首先確定截面的位置和特征，然后根據(jù)已知條件中的線段和角的關(guān)系求截面的周長(zhǎng)即可.【詳解】在正方體中，取的中點(diǎn),的中點(diǎn)為,連接，由是的中點(diǎn)，得，則四邊形，，由是的中點(diǎn)，得，梯形是正方體被平面所截得的截面，，所以所求截面的周長(zhǎng)是.故答案為：.6．在三棱錐中，，，則該三棱錐外接球的表面積為．【答案】【分析】解法一：通過(guò)計(jì)算邊長(zhǎng)，借助于勾股定理可得，取PA的中點(diǎn)，連接OB，OC，易得，即可得到點(diǎn)為三棱錐的外接球球心，求出其半徑即得其表面積；解法二：將三棱錐補(bǔ)形成一個(gè)長(zhǎng)方體，根據(jù)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即三棱錐的外接球直徑，求出其半徑即得其表面積.【詳解】解法一：如上圖，因?yàn)?，則可得，由，可得．取PA的中點(diǎn)，連接OB，OC，易得，所以點(diǎn)為三棱錐的外接球球心，且球的半徑，故該三棱錐外接球的表面積為.解法二：由已知及法一分析，可將三棱錐補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，如上圖所示，則三棱錐的外接球直徑即長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).因，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，所以三棱錐外接球的半徑，故該三棱錐外接球的表面積為．故答案為：.7．正三棱柱中，，若其六個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為的球面上，則此三棱柱的側(cè)面積為．【答案】36【分析】結(jié)合已知條件，利用正三棱柱外接球的性質(zhì)和勾股定理求出棱長(zhǎng)，進(jìn)而計(jì)算三棱柱的側(cè)面積.【詳解】如圖，設(shè)為正三棱柱外接球的球心，為底面的中心，連接，，，則平面，即正三棱柱外接球的半徑.設(shè)，則，由對(duì)稱性可知，在中，，即，得，故，所以正三棱柱的側(cè)面積．故答案為：36.8．在四面體ABCD中，，則四面體ABCD的外接球的體積為.【答案】/【分析】將四面體放入長(zhǎng)方體中，利用長(zhǎng)方體的處接球即為四面體的外接球，求解即可.【詳解】將四面體放入長(zhǎng)方體中，如圖所示：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為，則，所以，設(shè)長(zhǎng)方體的外接球半徑為，則，解得，又長(zhǎng)方體的處接球即為四面體的外接球，所以