15/152025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考卷提升卷·全解全析（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：120分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：滬教版2020必修三第10章+第11章。一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．已知，則直線與的位置關(guān)系為.【答案】平行或異面【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可判斷.【詳解】因?yàn)椋灾本€與不相交，可能平行或異面.故答案為：平行或異面.2．已知某球體的半徑為，當(dāng)擴(kuò)大為原來的3倍時(shí)，則球的表面積擴(kuò)大為原來的倍．【答案】【分析】利用球體的表面積公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】球的半徑為時(shí)，球的表面積為，球的半徑擴(kuò)大為后，球的表面積為，所以，即表面積變?yōu)樵瓉淼谋?故答案為：.3．用斜二測畫法畫出的水平放置的的直觀圖如圖，其中，若原的面積為2，則．【答案】1【分析】根據(jù)斜二測畫法原則可還原，利用面積公式計(jì)算即可．【詳解】由直觀圖可還原，如圖：其中，又，因此，所以．故答案為：．4．已知一個(gè)棱長為1的正方體，它的所有頂點(diǎn)均在一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積為．【答案】【分析】先求出正方體的對角線長度，再根據(jù)正方體的對角線是其外接球的直徑求出外接球的半徑，最后利用球的體積公式計(jì)算求解.【詳解】設(shè)正方體棱長為，對角線為，則，.因?yàn)檎襟w的所有頂點(diǎn)均在一個(gè)球面上，所以正方體的對角線是該球的直徑，即，所以.根據(jù)球的體積公式.故答案為：5．如圖，平面，點(diǎn)為垂足，平面若，則.【答案】【分析】設(shè)，易得，由平面證得，結(jié)合可得平面，則有，利用多個(gè)直角三角形即可求得.【詳解】設(shè)，因，則，因平面，平面，則，又平面，故平面，因平面，則.在中，則，在中，，故.故答案為：.6．已知m，n是兩條不同的直線，表示平面，則下列命題中正確的是：（填序號）①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則．【答案】③【分析】根據(jù)空間中線面的位置關(guān)系一一判斷即可.【詳解】若，，則或，故①錯(cuò)誤；若，，則或或與相交，故②錯(cuò)誤；由線面垂直的性質(zhì)定理可知，③正確；若，，則或，故④錯(cuò)誤．故答案為：③7．如圖所示，△ABC和△A′B′C′的對應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA′，BB′，CC′交于同一點(diǎn)O，且，則．【答案】【分析】由等角定理得，，可得∽，繼而即可求解.【詳解】因?yàn)?，且＝＝，所以，同理，，因?yàn)?，所以，同理，所以∽，且＝＝，所以．故答案為?8．在直三棱柱中，，直線與平面的夾角為，該直三棱柱的體積為.【答案】/【分析】連接，先證明平面，即得為與平面所成的角，由此求得，進(jìn)而求得，利用棱柱體積公式計(jì)算即得答案.【詳解】如圖，在直三棱柱中，因?yàn)?，則，又平面，平面，所以，又，平面，故平面，連接，則為與平面所成的角，即，因?yàn)?，所以，在中，，解得，所?所以直三棱柱的體積為.故答案為：.9．已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，底面，若，則該四棱錐的內(nèi)切球的體積為．.【答案】【分析】先求出四棱錐的表面積和體積，再利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑，最后根據(jù)球的體積公式計(jì)算出內(nèi)切球的體積.【詳解】如圖所示，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危裕驗(yàn)榈酌?，底面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，故為直角三角形，同理為直角三角形．因?yàn)椋?，所以，所以四棱錐的表面積，體積．設(shè)內(nèi)切球半徑為，則，得，故四棱錐內(nèi)切球的體積為．故答案為：10．如圖，水平的廣場上有一盞路燈掛在高9m的電線桿頂上，記電線桿的底部為點(diǎn).把路燈看作一個(gè)點(diǎn)光源，身高1.5m的女孩站在離點(diǎn)5m的點(diǎn)處，若女孩沿方向前行5m到達(dá)點(diǎn)，此時(shí)為的中點(diǎn)，然后從點(diǎn)出發(fā)沿著以為對角線的正方形走一圈，則女孩走一圈時(shí)頭頂影子的軌跡圍成圖形的面積為.

【答案】18【分析】根據(jù)題意可知，女孩頭頂?shù)挠白榆壽E所圍成的圖形是一個(gè)正方形，由此可求得女孩頭頂?shù)挠白榆壽E所圍成的圖形面積.【詳解】把路燈看作一個(gè)點(diǎn)光源，女孩走一圈時(shí)頭頂影子的軌跡與點(diǎn)光源構(gòu)成一個(gè)四棱錐，

頭頂軌跡為截面，與底面距離為，截面是正方形，底面即女孩走一圈時(shí)頭頂影子的軌跡也是正方形，相似比為，截面面積與底面面積之比為相似比的平方，截面邊長為，設(shè)底面面積為，則5222S故答案為：18.11．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，.則二面角的大小

【答案】【分析】過作交于，連接，由線面垂直的性質(zhì)結(jié)合勾股定理可得，則，再根據(jù)二面角的定義可知即為二面角的平面角，求即可.【詳解】如圖過作交于，連接，

因?yàn)榈酌?，底面，所以，，，因?yàn)榈酌媸钦叫?，，所以由勾股定理可得，即，又，，所以，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫约礊槎娼堑钠矫娼牵驗(yàn)?，由勾股定理可得，，，設(shè)，則，所以由得，解得，所以，在中由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，即二面角的大小為，故答案為?2．如圖，在四邊形中，，，對角線，是線段上除端點(diǎn)外任一點(diǎn)，將沿翻折成，使二面角的大小為，設(shè)異面直線和所成的角為，則的最小值是．【答案】【分析】本題可先找出在平面上的射影，通過相關(guān)幾何關(guān)系得到與平面所成角，再利用異面直線所成角與線面角的關(guān)系求解的最小值.【詳解】過作平面，垂足為，過作于，連接.二面角的大小為，.在中，，，，則由余弦定理可得，所以.設(shè)到的距離為，則由等面積法有，解得，則.又，，設(shè)與平面所成角為，則.由最小角定理可知，與平面所成角即為異面直線和所成角的最小角，所以.故答案為：.二、選擇題(本題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng))13．已知直線和四個(gè)不重合的平面，，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則【答案】D【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系直接判斷.【詳解】若，，則或，相交，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；若，，則或，相交，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若，，，則，可以成任何大小的角，如圖所示，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)椋诿鎯?nèi)過點(diǎn)作交線的垂線，由面面垂直性質(zhì)定理可知，則.同理，在面內(nèi)過點(diǎn)作交線的垂線，由面面垂直性質(zhì)定理可知，則，又，所以，D選項(xiàng)正確；故選：D.14．祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．它是中國古代一個(gè)涉及幾何體體積的問題，意思是兩個(gè)同高的幾何體，如果在等高處的截面積恒相等，那么體積相等．設(shè)A，B為兩個(gè)同高的幾何體，p：A，B的體積不相等，q：A，B在等高處的截面積不恒相等，根據(jù)祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用祖暅原理的含義可判斷，利用同一圓錐正放與倒放，可得推不出，進(jìn)而可得結(jié)論.【詳解】由“冪勢既同，則積不容異”的含義可知，在等高處的截面積恒相等，則體積相等，則可知“若體積不相等，在等高處的截面積不恒相等”，故，反之，如同一圓錐正放與倒放，它們在等高處的截面積不恒相等，但體積相等，所以“在等高處的截面積不恒相等未必幾何體的體積不相等”，故不能推出，所以是的充分不必要條件.故選：A.15．如圖，可任意轉(zhuǎn)動(dòng)的正方體容器（忽略容器的器壁厚度）內(nèi)部裝滿了水，為的中點(diǎn)，在點(diǎn)的位置鑿出三個(gè)小洞（將三個(gè)小洞視為質(zhì)點(diǎn)），則這個(gè)容器最多可盛原來水的（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】要使容器可盛水最多，需讓平面為水平面，取的中點(diǎn)，則所在平面為，所以容器可盛水最多時(shí)水的體積等于正方體體積減去三棱錐的體積和四棱錐的體積之和，求出體積即可求解.【詳解】根據(jù)題意可知要使容器可盛水最多，需讓平面為水平面，取的中點(diǎn)，連接，，，，由于，所以四點(diǎn)共面，

則所在平面為，所以容器可盛水最多時(shí)水的體積等于正方體體積減去三棱錐的體積和四棱錐的體積之和.不妨設(shè)正方體的邊長為2，則正方體的體積，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為2，，所以，點(diǎn)到平面的距離為1，，所以，所以容器最多可盛原來水的，故選：B16．某折疊餐桌的使用步驟如圖所示，有如下檢查項(xiàng)目：項(xiàng)目①：折疊狀態(tài)下（如圖1），檢查四條桌腿長相等；項(xiàng)目②：打開過程中（如圖2），檢查；項(xiàng)目③：打開過程中（如圖2），檢查；項(xiàng)目④：打開后（如圖3），檢查；項(xiàng)目⑤：打開后（如圖3），檢查.下列檢查項(xiàng)目的組合中，可以正確判斷“桌子打開之后桌面與地面平行”的是（

）A．①②③ B．③④⑤ C．②③⑤ D．②④⑤【答案】C【分析】根據(jù)面面平行的判定，考查是否可以得到線線平行，轉(zhuǎn)化為線面平行，得到面面平行．【詳解】項(xiàng)目①，折疊狀態(tài)下（如圖1），四條桌腿長相等時(shí)，桌面與地面不一定平行；項(xiàng)目②，打開過程中（如圖2），若，可以得到線線平行，從而得到面面平行；項(xiàng)目③，打開過程中（如圖2），檢查，可以得到線線平行，從而得到面面平行；項(xiàng)目④，打開后（如圖3），檢查，桌面與地面不一定平行；項(xiàng)目⑤，打開后（如圖3），檢查，可以得到線線平行，從而得到面面平行，故選：C．三、解答題(本大題共有5題，滿分78分，第17-19題每題14分，第20、21題每題18分.)17．（14分）如圖，在正三棱柱中，，是的中點(diǎn).

(1)證明：平面.(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）將證明線面平行問題轉(zhuǎn)換為證明線線平行問題，即在平面內(nèi)尋找一條直線與要求直線平行；（2）通過等體積法求距離【詳解】（1）

證明：連接并與交于點(diǎn)，連接.在正三棱柱中，四邊形為矩形，則是的中點(diǎn).因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.又平面平面，所以平面.（2）由（1）可知平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.因?yàn)槿庵鶠檎庵?，所以平?又平面，所以.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)椋云矫?由，可得.連接，則.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則.由，得，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.18．（14分）如圖，在四棱錐中，，，且.

(1)求證：；(2)若，求平面與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用直角梯形特征證得，再利用線面垂直的判定性質(zhì)推理得證.（2）利用余弦定理求出，再利用線面垂直的判定，結(jié)合定義法求出二面角的余弦值.【詳解】（1）在直角梯形中，，，連接，，，則，，而，平面，因此平面，又平面，所以.

（2）由（1）得，，則，，又，平面，因此平面，而平面，則，作交于，連接，則，而平面，于是平面，又平面，則，是平面與平面所成的角，，又，則，所以平面與平面所成角的余弦值.19．（14分）如圖，一塊正方體木料，面上有一點(diǎn)，(1)經(jīng)過點(diǎn)在面上能否畫一條直線，使其與垂直，若可以，該怎么畫，在答題紙上作圖，寫出作圖過程并加以證明；若不能，說明理由.(2)若正方體棱長為2，為線段中點(diǎn)，求直線與面所成角的正弦值.【答案】(1)可以，作圖過程見解析，證明見解析;(2).【分析】（1）連接，在平面上過點(diǎn)作直線,則，再利用線面垂直證明線線垂直即可；（2）在平面上，過點(diǎn)作，則是的中點(diǎn)，先證明平面,可得為斜線與平面所成的角，進(jìn)而可得答案.【詳解】（1）過點(diǎn)在面上能畫一條直線，使其與垂直,如圖所示，連接，在平面上過點(diǎn)作直線,則，證明：在正方體中易得：面，因?yàn)槊妫?又因?yàn)?,且面，所以面，因?yàn)槊妫?（2）在平面上，過點(diǎn)作，則是的中點(diǎn)，連接,在正方體中易得：面,因?yàn)槊?所以,因?yàn)?且面，所以面，所以為斜線在平面上的射影，故為斜線與平面所成的角.因?yàn)槊?，?所以，在直角三角形中易得,所以.故直線與面所成角的正弦值為.20．（18分）如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，直線平面．其中．(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)為上的動(dòng)點(diǎn)，以為直徑作球，設(shè)，若球與平面相交得到的截面圓的面積為，求的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由平面可得，由條件易得，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，由平面可推出即二面角的平面角，在中，利用三角函數(shù)定義即可求得答案；（3）先求得球的半徑為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則得點(diǎn)到平面的距離為，利用余弦定理求出相關(guān)邊與角，根據(jù)求得，接著利用球的截面圓性質(zhì)求出截面圓面積的表達(dá)式，借助于二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得其最小值.【詳解】（1）因是圓的直徑，則，因平面，平面，則，又平面，故平面.（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，由（1）平面，平面，則，因平面，故平面，又平面，則，即即二面角的平面角，因在中，由面積相等可得，則，則.（3）因，則，，則球的半徑為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則點(diǎn)到平面的距離為.在中，，由余弦定理，，則，則，在中，，則，由可得：，解得，設(shè)球與平面相交得到的截面圓半徑為，則，則，因，故當(dāng)時(shí)，21．（18分）如圖，直四棱柱中，是邊長為的等邊三角形，，，棱的中點(diǎn)為.(1)求證：平面；(2)現(xiàn)在將矩形以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至矩形，解答下列問題：（i）在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在，使得直線與直線所成角的余弦值為？若存在，求出滿足條件的；若不存在，請說明理由；（ii）在旋轉(zhuǎn)過程中，求直線與平面所成角的