2/37專題1.2椎體教學(xué)目標(biāo)1、探究錐體的體積公式的關(guān)系2、使學(xué)生能夠運(yùn)用體積公式求錐體的體積。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：通過對(duì)實(shí)物模型的觀察，歸納認(rèn)知棱錐、棱臺(tái)、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征教學(xué)難點(diǎn)：①理解棱錐、棱臺(tái)、圓錐、圓臺(tái)之間的關(guān)系．②能運(yùn)用棱錐、棱臺(tái)圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)和有關(guān)計(jì)算知識(shí)點(diǎn)01棱錐有一個(gè)面是三角形或平面多邊形，且不在這個(gè)面上的棱都有一個(gè)，這樣的多面體叫做；棱錐的底面：這個(gè)三角形或平面多邊形；棱錐的側(cè)面：其余的面；棱錐的側(cè)棱：不在底面上的棱；棱錐的頂點(diǎn)：所有側(cè)棱的；棱錐的高：頂點(diǎn)到底面的距離按照底面多邊形的邊數(shù)，棱錐可以分別稱為三棱錐、四棱錐、五棱錐等如果棱錐的底面是正多邊形，且底面中心與頂點(diǎn)的連線垂直于底面，那么這個(gè)棱錐叫做正棱錐；【說明】依據(jù)定義，正棱錐的每個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形，我們把這些等腰三角形底邊上的高稱為棱錐的斜高；【即學(xué)即練】關(guān)于正九棱錐，下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．正九棱錐有18條棱 B．正九棱錐的側(cè)棱都相等C．正九棱錐有18個(gè)面 D．正九棱錐的底面是正九邊形知識(shí)點(diǎn)02圓錐以直角三角形的一條所在直線為，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面?zhèn)让妫褐苯侨切蔚男边呅D(zhuǎn)而成的曲面母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊錐體：棱錐和圓錐統(tǒng)稱為錐體（2）圓錐的圖形（3）圓錐的表示用表示它的軸的字母表示，如圖，【即學(xué)即練】已知圓錐底面半徑為，側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則此圓錐的母線長(zhǎng)為知識(shí)點(diǎn)03棱臺(tái)用一個(gè)于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把和之間的那部分多面體叫做上底面：原棱錐的截面下底面：原棱錐的底面?zhèn)让妫撼舷碌酌嬉酝獾拿鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點(diǎn)（2）棱臺(tái)的圖形（3）棱臺(tái)的分類及表示由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺(tái)分別叫做三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)……用各頂點(diǎn)字母表示棱柱，如棱臺(tái)【即學(xué)即練】已知正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，高為1，則該正四棱臺(tái)的下底面邊長(zhǎng)為．知識(shí)點(diǎn)04圓臺(tái)用于圓錐底面的平面去截圓錐，和之間的部分叫做軸：圓錐的軸底面：圓錐的底面和截面?zhèn)让妫簣A錐的側(cè)面在底面與截面之間的部分母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分臺(tái)體：棱臺(tái)和圓臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體（2）圓臺(tái)的圖形（3）圓臺(tái)的表示用表示它的軸的字母表示，如圖，【即學(xué)即練】已知圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為5，側(cè)面積為，則圓臺(tái)的高為.知識(shí)點(diǎn)05椎體、臺(tái)體體積錐體的體積公式(為底面面積，為高)；臺(tái)體的體積公式(,分別為上下底面面積，為臺(tái)體的高)【即學(xué)即練】已知圓臺(tái)的上底面半徑和母線長(zhǎng)均為2，下底面半徑為3，則圓臺(tái)的體積為．知識(shí)點(diǎn)06椎體、臺(tái)體表面積和側(cè)面積1.棱錐、棱臺(tái)的表面積棱錐、棱臺(tái)是由多個(gè)平面圖形圍成的多面體，它們的表面積就是各個(gè)面的面積和；（4）正棱臺(tái)：被平行于底面的平面所截，和之間的部分叫做正棱臺(tái)．2、幾種簡(jiǎn)單幾何體的側(cè)面展開圖與側(cè)面積幾何體側(cè)面展開圖側(cè)面積公式直棱柱S直棱柱側(cè)＝chc為底面周長(zhǎng)；h為高正棱錐S正棱錐側(cè)＝eq\f(1,2)ch′c為底面周長(zhǎng)；h′為斜高，即側(cè)面等腰三角形的高正棱臺(tái)S正棱臺(tái)側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′c′為上底面周長(zhǎng)，c為下底面周長(zhǎng)h′為斜高，即側(cè)面等腰梯形的高圓柱S圓柱側(cè)＝2πrlr為底面半徑，l為側(cè)面母線長(zhǎng)圓錐S圓錐側(cè)＝πrlr為底面半徑，l為側(cè)面母線長(zhǎng)；圓臺(tái)S圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)lr1為上底面半徑，r2為下底面半徑，l為側(cè)面母線長(zhǎng)【即學(xué)即練】已知圓錐的母線長(zhǎng)為，若軸截面為等腰直角三角形，則圓錐的表面積為.題型01棱錐的結(jié)構(gòu)特征【典例1】在三棱柱中，截去三棱錐后，剩余的部分是（

）A．五棱錐 B．四棱錐 C．三棱柱 D．三棱臺(tái)【變式1】下列說法中正確的是（

）①棱錐的各個(gè)側(cè)面都是三角形；②四面體的任何一個(gè)面都可以作為棱錐的底面；③棱錐的側(cè)棱平行．A．① B．①② C．② D．③【變式2】?jī)蓚€(gè)三棱錐、一個(gè)四棱錐拼在一起不可能拼成的是（

）A．一個(gè)三棱錐 B．一個(gè)四棱錐C．一個(gè)三棱柱 D．一個(gè)四棱柱【變式3】下列棱錐有6個(gè)面的是（）A．三棱錐 B．四棱錐 C．五棱錐 D．六棱錐【變式4】用一個(gè)平面去截一個(gè)三棱錐，截面形狀可能是．(填序號(hào))①三角形；②四邊形；③五邊形；④不可能為四邊形．題型02圓錐的結(jié)構(gòu)特征【典例1】如圖，直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)，所得的旋轉(zhuǎn)體為（

）A．圓錐 B．圓柱 C．圓臺(tái) D．球【變式1】下列關(guān)于圓錐的說法中，錯(cuò)誤的是（

）A．圓錐的軸截面是等腰三角形 B．圓錐的側(cè)面展開圖是扇形C．以直角三角形一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐 D．用平行于圓錐底面的平面截圓錐可以得到圓臺(tái)【變式2】正方形繞對(duì)角線所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體為（

）A．由兩個(gè)圓臺(tái)組成 B．由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)組成C．由兩個(gè)圓錐組成 D．由兩個(gè)棱臺(tái)組成【變式3】以一個(gè)等邊三角形的底邊所對(duì)應(yīng)的中線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是（

）A．一個(gè)圓柱 B．一個(gè)圓錐 C．一個(gè)圓臺(tái) D．兩個(gè)圓錐題型03棱錐的展開圖【典例1】如圖，在正四棱錐中，，．從A拉一條細(xì)繩繞過側(cè)棱PB到達(dá)C點(diǎn)，則細(xì)繩的最短長(zhǎng)度為．【變式1】如圖，在正四棱錐中，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過E點(diǎn)，爬到C點(diǎn)，則這只螞蟻爬行的路程的最小值是（

）A． B． C． D．【變式2】如圖，在四棱錐中，側(cè)棱長(zhǎng)均為，正方形的邊長(zhǎng)為，，分別是線段，上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．2 B．4 C． D．【變式3】如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC＝2，，A為銳角，側(cè)棱PA＝PB＝PC＝2，一只小蟲從A點(diǎn)出發(fā)，沿側(cè)面繞棱錐爬行一周后回到A點(diǎn)，則小蟲爬行的最短距離為（

）

A． B．C． D．【變式4】如圖，在三棱錐中，，，過點(diǎn)A作截面，分別交側(cè)棱PB，PC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則△AEF周長(zhǎng)的最小值為．題型04棱錐中的截面問題【典例1】在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥底面ABCD，.過點(diǎn)A作與棱PC垂直的平面α，則四棱錐P﹣ABCD截平面α所得截面的面積為.【變式1】已知正四棱錐的所有棱長(zhǎng)都等于3，點(diǎn)是的重心，過點(diǎn)作平面，若平面平面，則平面截正四棱錐的截面面積為（

）A． B． C． D．【變式2】已知四棱錐中，平面，四邊形為正方形，，平面過，，的中點(diǎn)，則平面截四棱錐所得的截面面積為（

）A． B． C． D．【變式3】如圖，空間四邊形的邊，成的角，且，，平行于與的截面分別交，，，于，則截面面積的最大值為.【變式4】已知正三棱錐底面面積=6，點(diǎn)在高上且，則經(jīng)過點(diǎn)且平行于底面的截面面積為.作出截面方法：①兩條平行直線確定唯一平面②兩條相交直線確定唯一平面③將椎體補(bǔ)充為柱體，尋找截面題型05圓錐中的截面有關(guān)的計(jì)算【典例1】已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓周上的兩點(diǎn)、滿足為等邊三角形，且面積為，又知圓錐軸截面的面積為8，則圓錐的側(cè)面積為.【變式1】已知圓錐的母線長(zhǎng)為，過圓錐的頂點(diǎn)作圓錐的截面，若截面面積的最大值為，則該圓錐底面半徑的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式2】已知圓錐的母線長(zhǎng)為10，高為5，則圓錐的軸截面的面積為.【變式3】若圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為1，圓心角為的半圓，則這個(gè)圓錐的軸截面面積等于.【變式4】某圓錐的側(cè)面展開圖是面積為，圓心角為的扇形，則該圓錐的軸截面的面積是.題型06圓錐中的展開圖和最短距離問題【典例1】圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)，一只螞蟻?zhàn)缘酌鎴A周上一點(diǎn)沿圓錐表面爬到過母線的軸截面上另一條母線的中點(diǎn)，問這只螞蟻爬行的最短距離為.【變式1】已知圓錐的高為，底面直徑的長(zhǎng)為，那么從點(diǎn)A出發(fā)沿該圓錐的表面到點(diǎn)B的最短路徑長(zhǎng)為．【變式2】如圖，圓錐的底面直徑，母線長(zhǎng)，點(diǎn)在母線上，且，有一只螞蟻沿圓錐的側(cè)面從點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，則這只螞蟻爬行的最短距離為．

【變式3】如圖是一座山的示意圖，山呈圓錐形，圓錐的底面半徑為5公里，側(cè)棱長(zhǎng)為20公里，B是上一點(diǎn)，且公里，為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設(shè)一條最短的從A繞山一周到B的觀光鐵路，這條鐵路從A出發(fā)后首先上坡，隨后下坡，則下坡段鐵路的長(zhǎng)度為公里【變式4】暑假將臨，大學(xué)生小明同學(xué)準(zhǔn)備利用假期探訪名勝古跡．已知某座山高聳入云，整體呈圓錐形，其半山腰（母線的中點(diǎn)）有一座古寺，與上山入口在同一條母線上，入口和古寺通過一條盤山步道相連，且當(dāng)時(shí)為了節(jié)省資金，該條盤山步道是按“到達(dá)古寺的路程最短”修建的．如圖，已知該座山的底面半徑，高，則盤山步道的長(zhǎng)度為，其中上山（到山頂?shù)闹本€距離減?。┖拖律剑ǖ缴巾?shù)闹本€距離增大）路段的長(zhǎng)度之比為.

將圓錐展開，在平面圖形中，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求解題型07椎體的體積【典例1】在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為線段的中點(diǎn)，則四面體的體積為．【變式1】已知三棱錐的底面ABC是等腰直角三角形，側(cè)面PBC是等邊三角形，且，，若平面PBC與底面ABC的夾角為30°，則三棱錐的體積為．【變式2】如圖1，在梯形中，，，，將沿折起，使得點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，得到三棱錐，如圖2所示，則三棱錐體積的最大值為.【變式3】已知正四棱臺(tái)的上底面的四個(gè)頂點(diǎn)都在圓錐的側(cè)面上，下底面的四個(gè)頂點(diǎn)都在圓錐的底面圓周上，且，則圓錐的體積為.【變式4】已知平行六面體中，各棱長(zhǎng)均為，，則四棱錐的體積為.題型08椎體的側(cè)面積和表面積【典例1】如圖已知點(diǎn)A，在圓錐SO的底面圓周上，S為圓錐頂點(diǎn)，O為圓錐的底面中心，且圓錐SO的底面積為4π，∠ASB=30°，若AB與截面SAO所成角為60°，則圓錐SO的側(cè)面積為【變式1】已知正四面體的體積為，則其表面積為．【變式2】已知圓錐底面半徑為2，母線長(zhǎng)為3，則此圓錐的側(cè)面積為．【變式3】有一正四面體木料，現(xiàn)欲對(duì)其進(jìn)行加工處理，將木料固定并將其過中心完整切開，若所得截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，則該木料的表面積為【變式4】一個(gè)腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形繞著它的一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)弧度，形成的幾何體的表面積為．正棱錐相關(guān)結(jié)論①正棱錐的底面為正多邊形；②正棱錐的頂點(diǎn)在底面上的射影為底面中心；③正棱錐的側(cè)面積等于它的底面周長(zhǎng)和斜高乘積的一半；④正三棱錐的對(duì)棱互相垂直．正四面體相關(guān)結(jié)論當(dāng)正四面體的棱長(zhǎng)為時(shí)，有以下結(jié)論：①正四面體的高為；②正四面體的表面積為，正四面體的體積為；③正四面體的內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為；④正四面體的側(cè)棱與底面夾角的余弦值為，相鄰兩個(gè)面組成的二面角的余弦值為．1．已知底面圓直徑為的圓錐的表面積與其側(cè)面積之比為，則該圓錐的高為．（用含的式子表示）2．已知點(diǎn)，，，在半徑為的同一球面上，且，，則三棱錐體積的最大值為．3．現(xiàn)有一塊棱長(zhǎng)為2的正四面體木料，用平行于該木料底面的一個(gè)平面將木料截成兩部分，若這兩部分的表面積相等，則該平面在木料上的截面面積為．4．已知圓錐的母線長(zhǎng)為3，其側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的表面積為．5．已知某圓錐的高為2，其側(cè)面展開圖為半圓，則該圓錐底面圓的半徑為．6．已知圓錐的底面半徑，高為，則這個(gè)圓錐的表面積是.7．聯(lián)結(jié)正方體各表面的中心構(gòu)成一個(gè)正八面體，則正八面體的體積和正方體的體積之比為.8．已知圓錐的底面積為，高為，則該圓錐的側(cè)面積為．9．如圖，水平的廣場(chǎng)上有一盞路燈掛在高9m的電線桿頂上，記電線桿的底部為點(diǎn).把路燈看作一個(gè)點(diǎn)光源，身高1.5m的女孩站在離點(diǎn)5m的點(diǎn)處，若女孩沿方向前行5m到達(dá)點(diǎn)，此時(shí)為的中點(diǎn)，然后從點(diǎn)出發(fā)沿著以為對(duì)角線的正方形走一圈，則女孩走一圈時(shí)頭頂影子的軌跡圍成圖形的面積為.

10．已知一個(gè)底面半徑為的圓錐側(cè)面展開圖形的面積是底面面積的2倍，則該圓