2/37專題06拓展練：空間角（線線角、線面角、二面角）問題題型一：線線角（定值）題型二：線線角（最值范圍）問題題型三：根據(jù)線線角求參數(shù)題型四：線面角（定值）題型五：直線與平面所成角（最值范圍）問題題型六：根據(jù)線面角求參數(shù)題型七：二面角（定值）題型八：二面角（最值范圍）問題題型九：根據(jù)二面角求參數(shù)題型一：線線角（定值）1．已知三棱錐，，，，為線段中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正弦值為.【答案】【分析】取中點(diǎn)，則，所以即為異面直線與所成角，根據(jù)題干求出各邊的長(zhǎng)，利用余弦定理求解即可.【詳解】設(shè)中點(diǎn)為，連接，，因?yàn)闉榫€段中點(diǎn)，所以，則或其補(bǔ)角即為異面直線與所成角，因?yàn)?，，，所以，，，所以在中由余弦定理可得，所以異面直線與所成角的正弦值為，故答案為：2．在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．如圖，四棱錐為陽馬，側(cè)棱底面ABCD，，E為棱PA的中點(diǎn)，則異面直線CE與PB所成角的大小為．【答案】【分析】利用作平行線作出異面直線CE與PB所成角，解三角形，即可求得答案.【詳解】在四棱錐中，設(shè)F為的中點(diǎn)，連接，由題意知四邊形為正方形，設(shè)，由于E為的中點(diǎn)，故，則即為異面直線CE與PB所成角或其補(bǔ)角，底面ABCD，底面ABCD，則,結(jié)合，則，又，則在中，，結(jié)合，則，即異面直線CE與PB所成角的大小為，故答案為：3．在平行六面體中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為．【答案】【分析】利用平行六面體的結(jié)構(gòu)特征確定異面直線所成的角，再借助空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律求出，進(jìn)而利用余弦定理求得答案.【詳解】在平行六面體中，，則是異面直線與所成角或其補(bǔ)角，而，，，，，，，在中，.故答案為：.4．如圖，將正方形沿對(duì)角線折起，并使得平面垂直于平面，若取圖中相關(guān)線段的中點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，則可求得直線與所成的角為.【答案】60°/【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，分別取的中點(diǎn)，連接，證明是直線與所成的角或補(bǔ)角.過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，借助于求得，最后在中，運(yùn)用余弦定理求出即可求得.【詳解】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，分別取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平?由于，，則，所以，故是直線與所成的角或補(bǔ)角.在中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，則，故平面因平面，則，則在中，，由余弦定理，，在中，，又，在中，由余弦定理，，因，故，即直線與所成的角為.故答案為：5．在正三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正三棱柱特點(diǎn)，則（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成的角，再在中，應(yīng)用余弦定理求解即可.【詳解】在正三棱柱中，，則（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成的角．設(shè)，在中，，，由余弦定理得故選：D.題型二：線線角（最值范圍）問題6．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，是棱的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記?面直線與所成的角為，則的取值范圍是.【答案】【分析】方法1：通過作平行線找出異面直線AB與EG所成角，設(shè)，在直角三角形中用x表示出，將問題轉(zhuǎn)化為求在上的值域即可.方法2：建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用坐標(biāo)法求得異面直線AB與EG所成角的余弦值的范圍，進(jìn)而求得其正弦值的范圍即可.【詳解】方法1：取的中點(diǎn)N，連接，如圖所示，

則，面，所以異面直線AB與EG所成角即為，，設(shè)，（），所以，又因?yàn)?，所以，所以，即?7．在正方體中，是棱的中點(diǎn)，是底面內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面，則異面直線與所成角的取值范圍是.【答案】【分析】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，，取中點(diǎn)，連接，推導(dǎo)出平面平面，從而的軌跡是線段，當(dāng)與重合時(shí)，異面直線與所成角取最大值，當(dāng)與或重合時(shí)，異面直線與所成角取最小值，即可得解.【詳解】解：取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，，取中點(diǎn)，連接，∵在正方體中，是棱的中點(diǎn)，∴，，∵平面，，平面，∴平面，同理可得平面，∵，，是平面內(nèi)兩相交直線，∴平面平面，∵是底面內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面，∴的軌跡是線段，∵，是中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴當(dāng)與重合時(shí)，異面直線與所成角取最大值，∵，是上動(dòng)點(diǎn)，，∴當(dāng)與或重合時(shí)，異面直線與所成角取最小值，∴異面直線與所成角的取值范圍是.故答案為：.8．如圖正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且平面，若異面直線與所成角為，則的最小值為.【答案】/【分析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，可證平面平面，結(jié)合條件可得點(diǎn)的軌跡為線段（不含端點(diǎn)），可得異面直線與所成角即與所成角，即，由此可得當(dāng)最小時(shí)，最小，運(yùn)算得解.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，，所以四邊形是平行四邊形，，同理，可證，又平面，平面，平面，所以平面，平面，，平面，則平面平面，因?yàn)辄c(diǎn)是正方形內(nèi)一點(diǎn)，且平面，所以平面，即點(diǎn)的軌跡為線段（不含端點(diǎn)），因?yàn)?，所以異面直線與所成角即與所成角，即，連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以，則，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，所以當(dāng)最小時(shí)，最小，在中，當(dāng)時(shí)，最小，由等面積法可得，所以最小值為.故答案為：.9．在矩形中，，是的中點(diǎn)，將沿折起，則在翻折過程中，異面直線與所成角的取值范圍是.【答案】【分析】先由題意，取中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，連接，，，得到即為異面直線與所成角，或所成角的補(bǔ)角，記異面直線與所成角為，則，根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合翻折過程求出臨界值，再由余弦定理，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意，取中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，連接，，，則，，將沿折起，在翻折過程中，始終有，；所以即為異面直線與所成角，或所成角的補(bǔ)角，記異面直線與所成角為，則因?yàn)椋环旁O(shè)，則，，，所以，由題意可得，在翻折過程中，逐漸減小，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，最小，如圖2；此時(shí)；翻折前，取最大，如圖1；此時(shí)，所以，由余弦定理可得：，因?yàn)椋?，即，所以，因此；又翻折前，以及點(diǎn)點(diǎn)與重合，這兩種情況下，與是相交直線，所以，即；故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查求異面直線所成角的范圍，熟記異面直線所成角的概念，靈活運(yùn)用立體幾何的方法求解異面直線所成的角即可，屬于?？碱}型.10．在正方體中，P是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，與垂直，則直線與直線AB所成角的正弦值的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，連接，易證得直線平面．因?yàn)榕c垂直，且是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)．又，所以直線與直線所成的角即．連接，平面，平面，，在直角三角形中，設(shè)，，則，因此，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．題型三：根據(jù)線線角求參數(shù)11．如圖，在四棱錐中，平面，，，，．

(1)求證：平面；(2)若異面直線與所成的角為，求點(diǎn)B到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)已知證明，由線面垂直得到，再由線面垂直的判定證明結(jié)論；（2）若是的中點(diǎn)，易得，異面直線與所成的角為，利用線面垂直的判定及性質(zhì)證明相關(guān)線段垂直，并求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度，應(yīng)用等體積法求點(diǎn)面距.【詳解】（1）由，，，，即為直角梯形，所以，，所以，即，又平面，平面，則，由平面，故平面；（2）若是的中點(diǎn)，則，故為平行四邊形，

所以且，故異面直線與所成的角，即為，由平面，平面，則，又，易知，則，所以，則，由平面，平面，則，由平面，平面，則，由，，則，而平面，所以平面，平面，則，故，所以，而，且，設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為，則，即，可得.12．正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)是棱上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若異面直線與所成角的余弦值為，求的長(zhǎng)．【答案】1【分析】將原正方體補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，利用線線角的定義得到為異面直線與所成的角，從而利用余弦定理得到關(guān)于的方程，解之即可得解.【詳解】將原正方體的一側(cè)補(bǔ)上另一個(gè)正方體變?yōu)槿鐖D所示的長(zhǎng)方體.在上取點(diǎn)使，連接，則易得，所以即為異面直線與所成的角(或其補(bǔ)角).設(shè)，則，，，又，，則，所以為銳角，所以，解得，所以.13．如圖，已知三棱錐，三角形為等邊三角形，，.(1)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，證明：；(2)當(dāng)時(shí)，求異面直線與所成角的余弦值；(3)當(dāng)異面直線與所成角的余弦值為時(shí)，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）通過直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)，求出，即可證明.（2）取中點(diǎn)，連接,將異面直線與所成角變?yōu)榕c所成的角，利用余弦定理即可求解.（3）根據(jù)第二問的求解過程，表示出EF，即可求解.【詳解】（1）設(shè)，取中點(diǎn)，連接，，為等邊三角形，為中點(diǎn)，，在中，為中點(diǎn)，，在中，，，在中，，.（2）設(shè)，取中點(diǎn)，連接，，取中點(diǎn)，連接，由（1）得，，在中，為中點(diǎn)，且，故異面直線與所成角為與所成的角，在中，,,在中，，故異面直線與所成角的余弦值為.（3）設(shè),，異面直線與所成角的余弦值為由（2）可知，，故，在中，，，故.14．如圖，幾何體為直四棱柱截去一個(gè)角所得，四邊形是菱形，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)若直線與所成角的正切值為，求平面與相交所得線段的長(zhǎng)度．【答案】(1)證明見詳解；(2).【分析】（1）利用正三角形性質(zhì)和直棱柱性質(zhì)，先證明平面，然后由面面垂直判定定理可證；（2）將幾何體補(bǔ)形為直四棱柱，記，，的中點(diǎn)為Q，連接交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接，則即為所求，先證平面，設(shè)，由求出，然后可解.【詳解】（1）連接，因?yàn)槭橇庑?，，所以為正三角形，又為的中點(diǎn)，所以，由直棱柱性質(zhì)可知，平面，因?yàn)槠矫?，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）將幾何體補(bǔ)形為直四棱柱，記，的中點(diǎn)為Q，連接交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接，則即為所求，連接.由題知，，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，則為直線與所成角（或補(bǔ)角），由（1）知，平面，又平面，平面，所以，因?yàn)槠矫妫云矫?，因?yàn)槠矫?，所?所以，設(shè)，則，所以，解得，則，易知為正三角形，E為重心，所以，所以.15．如圖，在直三棱柱中，，D是AC的中點(diǎn)，．

(1)求證：平面；(2)若異面直線AC和所成角的余弦值為，求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析；(2)4.【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，利用中位線定理證明平面．（2）利用幾何法求出異面直線和所成角的余弦，結(jié)合正弦定理及三角形面積公式求得，再利用割補(bǔ)法求出體積作答.【詳解】（1）在直三棱柱中，連接，交于點(diǎn)，連接，四邊形為平行四邊形，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，于是，又平面，平面，所以平面.

（2）在直三棱柱中，由，知為銳角，顯然，則為異面直線和所成的角，即，由，得，，，直三棱柱的體積，，所以.題型四：線面角（定值）16．如圖，在正方體中，E、F分別為BC，的中點(diǎn)，則直線與EF所成角的大小為；直線CD與平面DEF所成角的正弦值為.【答案】【分析】做輔助線，分析可知直線與EF所成角為（或其補(bǔ)角），即可得結(jié)果；利用等體積法求點(diǎn)C到平面DEF的距離，進(jìn)而可求線面夾角.【詳解】連接，因?yàn)镋、F分別為BC，的中點(diǎn)，則∥，可知直線與EF所成角為（或其補(bǔ)角），又因?yàn)?，可知為等邊三角形，可得，所以直線與EF所成角的大小為；設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)C到平面DEF的距離為，因?yàn)?，則的面積，又因?yàn)?，即，解得，所以直線CD與平面DEF所成角的正弦值為.故答案為：；.17．如圖，在四棱臺(tái)中，平面，四邊形為正方形，，則直線與平面所成角的正弦值為.

【答案】【分析】根據(jù)線面垂直判定定理得出平面，則即為所求的線面角，再計(jì)算求解.【詳解】連接與交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危云矫?，又，則平面，故即為在平面上的射影，即為所求的線面角，又，，故.

故答案為：.18．在正方體中，，，分別是，，各棱的中點(diǎn)．則與平面所成角的余弦值．【答案】【分析】分別取為各邊中點(diǎn)，連接，，且交于O，連接，首先證面面，轉(zhuǎn)化為求與平面所成角余弦值，再利用線面、面面垂直的判定證面面，由線面角的定義有與平面所成角為或其補(bǔ)角，最后應(yīng)用余弦定理求其余弦值.【詳解】如下圖，分別取為各邊中點(diǎn)，連接，，且交于O，連接，由題設(shè)，易知，由面，面，則面，同理可證面，由，面，則面面，所以與平面所成角，即為與平面所成角，由，且等邊中，，面，所以面，面，則面面，面面，故在面的投影在直線上，則與平面所成角為，若正方體的棱長(zhǎng)為1，則中，，所以，故與平面所成角，即與平面所成角的余弦值為.故答案為：.19．在正四面體中，M為線段AC上一點(diǎn)，且，點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正切值是．【答案】/【分析】過點(diǎn)A作AO垂直底面，垂足為O，連接，過點(diǎn)M作于G，連接NG，可得即為直線與平面所成角的平面角，由已知求得，由余弦定理可得，再由勾股定理求得，則由，即可求得直線與平面所成角的正切值.【詳解】如圖，過點(diǎn)A作AO垂直底面，垂足為O，連接，因?yàn)槠矫?，則，，過點(diǎn)M作于G，連接NG，又，則且，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以，則即為直線與平面所成角的平面角，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則，所以，則，在中，則由余弦定理可得：，在中，，所以，所以直線與平面所成角的正切值是．故答案為：．20．在長(zhǎng)方體中，，，P、Q分別為上底面的邊AD、CD的中點(diǎn)，過P、Q的平面與底面交于R、S兩點(diǎn)，R、S分別在下底面的邊、上，，平面PSRQ與棱交于點(diǎn)T，則直線TS與側(cè)面所成角的正切值為．【答案】【分析】在線段上取一點(diǎn)R，使得，則，延長(zhǎng)交于點(diǎn)K，連接，交線段于點(diǎn)T，則直線與平面所成的角為，即可求解．【詳解】如圖：因?yàn)椋栽诰€段上取一點(diǎn)R，使得，則，延長(zhǎng)交于點(diǎn)K，連接，交線段于點(diǎn)T，則直線與平面所成的角為，由得，而，由得，，得，得，則，故答案為：題型五：直線與平面所成角（最值范圍）問題21．已知圓錐的頂點(diǎn)為，軸截面是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，為底面中心，為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓錐底面內(nèi)（包括圓周）．若，則與圓錐底面所成角的正切值的取值范圍是.【答案】【分析】先作出輔助線，得到點(diǎn)的軌跡為線段，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，取得最小值，當(dāng)點(diǎn)與或重合時(shí)，取得最大值，，從而得到線面角的正切值的取值范圍.【詳解】因?yàn)檩S截面是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，故，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，在上取點(diǎn)，使得，過點(diǎn)作⊥，交底面圓周于點(diǎn)，則，此時(shí)，又，故∽，則，故，故，因?yàn)椤偷酌鎴A，底面圓，故⊥，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥，因?yàn)?，，平面，所以平面，所以點(diǎn)的軌跡為線段，連接，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，取得最小值，當(dāng)點(diǎn)與或重合時(shí)，取得最大值，則，設(shè)與圓錐底面所成角為，則，故答案為：.22．直三棱柱中，平面平面，且，則與平面所成的角的取值范圍是.【答案】【分析】作于D.判斷出即為與平面所成的角.設(shè)，，利用幾何性質(zhì)得到，進(jìn)而.證明出.解得，即可求出的取值范圍【詳解】作于D.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，所以即為與平面所成的角，.設(shè)，，則.在直角三角形中，由正弦的定義：.在直角三角形中，由等面積可得：，所以，所以.在直三棱柱中，.因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面，故，從而，?于是，解得：.又，解得：.故答案為：.23．三棱錐中，面面，，，，，,為射線上一動(dòng)點(diǎn)，求直線與面所成角的正弦的最大值為【答案】【分析】過作，可得底面，可得到線面角.，設(shè)，則，，表示出，即可得到表達(dá)式，求出最小值即可.【詳解】如圖，過作，垂足點(diǎn)為，連接,根據(jù)面面，面面，可得底面，即為直線與面所成角，設(shè)，設(shè)，又，則，因?yàn)?，，，，則，易知，且，在中，，由余弦定理可得：，又，，所以，，令，則，，當(dāng)時(shí)，取得最大值.所以，直線與面所成角的正弦的最大值為．故答案為：．24．如圖，平面平面，，，．平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，記直線OP與平面OAB所成角為，則的最大值是．【答案】【分析】作出圖形，找出直線與平面所成的角，證出平面，得出，得出點(diǎn)的軌跡就是平面內(nèi)以線段為直徑的圓點(diǎn)除外，轉(zhuǎn)化成與圓有關(guān)的最值問題，即可求出結(jié)果【詳解】如圖，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，，取的中點(diǎn)為，連接，過點(diǎn)作，垂足為，平面平面，且平面平面，平面，，，平面，在平面上的射影就是直線，故就是直線與平面所成的角，即，，，又，，，平面，平面，平面，，故點(diǎn)的軌跡就是平面內(nèi)以線段為直徑的圓點(diǎn)除外，，且，，設(shè)，則，從而，，如圖，當(dāng)且僅當(dāng)，即是圓的切線時(shí)，角有最大值，有最大值，取得最大值為：．故答案為：.25．如圖，已知三棱錐的所有棱長(zhǎng)均相等，點(diǎn)滿足，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，設(shè)與平面所成角為，則的最大值為【答案】/【分析】設(shè)棱長(zhǎng)為，，然后可得，設(shè)到平面的距離為，利用三角形相似可得，然后可得，即可求出答案.【詳解】設(shè)棱長(zhǎng)為，，則．點(diǎn)到平面的距離為設(shè)到平面的距離為，則，，，時(shí)，的最大值為．故答案為：．題型六：根據(jù)線面角求參數(shù)26．如圖，在正方體中，，點(diǎn)為棱AB上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），點(diǎn)為上一點(diǎn)，直線DH交平面于點(diǎn).(1)求證平面；(2)若，（i）求證平面；（ii）當(dāng)為何值時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為.【答案】(1)證明見解析(2)（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）由題可證得四點(diǎn)共面，然后由面面平行性質(zhì)得到線線平行，從而可求解【詳解】（1）證明：四點(diǎn)共面，平面平面ABCD，平面平面，平面平面，平面平面平面.（2）（i）證明：如圖所示，連接平面平面，，又平面平面平面，又平面平面.（ii）如圖所示，在平面內(nèi)作直線垂足為，連接，設(shè).平面，平面即為直線與平面所成角.平面，平面平面，，當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為.27．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱，且，，，點(diǎn)為中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)試作出二面角，并求二面角的正切值；(3)在棱上是否存在點(diǎn)，使得與底面所成角的正切值等于，如果存在求出；如果不存在，說明理由．（注：本題建系不得分）【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，證明見解析【分析】（1）通過勾股定理求出邊長(zhǎng)，證明線線垂直，再通過面面垂直判斷定理，證明面面垂直即可.（2）根據(jù)定義，做出二面角的平面角，并證明，求出平面角的正切值即可.（3）做出線面角的平面角，求出平面角的正切值的表達(dá)式，根據(jù)范圍解出當(dāng)正切值為時(shí)，邊長(zhǎng)的比值即可.【詳解】（1），，，，，，，又，面，面，面，面，面面.（2）由題意知側(cè)棱，為中點(diǎn)，所以，且，所以為正三角形，如圖所示，作中點(diǎn),連接，過作交延長(zhǎng)線于，連接，可知，因?yàn)槊婷?，面面，，面，所以面，又，面，面，所以面，又因?yàn)槊?，所以，所以即為二面角的平面角?.（3）如圖所示，作面，因?yàn)槊妫?，所以為在面上的射影，所以三點(diǎn)共線，連接，再過作于.所以為與底面所成角的平面角，因?yàn)槊?，所以，在矩形中，因?yàn)?，面，面，所以面，所以，因?yàn)?，所?設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，則，在中，，可得，當(dāng)時(shí)，即，平方后化簡(jiǎn)得，解得或（舍），當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)與底面所成角的正切值等于.28．如圖，在四棱柱中，四邊形為菱形，，，，是側(cè)棱上的一點(diǎn).(1)證明：.(2)求點(diǎn)到平面的距離.(3)若直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)度.【答案】(1)證明見解析(2)(3)1【分析】（1）利用線面垂直的判定得出平面，進(jìn)而可證結(jié)論；（2）利用等體積法求出點(diǎn)C到平面的距離，再利用線面平行的性質(zhì)可得答案；（3）根據(jù)距離求出，結(jié)合余弦定理可得的長(zhǎng)度.【詳解】（1）連接，設(shè)的交點(diǎn)為，連接；因?yàn)椋?，所以與全等，所以，因?yàn)榈酌鏋榱庑危?，且為的中點(diǎn)，所以,因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所?（2）因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為2的菱形，且,所以，.因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所?所以，.由（1）知，因?yàn)?，平面，所以平?設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為，因?yàn)?，所?解得.因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)到平面的距離為.（3）因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，所以,即.過E作平面,垂足為F,連接，則點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上,,從而,設(shè),則；因?yàn)樗倪呅螢榱庑?且,所以,所以,由余弦定理可得,則,解得,故.29．如圖，在四棱錐中，平面底面，底面是直角梯形，，，，，是的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)底邊上是否存在異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知平面，即可得，由題意可得，結(jié)合線面垂直的判定定理分析證明；（2）做輔助線，分析可知，由垂直關(guān)系可得，設(shè)，利用等體積法運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平?由平面，可得，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，則，且，、平面，所以平面.（2）假設(shè)在上存在異于端點(diǎn)的點(diǎn)，使得直線與平面所成的角大小為.過點(diǎn)作平面，垂足為，連結(jié)、、，

則，，設(shè)，，則，由（1）可知：平面，，可知平面，由平面，可得，在中，，在中，，因?yàn)榈酌媸侵苯翘菪?，，，，則，，可得，，由得，，即，解得，故存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角大小為，此時(shí).30．如圖，在正方形中，點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，將、分別沿DE、DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于P，連接EF，PB.(1)求證：；(2)點(diǎn)M是PD上一點(diǎn)，若直線MF與平面所成角的正切值為，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題意可得，則由線面垂直的判定定理可得平面，則，再由正方形性質(zhì)可得，則平面，從而可證得；（2）由（1）可得為直線MF與平面所成角，則，令，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)求出其它邊長(zhǎng)，最后在中利用余弦定理可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：在正方形中，連接，則，因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，所以∥，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫?；?）解：由（1）平面，所以為直線MF與平面所成角，所以，令，則，所以，設(shè)，連接，由（1）知平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)?，所以為二面角的平面角，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以為等腰三角形，所以，因?yàn)?，所以，所以，，，在中，由余弦定理得，所以二面角的余弦值?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查由線面垂直證線線垂直，考查線面角和二面角，考查折疊問題，解題的關(guān)鍵是弄清折疊前后邊角的關(guān)系，考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題》題型七：二面角（定值）31．如圖，某一個(gè)自行車停放時(shí)，車體由尺寸相同的前后輪和腳撐來支撐，前后輪的軸中心分別為，，與地面接觸點(diǎn)分別為，，腳撐一端固定在后輪軸中心處，另一端與地面接觸于點(diǎn)，若，兩點(diǎn)間距離為厘米，車輪外徑（直徑）為厘米，腳撐長(zhǎng)度等于車輪半徑，，則后車輪所在平面與地面的夾角（即二面角）的余弦值為.【答案】【分析】根據(jù)二面角的平面角定義，作圖，利用線面垂直以及面面垂直的判定與性質(zhì)，結(jié)合余弦和角公式以及直角三角形，可得答案.【詳解】由題意，在平面內(nèi)作交的延長(zhǎng)線于，在平面內(nèi)作，垂足為，連接，取線段的中點(diǎn)為，連接，作圖如下：因?yàn)?，，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，在與中，由題意可知，，，則全等于，所以，在中，由為中點(diǎn)，則，由，則，在中，，則，可得，則，已知，在中，，由圖可得為二面角的平面角，則.故答案為：.32．在正方體中，二面角的平面角大小為.【答案】【分析】通過分析圖形找到二面角的平面角，求角的余弦值，確定角的大小.【詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接，由題意得，、、為等邊三角形，∴，，∴為二面角的平面角.設(shè)等邊三角形邊長(zhǎng)為2，則，∴，∴.故答案為：.33．在四面體中，是正三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，點(diǎn)在棱上，使得四面體與四面體的體積之比為，則二面角的余弦值為.【答案】/0.5【分析】畫出二面角，計(jì)算三角形邊長(zhǎng)，然后利用余弦定理求解即可.【詳解】設(shè)，則，取中點(diǎn)

所以,,因?yàn)?，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫妫?所以所以平面,所以，，又因?yàn)樗远娼堑钠矫娼菫樗?故答案為：34．如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形所在平面與正三角形所在平面互相垂直，為的中點(diǎn)．二面角的正切值為．【答案】【分析】利用面面垂直性質(zhì)證明得出線面垂直，作出二面角的平面角并利用勾股定理求得線段長(zhǎng)度，即可得出二面角的正切值.【詳解】依題意平面平面，且平面平面，平面，易知，因此可得平面，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，如下圖所示：由平面，又平面，所以，又，且，平面，所以平面，平面，可得；即可得即為二面角的平面角；顯然，且，三角形為正三角形，所以；在中，.即二面角的正切值為.故答案為：35．如圖，已知在矩形中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起，點(diǎn)的位置記為，此時(shí)，則二面角的余弦值為．【答案】/【分析】過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，證明二面角的平面角為，根據(jù)幾何關(guān)系即可求解．【詳解】由平面知識(shí)易證，所以.在三棱錐中，，∴，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接．∵，∴易得平面又∵平面，∵平面，平面，平面，∴二面角的平面角為，在中，，由余弦定理可得，∴，∴，∵平面平面，∴，故，∴二面角的余弦值為．故答案為：.題型八：二面角（最值范圍）問題36．如圖，已知正四面體，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），則二面角的平面角的余弦值的取值范圍是．【答案】【分析】當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，二面角的平面角逐漸增大，二面角的平面角最小趨于二面角的平面角，最大趨于二面角的平面角的補(bǔ)角，求出二面角的平面角和二面角的平面角即可.【詳解】當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，二面角的平面角逐漸增大，二面角的平面角最小趨于的平面角，最大趨于二面角的平面角的補(bǔ)角，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，如圖所示，取的中點(diǎn)，連接、，易知為二面角的平面角，，所以，同理可得：二面角的平面角的補(bǔ)角的余弦值為，故二面角的平面角的余弦值的取值范圍是，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了二面角的平面角的求解，考查空間想象能力，屬于中檔題.37．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC（端點(diǎn)除外）上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，則二面角D﹣AF﹣B的平面角余弦值的取值范圍是．【答案】（，1）．【分析】由于平面ABD⊥平面ABC，因此作DK⊥AB，則DK⊥平面ABCF，作DO⊥AF，則OK⊥AF，則∠DOK為所求二面角的平面角，而cos∠DOK，設(shè)，，然后計(jì)算（可在矩形中計(jì)算），把表示為的函數(shù)，求得其取值范圍．【詳解】作DK⊥AB，則DK⊥平面ABCF，作DO⊥AF，則OK⊥AF，則∠DOK為所求二面角的平面角，cos∠DOK，設(shè)DF＝x，AF，AD2＝AO?AF，則AO，OD，由平面圖形ABCD知，∠DAF＝90°﹣∠FAB，故tan∠FABcot∠DAF，所以O(shè)KOA，所以cos∠DOK，x∈（1，2），故答案為（，1）．【點(diǎn)睛】本題考查求二面角，解題時(shí)首先要作出二面角的平面角并證明，這可利用題設(shè)中的面面垂直的性質(zhì)，然后引入變形，把所求二面角的余弦值表示為的函數(shù)，從而可得取值范圍．38．如圖，正方形中，邊長(zhǎng)為4，為中點(diǎn)，是邊上的動(dòng)點(diǎn).將沿DE翻折到，沿EF翻折到，(1)求證：平面平面；(2)當(dāng)F是邊BC的中點(diǎn)時(shí)，求二面角的余弦值；(3)若，連接DF，設(shè)直線SE與平面所成角為，求的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意，得到，，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而證得平面平面.（2）取的中點(diǎn)，證得，，得到二面角的平面角為，在中，利用余弦定理，即可求解；（3）設(shè)在面上的射影為，得到為與平面所成角，設(shè)，求得，在中求出和，結(jié)合得到，令，得到，令，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)槭钦叫?，為的中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)?且平面，所以平面，因?yàn)槠矫鍿EF，所以平面平面.（2）解：取的中點(diǎn)，由題意得，則，，所以二面角的平面角為，在中，因?yàn)椋?，，可得，所以二面角的余弦值?（3）解：設(shè)在面上的射影為，連接，則為直線與平面所成角，設(shè)，則，可得，在中，由，，，可得，且，因?yàn)椋?，可得，又因?yàn)?，所以，令，則，則，令，任取，則，因?yàn)?，，，所以即，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值為.39．在正三棱柱中，分別是棱上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且滿足，則：(1)是否存在點(diǎn)E，使得，若存在，求出；(2)求三棱錐體積的最大值；(3)求二面角的最大值.【答案】(1)存在，；(2)；(3).【分析】（1）假設(shè)存在點(diǎn)E使得，從而可證明平面，從而得到，再由銳角三角函數(shù)及勾股定理求出；（2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可求出的最大值，再由錐體的體積公式計(jì)算可得；（3）過點(diǎn)F作，垂足為D，即可得到平面，再過點(diǎn)D作，垂足為G，連接，從而得到就是二面角的一個(gè)平面角，由銳角三角函數(shù)求出的最大值.【詳解】（1）假設(shè)存在點(diǎn)使得，則因?yàn)椋杂烧庵?，平面，且平面，可得，又因?yàn)椋瞧矫鎯?nèi)的兩條相交直線，所以平面，又平面，所以，又，所以，又，且，所以，解得（負(fù)值已舍去），則，所以存在點(diǎn)使得，此時(shí)；（2）如圖，在中，

由余弦定理得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即三棱錐體積最大值為；（3）如圖，過點(diǎn)F作，垂足為D，由為正三棱柱，可知平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以平面，過點(diǎn)D作，垂足為G，連接，

因?yàn)槠矫?，所以，又，平面，所以平面，所以是二面角的一個(gè)平面角，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以二面角的最大值為.40．在如圖所示的直三棱柱中，分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)．(1)若平面，求的值；(2)若三棱柱是正三棱柱，是的中點(diǎn)，求二面角余弦值的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）過點(diǎn)作，交于，連接，則可證平面平面，從而得到，故可求的值，也可以過點(diǎn)作，可證四邊形是平行四邊形，從而可求的值.（2）過作，垂足為，再過作，垂足為，連接，可證即為二面角的平面角，故可求二面角余弦值的最小值，也可以利用建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可求二面角的余弦值的最小值.【詳解】（1）法1：（1）過點(diǎn)作，交于，連接，如圖，由平面，平面，則平面且，又平面，，且平面，故平面平面，又平面平面，平面平面，所以，從而，故.法2：過點(diǎn)作，交于，則由可得，所以四點(diǎn)共面，而平面，平面，平面平面，所以，四邊形是平行四邊形，所以，所以.（2）法1：過作，垂足為，由正三棱柱可得平面平面，而平面平面，平面，則平面，再過作，垂足為，連接，因?yàn)槠矫?，故，而平面，故平面，而平面，故，則即為二面角的平面角．又在中，，，當(dāng)位于時(shí)，此時(shí)，故二面角余弦值的最小值為.題型九：根據(jù)二面角求參數(shù)41．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，，平面，點(diǎn)在棱上．(1)求；(2)若平面，求三棱錐的體積；(3)若二面角的大小為，求．【答案】(1)證明見解析(2)(3)．【分析】（1）根據(jù)平面得平面平面，從而可得平面，故為直角三角形，從而可求；（2）可證為的中點(diǎn)，從而可利用等積轉(zhuǎn)化求三棱錐的體積；（3）過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，可證為二面角的平面角，利用解直角三角形可求的值.【詳解】（1）∵平面，平面，∴平面平面，又∵，平面，平面平面，∴平面，又∵平面，∴，∴為直角三角形，∴，即．（2）連接與交于點(diǎn)，連接，∵平面，平面，平面平面，∴，可知為的中點(diǎn)，而平面平面，故，在中，，，，∴，，，∴．（3）由題意知平面，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，∴平面，再作（為垂足），因?yàn)槠矫?，故，而平面，所以平面，而平面，故，∴為二面角的平面角，，由?）可知，∴是等腰直角三角形，同理也是等腰直角三角形，從而，在中，，，∴，不妨設(shè)，，則且，∴，∴．42．在直三棱柱中，，，，，，(1)若平面，求的值；(2)若二面角與二面角的大小相等，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，由線面平行的性質(zhì)可得出，再結(jié)合中位線的性質(zhì)可得出的值；（2）解法一（幾何法）：過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為，連接、，分析可知二面角和二面角的平面角分別為、，根據(jù)以及二倍角的正切公式求出的長(zhǎng)，即可求出的值；解法二（空間向量法）：以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)二面角與二面角的平面角分別為、，且，利用空間向量法結(jié)合二倍角的余弦公式可得出的等式，解之即可.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，平面，平面，平面平面，，又是的中點(diǎn)，故是的中點(diǎn)，.（2）因?yàn)槎娼桥c二面角的大小相等，所以二面角是二面