北師大版·九年級(jí)下冊(cè)2.4二次函數(shù)的應(yīng)用第二章

二次函數(shù)第二課時(shí)：銷售問題與拱橋問題理解模型本質(zhì)：深入理解銷售利潤(rùn)與拱橋軌跡的二次函數(shù)模型核心，把握實(shí)際場(chǎng)景中變量關(guān)聯(lián)與函數(shù)表達(dá)式的對(duì)應(yīng)邏輯，深化從“經(jīng)營現(xiàn)象/建筑結(jié)構(gòu)”到“數(shù)學(xué)模型”的轉(zhuǎn)化認(rèn)知；掌握條件分析：掌握銷售問題中“售價(jià)-銷量-利潤(rùn)”、拱橋問題中“坐標(biāo)-高度-寬度”等條件特征，精準(zhǔn)分析自變量的實(shí)際取值范圍；培養(yǎng)建模與應(yīng)用能力：通過銷售定價(jià)、拱橋尺寸等例題演練，提升將實(shí)際條件轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解析式、用頂點(diǎn)公式求解最值及檢驗(yàn)解的實(shí)際意義的能力。學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)學(xué)習(xí)過程010302目錄1銷售問題——利潤(rùn)最大化3題型訓(xùn)練2拱橋問題——拋物線軌跡計(jì)算情境引入

新華商場(chǎng)銷售某智能臺(tái)燈，每臺(tái)進(jìn)價(jià)200元。調(diào)研表明：當(dāng)售價(jià)定為240元時(shí)，平均每天售8臺(tái)；售價(jià)每降低10元，平均每天多售4臺(tái)售價(jià)降低多少元時(shí)，每天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？互動(dòng)新授1.銷售問題：核心公式：①單件利潤(rùn)=售價(jià)-成本價(jià)；②總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量；③銷售量通常與售價(jià)相關(guān)（售價(jià)漲，銷量降；售價(jià)降，銷量漲）當(dāng)售價(jià)為自變量x時(shí)，銷售量是x的一次函數(shù)，因此總利潤(rùn)是x的二次函數(shù)，且二次項(xiàng)系數(shù)a<0互動(dòng)新授解題步驟：1.變量設(shè)定技巧：①簡(jiǎn)單問題：設(shè)售價(jià)為x；②售價(jià)變化問題：設(shè)漲價(jià)/降價(jià)金額為x（更簡(jiǎn)便）2.函數(shù)建立關(guān)鍵：①先找“單件利潤(rùn)”=售價(jià)-成本；②再找“銷售量”與x的一次函數(shù)關(guān)系；③總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量（轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)）3.檢驗(yàn)重點(diǎn)：自變量取值范圍（售價(jià)≥成本、銷量>0）；實(shí)際意義（售價(jià)是否為整數(shù)、符合市場(chǎng)規(guī)律）小試牛刀

某商店銷售一種進(jìn)價(jià)為20元/件的商品，售價(jià)為x元/件時(shí)，每天可賣出(100-x)件。求：（1）總利潤(rùn)W與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；（2）售價(jià)定為多少元時(shí)，每天的總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？先根據(jù)“總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷量”列函數(shù)，再用頂點(diǎn)公式求最大值（a<0，有最大值）小試牛刀（1）步驟1：明確各量進(jìn)價(jià)=20元/件，售價(jià)=x元/件，銷售量=（100-x）件；自變量取值范圍：售價(jià)≥進(jìn)價(jià)，銷量>0→20≤x<100步驟2：計(jì)算單件利潤(rùn)單件利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)=x-20（元/件）步驟3：列總利潤(rùn)函數(shù)總利潤(rùn)W=單件利潤(rùn)×銷售量=(x-20)(100-x)；展開整理：W=-x2+120x-2000小試牛刀

學(xué)習(xí)過程010302目錄1銷售問題——利潤(rùn)最大化3題型訓(xùn)練2拱橋問題——拋物線軌跡計(jì)算互動(dòng)新授2.拱橋問題

拋物線形拱橋、隧道、門洞等，其輪廓符合二次函數(shù)圖像，核心是建立平面直角坐標(biāo)系，將橋的關(guān)鍵點(diǎn)（如頂點(diǎn)、端點(diǎn)）轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式，解決高度、寬度等問題坐標(biāo)系建立技巧：通常將拋物線的頂點(diǎn)放在原點(diǎn)或y軸上，使對(duì)稱軸為y軸，簡(jiǎn)化函數(shù)解析式互動(dòng)新授解題步驟：1.建系：將頂點(diǎn)放在原點(diǎn)或y軸上，簡(jiǎn)化解析式；2.找點(diǎn)：確定拋物線上關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)（如頂點(diǎn)、端點(diǎn)）；3.列式：代入坐標(biāo)求函數(shù)解析式；4.計(jì)算：根據(jù)所求問題代入x或y，求解并解釋實(shí)際意義。小試牛刀

一座拋物線形拱橋，跨度為30米（橋兩端點(diǎn)之間的水平距離），拱高為10米（頂點(diǎn)到橋面的垂直距離）。建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求：（1）拱橋的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)水面寬為20米時(shí)，水面到橋頂?shù)母叨仁嵌嗌?？小試牛?/p>

小試牛刀

互動(dòng)新授易錯(cuò)剖析：場(chǎng)景錯(cuò)誤示例避坑技巧銷售問題總利潤(rùn)=售價(jià)×銷量，忽略成本；銷量與售價(jià)關(guān)系搞反牢記“總利潤(rùn)=（售價(jià)-成本）×銷量”；用具體數(shù)值驗(yàn)證銷量與售價(jià)的關(guān)系（如售價(jià)漲1元，銷量是否減）拱橋問題坐標(biāo)系建立混亂，坐標(biāo)正負(fù)性錯(cuò)誤；忽略自變量范圍建系后標(biāo)注關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，驗(yàn)證正負(fù)性；明確拱橋的實(shí)際寬度，確定x的取值邊界通用錯(cuò)誤頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不在自變量范圍內(nèi)，仍直接用其求最值；計(jì)算頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)公式記錯(cuò)學(xué)習(xí)過程010302目錄1銷售問題——利潤(rùn)最大化3題型訓(xùn)練2拱橋問題——拋物線軌跡計(jì)算典例解析例1.某商場(chǎng)購進(jìn)一批文創(chuàng)商品，進(jìn)價(jià)為每件20元.當(dāng)售價(jià)為每件28元時(shí)，每周可賣出160件;售價(jià)每降低1元，每周銷量增加20件，設(shè)每件售價(jià)為x元，每周利潤(rùn)為y元，y與x的函數(shù)關(guān)系式為()A.y=(x-20)[160+20(28-x)]C.y=(28-x-20)(160+20x)B.y=(x-20)[160-20(28-x)]D.y=(28-x-20)(160-20x)A典例解析【分析】根據(jù)利潤(rùn)公式“利潤(rùn)=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷量”，先分析每件利潤(rùn)和銷量與售價(jià)x的關(guān)系，再推導(dǎo)函數(shù)關(guān)系式，逐一分析選項(xiàng)【解析】解：每件利潤(rùn)：進(jìn)價(jià)20元，售價(jià)x元，故每件利潤(rùn)為(x-20)元銷量：售價(jià)為28元時(shí)銷量160件，售價(jià)每降低1元，銷量增加20件售價(jià)為x元時(shí)，售價(jià)降低(28-x)元，銷量增加20(28-x)件，總銷量為160+20(28-x)件故本題正確答案為A.典例解析例2.如圖1是我國最大沙漠塔克拉瑪干沙漠某處的拋物線型沙丘，以拋物線型沙丘最頂端為0點(diǎn)，建立如圖2所示的坐標(biāo)系，若點(diǎn)4的坐標(biāo)為(-15,-100)，點(diǎn)B(a,-144)是圖1中沙丘兩個(gè)端點(diǎn)，則a的值為()A.15B.18C.24D.36B典例解析【分析】

先設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式解析式，代入已知點(diǎn)A求出解析式的系數(shù)，再將點(diǎn)B代入解析式求出a的值，最后逐一分析選項(xiàng)。

典例解析

C【分析】

先確定水面對(duì)應(yīng)的y值，代入拋物線解析式求出x的取值，再計(jì)算水面寬度AB，逐一分析選項(xiàng)。

典例解析例4.如圖，是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時(shí)，水面寬4m．若水面再上升1.5m，則水面的寬度是多少（

）m？A.1B.3C.2D.4C【分析】

先建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線解析式，代入已知點(diǎn)求出解析式，再根據(jù)水面上升高度求出對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到水面寬度，逐一分析選項(xiàng)【解析】解：設(shè)拱頂為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，拋物線解析式為y=ax2+2代入點(diǎn)(2,0)，得0=4a+2，解得a=-0.5，解析式為y=-0.5x2+2水面上升1.5m后，y=1.5，代入得1.5=-0.5x2+2，解得x=±1，水面寬度為1-(-1)=2m故本題正確答案為C.典例解析例5.公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個(gè)，6月份銷售216個(gè)，且從4月份到6月份銷售量的月增長(zhǎng)率相同．(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率；(2)若此種頭盔的進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，測(cè)算在市場(chǎng)中，當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，月銷售量為600個(gè)，若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲1元/個(gè)，則月銷售量將減少5個(gè)，為使月銷售達(dá)到最大利潤(rùn)，則該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？典例解析【分析】

(1)設(shè)月增長(zhǎng)率為x，根據(jù)4月和6月的銷量關(guān)系，列一元二次方程求解?！窘馕觥拷猓涸O(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為，由題意得:150(1+x)2=216(1+x)2=1.441+x=±1.2∵增長(zhǎng)率為正，∴1+x=1.2，解得=0.2=20%典例解析【分析】

(2)設(shè)售價(jià)為x元/個(gè)，利潤(rùn)為W，根據(jù)售價(jià)與銷量的關(guān)系列出利潤(rùn)的二次函數(shù)表達(dá)式，再求其最大值對(duì)應(yīng)的售價(jià)?！窘馕觥拷猓涸O(shè)該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)為x元/個(gè)，月銷售利潤(rùn)為W元。銷量為:600-5(x-40)=800-5x利潤(rùn)W=(x-30)(800-5x)=-5x2+950x-24000配方得:W=-5(x-95)2+4225∵a=-5<0，∴當(dāng)x=95時(shí)，W最大課堂小結(jié)二次函數(shù)的應(yīng)用銷售問題拱橋問題函數(shù)特征：利潤(rùn)與銷量滿足二次函數(shù)y=ax2+bx+c核心問題：①最大利潤(rùn)——對(duì)應(yīng)函數(shù)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)；②