北師大版·九年級下冊2.5二次函數(shù)與一元二次方程第二章

二次函數(shù)理解概念本質：深入理解二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)動邏輯，明確二者是“形數(shù)轉化”的核心載體，將函數(shù)圖像交點問題轉化為方程求解問題，依托判別式實現(xiàn)二者數(shù)量關系本質關聯(lián)與界定；掌握性質與關聯(lián)：熟練掌握二者的核心關聯(lián)要素，明確二次函數(shù)二次項系數(shù)、圖像與x軸交點、方程根及判別式的內在聯(lián)系；培養(yǎng)應用與轉化能力：通過實際場景分析，規(guī)范從變量提煉到建函數(shù)模型、列方程求解、驗實際意義的完整流程，提升數(shù)形轉化與問題解決能力學

習

目

標學習過程010302目錄1函數(shù)圖像與x軸交點的意義3題型訓練2用函數(shù)圖像解一元二次方程情境引入觀察二次函數(shù)和一元二次方程，它們有什么共同點，一元二次方程的解是多少，解怎么在二次函數(shù)圖象上表示？y=x2+4x+4x2+4x+4=0二次項：ax2，a是二次項系數(shù)?一次項：bx，b是一次項系數(shù)?常數(shù)項：c互動新授

對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當y=0時，函數(shù)就轉化為一元二次方程ax2+bx+c=0，因此：本質關系：二次函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標?一元二次方程的實數(shù)根數(shù)量關系：函數(shù)圖像與x軸的交點個數(shù)?方程實數(shù)根的個數(shù)?判別式Δ的符號1.與x軸交點即根：互動新授2.Δ的作用：判別式Δ=b2-4ac一元二次方程ax2+bx+c=0二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖像與x軸的交點Δ>0有兩個不相等的實數(shù)根x?、x?（x?≠x?）有兩個不同交點：(x?,0)、(x?,0)Δ=0有一個交點（頂點在x軸上）：(x?,0)Δ<0沒有實數(shù)根沒有交點小試牛刀已知函數(shù)y=(k-1)x2-2kx+k+2的圖像與x軸有且只有一個交點，求k的值

若題目未說“二次函數(shù)”，絕對不能忽略k=0（一次函數(shù)）的情況小試牛刀解：①

當k-1=0（即k=1）時，函數(shù)為y=-2x+3（一次函數(shù)），與x軸有一個交點，符合條件；②

當k-1≠0（即k≠1）時，函數(shù)為二次函數(shù)，需Δ=0：Δ=(-2k)2-4×(k-1)×(k+2)=4k2-4(k2+k-2)=-4k+8=0→k=2學習過程010302目錄1函數(shù)圖像與x軸交點的意義3題型訓練2用函數(shù)圖像解一元二次方程互動新授

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點有三種情況:有兩個交點、有一個交點、沒有交點.

與此相對應，一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三種情況:有兩個不相等的實數(shù)根、有兩個相等的實數(shù)根、沒有實數(shù)根.

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的橫坐標就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.3.用函數(shù)圖像解一元二次方程：互動新授解題步驟：1.轉化：構造函數(shù)y=ax2+bx+c；2.畫圖：確定函數(shù)開口、頂點、特殊點，畫出草圖3.找交點：找到函數(shù)與直線y=k的交點4.寫解：交點橫坐標即為方程的根（精確根或近似根）小試牛刀某社區(qū)計劃修建一個長方形休閑廣場，廣場的一邊靠著社區(qū)圍墻（圍墻長25米），另三邊用總長為40米的不銹鋼護欄圍成。設廣場平行于圍墻的邊長為x米，廣場的面積為S平方米。1.求S與x之間的函數(shù)關系式及自變量x的取值范圍2.若要求廣場的面積不小于150平方米，平行于圍墻的邊長應在什么范圍？小試牛刀

學習過程010302目錄1函數(shù)圖像與x軸交點的意義3題型訓練2用函數(shù)圖像解一元二次方程典例解析例1.二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象與x軸交于A，B兩點，則線段AB的長度為()A.1B.-2C.±2D.-2C【分析】

先求出二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標，再計算兩點間的距離，逐一分析選項【解析】解：令y=0，則x2-2x-3=0，因式分解得(x-3)(x+1)=0，解得x1=3，x2=-1線段AB的長度為|3-(-1)|=4故本題正確答案為C典例解析例2.如圖為函數(shù)y=-0.5x2+bx+3的部分圖象，則一元二次方程-0.5x2+bx+3=0的根為（

）A.x1=x2=1B.x1=1，x2=-1C.x1=1，x2=-2D.x1=1，x2=-3D【分析】

先確定拋物線的對稱軸，再根據(jù)已知的一個交點，利用二次函數(shù)的對稱性求出另一個交點，從而得到一元二次方程的根

典例解析例3.關于二次函數(shù)y=x2-3的圖象與x軸交點個數(shù)的情況，下列說法正確的是（

）A.有三個交點B.有兩個交點C.有一個交點D.沒有交點C【分析】

通過令二次函數(shù)的y=0，將問題轉化為解一元二次方程，根據(jù)方程解的個數(shù)確定函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)

典例解析例4.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中，函數(shù)值y與自變量x的部分對應值如下表:則關于x的一元二次方程ax2+bx+c=-2的根是______________x1=-4，x2=0典例解析【解析】解：由表格可知，二次函數(shù)的對稱軸為x=-2已知當x=-4時，y=-2，根據(jù)對稱性，與x=-4關于x=-2對稱的點為x=0，此時y=-2所以方程ax2+bx+c=-2的根是x1=-4，x2=0故本題正確答案為x1=-4，x2=0【分析】

先根據(jù)表格數(shù)據(jù)確定二次函數(shù)的對稱軸，再利用對稱性找到y(tǒng)=-2時對應的x值典例解析例5.用圖象法求下列一元二次方程的近似根:(1)x2-5x+5=0;(2)2x2-4x=5;典例解析【分析】

（1）將方程轉化為二次函數(shù)y=x2-5x+5，通過繪制其圖象，確定與x軸交點的橫坐標，即為方程的近似根【解析】解：畫出y=x2-5x+5的圖象：繪制圖象后，可知拋物線與x軸交點在(1,2)和(3,4)之間近似求得根為x1≈1.38，x2≈3.62典例解析【分析】

（2）先將方程整理為2x2-4x-5=0，再轉化為二次函數(shù)y=2x2-4x-5，繪制圖象后找與x軸交點的橫坐標，得到方程的近似根【解析】解：畫出y=2x2-4x-5的圖象：繪制圖象后，可知拋物線與x軸交點在(-1,0)和(2,3)之間近似求得根為x1≈-0.85，x2≈2.85課堂小結二次函數(shù)與一元二次方程三種素養(yǎng)數(shù)形結合：貫穿本節(jié)課的核心，將抽象代數(shù)問題轉化為直觀幾何問題，反之用代數(shù)精準描述幾何特征分類討論：參數(shù)問題的“避坑關鍵”，按函數(shù)類型、Δ符號等標準分類，保證思考全面。數(shù)學建模：實際問題的“解題路徑”，將生活場景轉化為函數(shù)與方程模型，用數(shù)學解決實際問題三大關聯(lián)本質關聯(lián)：二次函數(shù)y=ax2+bx+c