13.2勾股定理的應(yīng)用第13章

勾股定理華東師大版（2024）八年級(jí)上冊(cè)情境引入1.能運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.(重點(diǎn))2.經(jīng)歷勾股定理的應(yīng)用過(guò)程，熟練掌握其應(yīng)用方法，明確應(yīng)用條件.（難點(diǎn)）核心素養(yǎng)目標(biāo)

如圖所示，一個(gè)圓柱體的底面周長(zhǎng)為20cm，高AB為4cm，BC是上底面的直徑.一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的最短路程.(精確到0.01cm)ABC導(dǎo)入新課分析：螞蟻實(shí)際上是在圓柱的半個(gè)側(cè)面內(nèi)爬動(dòng)，如果將這半個(gè)側(cè)面展開(kāi)，得到長(zhǎng)方形ABCD，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”，所求的最短路程就是這一展開(kāi)圖——長(zhǎng)方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC之長(zhǎng).ABCACBD解：如圖，在Rt△ABC中，BC=底面周長(zhǎng)的一半=10cm.由勾股定理，可得答:爬行的最短路程約為10.77cm.把幾何體適當(dāng)展開(kāi)成平面圖形，再利用“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題.

例1

如果圓柱換成如圖的棱長(zhǎng)為10cm的正方體盒子，螞蟻沿著表面需要爬行的最短路程又是多少呢？(精確到0.01cm)AB講授新課AB101010BCA解：最短路程即為長(zhǎng)方形的對(duì)角線(xiàn)AB,答：爬行的最短路程約是22.36cm,

例2

如果盒子換成如圖長(zhǎng)為3cm，寬為2cm，高為1cm的長(zhǎng)方體，螞蟻沿著表面由A爬到C1需要爬行的最短路程又是多少呢？ABCDB1C1D1A1分析：螞蟻由A爬到C1過(guò)程中較短的路線(xiàn)有多少種情況？(1)經(jīng)過(guò)前面和上底面;(2)經(jīng)過(guò)前面和右面;(3)經(jīng)過(guò)左面和上底面.ABCDB1C1D1A123A1BB1C1D1A1321ABCB1C1A1321ADD1A1B1C1

(1)當(dāng)螞蟻經(jīng)過(guò)前面和上底面時(shí)，如圖，最短路程為解:AAB＝≈4.24（cm）.＝BCDB1C1D1A123A1BB1C1D1A1(2)當(dāng)螞蟻經(jīng)過(guò)前面和右面時(shí)，如圖，最短路程為AAB＝≈5.10（cm）.＝BCDB1C1D1A1321ABCB1C1A1(3)當(dāng)螞蟻經(jīng)過(guò)左面和上底面時(shí)，如圖，最短路程為AAC1＝≈4.47（cm）.＝BCDB1C1D1A1321ADD1A1B1C1∴最短路程約為4.24cm.∵4.24＜4.47＜5.10，例3

一輛裝滿(mǎn)貨物的卡車(chē)，其外形高2.5米，寬1.6米，要開(kāi)進(jìn)廠(chǎng)門(mén)形狀如圖所示的某工廠(chǎng)，問(wèn)這輛卡車(chē)能否通過(guò)該工廠(chǎng)的廠(chǎng)門(mén)?說(shuō)明理由.

ABCD2米2.3米CD＝CH＝0.6＋2.3＝2.9(米)＞2.5(米).答：卡車(chē)能通過(guò)廠(chǎng)門(mén)．解：在Rt△OCD中，∠CDO=90°,由勾股定理，得ABMNOC┏DH2米2.3米勾股定理的應(yīng)用最短路程問(wèn)題勾股定理與其逆定理的應(yīng)用課堂小結(jié)1．已知：在△ABC中，AB≠AC，求證：∠B≠∠C，若用反證法來(lái)證明這個(gè)結(jié)論，可以假設(shè)(

)A．∠A＝∠B

B．AB＝BCC．∠B＝∠C

D．∠A＝∠CC當(dāng)堂練習(xí)1．如圖，有兩棵樹(shù)，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹(shù)相距8米，一只鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，問(wèn)小鳥(niǎo)至少要飛行

(

)A．8米B．10米C．12米D．14米B當(dāng)堂練習(xí)2．如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9cm，底面周長(zhǎng)為16cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)A處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A(yíng)處所走的最短路程為_(kāi)___cm.(杯壁厚度不計(jì))103．(例題1變式)如圖所示，有一塊磚高AN＝5cm，長(zhǎng)ND＝10cm，CD上的點(diǎn)B距點(diǎn)D的距離BD＝8cm，地面上A處的一只螞蟻到B處吃食，需要爬行的最短路徑是多少？4．如圖，小張為測(cè)量校園內(nèi)池塘A，B兩點(diǎn)之間的距離，他在池塘邊定一點(diǎn)C，使∠ABC＝90°，并測(cè)得AC長(zhǎng)為26m，BC長(zhǎng)為24m，則A，B兩點(diǎn)間的距離為(

)A．5mB．8mC．10mD．12mC5．(2024·吉林)圖①中有一首古算詩(shī)，根據(jù)詩(shī)中的描述可以計(jì)算出紅蓮所在位置的湖水深度，其示意圖如圖②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于點(diǎn)C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．設(shè)AC的長(zhǎng)度為x尺，可列方程為_(kāi)____________________．x2＋22＝(x＋0.5)26．(例題2變式)一輛裝滿(mǎn)貨物，寬為2.4米的卡車(chē)，欲通過(guò)如圖的單向隧道，上半部分為半圓，下半部分為長(zhǎng)方形，OC＝OB＝OA，問(wèn)卡車(chē)的外形高必須低于多少米？7．如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米．如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為()A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米CA點(diǎn)撥：在A(yíng)C上取點(diǎn)K，使點(diǎn)N，K關(guān)于A(yíng)D對(duì)稱(chēng)，∴MN＝MK，當(dāng)點(diǎn)K，M，B在同一條直線(xiàn)上且BK⊥AC時(shí)，BM＋MN最小，這是因?yàn)锽M＋MN＝BM＋MK≥BK，易知△ABK是等腰直角三角形，由勾股定理得AK＝BK＝4，∴BM＋MN的最小值是49．如圖，一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)，寬和高分別為20，3，2，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階表面爬到B點(diǎn)最短路程是______．2510．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若點(diǎn)P在邊AC上移動(dòng)，則BP的最小值是

____.11．如圖所示，OA⊥OB，OA＝45cm，OB＝15cm，一機(jī)器人在B處發(fā)現(xiàn)有一個(gè)小球自A點(diǎn)出發(fā)沿著AO方向勻速滾向點(diǎn)O，機(jī)器人立即從B處出發(fā)以相同的速度勻速直線(xiàn)前進(jìn)去攔截小球，在點(diǎn)C處截住了小球，求機(jī)器人行走的路程BC.

解：∵小球滾動(dòng)的速度與機(jī)器人行走的速度相等，運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，即BC＝AC，設(shè)AC＝BC＝x，則OC＝45－x，由勾股定理可知OB2＋OC2＝BC2，又∵OB＝15，∴152＋(45－x)2＝x2，解得x＝25.答：如果小球滾動(dòng)的速度與機(jī)器人行走的速度相等，那么機(jī)器人行走的路程BC是25cm12．如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他要完成這件事情所