搶分練11.(17分)(2025江蘇宿遷二模)某公司邀請(qǐng)某棋手與該公司研制的一款機(jī)器人進(jìn)行象棋比賽,規(guī)則如下:棋手的初始分為200,每局比賽,棋手勝加100分;平局不得分;棋手負(fù)減100分.當(dāng)棋手總分為0時(shí),挑戰(zhàn)失敗,比賽終止;當(dāng)棋手總分為300時(shí),挑戰(zhàn)成功,比賽終止;否則比賽繼續(xù).已知每局比賽棋手勝、平、負(fù)的概率分別為14,1(1)求2局后比賽終止的概率;(2)在3局后比賽終止的條件下,求棋手挑戰(zhàn)成功的概率;(3)在挑戰(zhàn)過程中,棋手每勝1局,獲獎(jiǎng)5千元.記n(n≥10)局后比賽終止且棋手獲獎(jiǎng)1萬元的概率為P(n),求P(n)的最大值.2.(17分)(2025山東濰坊二模)雙曲線C:x2-y2=a2(a>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,A1,點(diǎn)A1到C的漸近線的距離為22(1)求C的方程;(2)按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)An(n≥2且n∈N):過點(diǎn)An-1作斜率為-2的直線交C于另一點(diǎn)Bn-1,設(shè)An是點(diǎn)Bn-1關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn),記點(diǎn)An的坐標(biāo)為(xn,yn).(ⅰ)證明:數(shù)列{xn-yn},{xn+yn}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{xn}和{yn}的通項(xiàng)公式;(ⅱ)記△AnAAn+1的面積為S,△AnA1An+1的面積為T,求ST的最大值

答案：1.解(1)設(shè)每局比賽棋手勝為事件Ai,每局比賽棋手平為事件Bi,每局比賽棋手負(fù)為事件Ci(i∈N*),設(shè)“兩局后比賽終止”為事件M,因?yàn)槠迨峙c機(jī)器人比賽2局,所以棋手可能得0分或300分比賽終止.(ⅰ)當(dāng)棋手得分為0分,則2局均負(fù),即C1C2;(ⅱ)當(dāng)棋手得分為300分,則2局先平后勝,即B1A2.因?yàn)镃1C2,B1A2互斥,所以P(M)=P(C1C2+B1A2)=P(C1C2)+P(B1A2)=P(C1)P(C2)+P(B1)P(A2)=(12)2+所以2局后比賽終止的概率為5(2)設(shè)“3局后比賽終止”為事件D,“3局后棋手挑戰(zhàn)成功”為事件E.因?yàn)镻(D)=P(B1B2A3+B1C2C3+C1A2A3+C1B2C3)=143+14×(12)2+12×142+12×14×12=所以在3局后比賽終止的條件下,棋手挑戰(zhàn)成功的概率為P(E|D)=P(3)因?yàn)閚局獲獎(jiǎng)勵(lì)1萬元,說明棋手共勝2局.(ⅰ)當(dāng)棋手第n局以0分比賽終止,說明前n-1局中有3負(fù)2勝,且是“負(fù)勝負(fù)勝負(fù)”的順序,其余均為平局,共有Cn-(ⅱ)當(dāng)棋手第n局以300分比賽終止,說明前n-1局中有1負(fù)1勝,且是先負(fù)后勝的順序,其余均為平局,共有Cn-則“n(n≥10)局后比賽終止且棋手獲得1萬元獎(jiǎng)勵(lì)”的概率P(n)=Cn-15(12)所以PCn2+8Cn5-4Cn-12-32Cn-15=(Cn因?yàn)閚≥10,所以Cn2+8Cn5-4Cn所以P(n+1)P(n)<所以當(dāng)n=10時(shí),P(n)取最大值為P(10)=2612.解(1)雙曲線C的漸近線方程為x±y=0,A1(a,0),則點(diǎn)A1到漸近線的距離為|a|2=22,所以a=1,所以C的方程為x(2)(ⅰ)因?yàn)锳n(xn,yn),所以An-1(xn-1,yn-1),Bn-1(xn,-yn),直線An-1Bn-1的方程為y+yn=-2(x-xn),即y=-2x+2xn-yn,代入x2-y2=1,消去y,整理得3x2-4(2xn-yn)x+(2xn-根據(jù)韋達(dá)定理得xn-1+xn=43(2xn-yn)所以yn=54xn-34xn-1,yn-1=-2xn-1+2xn-yn=34xn-54由題設(shè)有x1+y1=x1-y1=1,因?yàn)閤n所以{xn-yn}是公比為13的等比數(shù)列因?yàn)閤n+所以{xn+yn}是公比為3的等比數(shù)列,所以xn-yn=(13)n-1,xn+yn=3n-1所以xn=3n-1+(1(ⅱ)先證明結(jié)論:若MN=(a1,b1),MP=(a2,b2)為兩個(gè)不共線的非零向量,則S△PMN=12|MN|·|MP|=12|MN|=1=1=1=1=12|a1b2-a2b1|本題中,因?yàn)锳An=(xn+1,yn),AAn+1=(xn+1+1,y所以S=12|(xn+1)yn+1-(xn+1+1)yn|=12|xnyn+1-xn+1yn+yn+1-yn因?yàn)锳1An=(xn-1,yn),A1An+1=(xn+T=12|(xn-1)yn+1-(xn+1-1)yn|=12|xnyn+1-xn+1yn+yn-yn+1又因?yàn)閤nyn+1-xn+1yn=32n-yn+1-yn=3n-1+(13)n所以S=12[43+3n-1+(13)n],T=12[3n-1+(1所以ST=