專題突破練24利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值必備知識(shí)夯實(shí)練1.(2025湖南衡陽模擬)已知函數(shù)f(x)=x2-2cosx,則f(22),f(log132),f(log23)的大小關(guān)系是(A.f(log132)<f(log23)<f(2B.f(log132)<f(22)<f(logC.f(log23)<f(log132)<f(2D.f(22)<f(log23)<f(log12.(2025山東菏澤二模)已知函數(shù)f(x)=(x-a-1)ex-bxx2-a在R上單調(diào)遞增,則b-a的最小值為A.0 B.1 C.1e3.(多選題)(2024新高考Ⅱ,11)設(shè)函數(shù)f(x)=2x3-3ax2+1,則()A.當(dāng)a>1時(shí),f(x)有三個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)a<0時(shí),x=0是f(x)的極大值點(diǎn)C.存在a,b使得直線x=b為曲線y=f(x)的對稱軸D.存在a使得點(diǎn)(1,f(1))為曲線y=f(x)的對稱中心4.(2025湖北武漢模擬)已知函數(shù)f(x)=x+cosx,若f(lnx)<f(1),則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.5.(15分)(2025廣東廣州模擬)已知函數(shù)f(x)=2lnxx+(1)求函數(shù)f(x)的極值;(2)設(shè)t>0,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,2t]上的最大值.關(guān)鍵能力提升練6.(15分)(2025廣東江門一模)已知函數(shù)f(x)=ln(|x|+a)+b|x|.(1)當(dāng)a=0時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)a=-1時(shí),求函數(shù)f(x)的極值.7.(17分)(2025浙江杭州二模)已知函數(shù)f(x)=xex-12ax2-ax(a∈R)(1)若a=0,求f(x)的極小值;(2)當(dāng)a>1e時(shí),求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間(3)當(dāng)a>0時(shí),設(shè)f(x)的極大值為g(a),求證:g(a)≥-2e核心素養(yǎng)創(chuàng)新練8.(17分)(2025山東青島、淄博二模)函數(shù)y=f(x)和y=g(x)有相同的定義域,導(dǎo)函數(shù)分別為f'(x),g'(x),若在定義域內(nèi)均有f'(x)≤g'(x),則稱y=f(x)是y=g(x)的“DT—函數(shù)”.(1)判斷y=-x3-x是否為y=cosx的“DT—函數(shù)”,并證明;(2)設(shè)y=f(x)和y=h(x)為定義在R上的函數(shù),已知f(-x)=f(x),g(x)=h(x)+h(-x),f(x)是g(x)的“DT—函數(shù)”,證明:g(x)-f(x)=c(c為常數(shù));(3)若-1<a<0,f(x)=xlnx-(a+2)x,g(x)=ex+a(x-2),x>0,證明:f(x)是g(x)的“DT—函數(shù)”.

答案：1.A解析當(dāng)x∈R時(shí),f(-x)=(-x)2-2cos(-x)=x2-2cosx=f(x),所以f(x)為偶函數(shù).又f'(x)=2x+2sinx,當(dāng)x>0時(shí),令g(x)=2x+2sinx,則g'(x)=2(1+cosx)≥0,所以f'(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以f'(x)>f'(0)=0,所以f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,f(log132)=f(-log32)=f(log又0<log32<1,log23>1,log23<log24=2<22,所以f(log132)<f(log23)<f(22故選A.2.B解析由題意,函數(shù)f(x)=(x-a-1)ex-bxx2-a導(dǎo)函數(shù)為f'(x)=ex+(x-a-1)ex-[bx2-a+bx2]=因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,所以f'(x)=(x-a)(ex-b)≥0在R上恒成立,所以a=lnb,即b=ea,故b-a=ea-a.令g(a)=ea-a,則g'(a)=ea-1,令g'(a)>0,則a>0,令g'(a)<0,則a<0,所以g(a)在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以g(a)min=g(0)=1,所以b-a的最小值為1.故選B.3.AD解析由題得,f'(x)=6x2-6ax=6x(x-a).當(dāng)a>1時(shí),x∈(-∞,0),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,x∈(0,a),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,x∈(a,+∞),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.又極大值f(0)=1>0,極小值f(a)=1-a3<0,所以f(x)有三個(gè)零點(diǎn),A正確;當(dāng)a<0時(shí),x=0是f(x)的極小值點(diǎn),B錯(cuò)誤;任何三次函數(shù)不存在對稱軸,C錯(cuò)誤;f(1+x)+f(1-x)=12x2-6ax2+6-6a,當(dāng)a=2時(shí),f(1+x)+f(1-x)=-6=2f(1),D正確.故選AD.4.(0,e)解析因?yàn)閒(x)=x+cosx,所以f'(x)=1-sinx≥0,所以函數(shù)y=f(x)在R上單調(diào)遞增,所以f(1)>f(lnx),等價(jià)于lnx<1,x故實(shí)數(shù)x的取值范圍是(0,e).5.解(1)因?yàn)閒'(x)=2-則由f'(x)>0,得0<x<e;由f'(x)<0,得x>e,所以f(x)在(0,e)內(nèi)單調(diào)遞增,在(e,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,故當(dāng)x=e時(shí),f(x)有極大值f(e)=2e+1,無極小值(2)由(1)知當(dāng)2t≤e且t>0,即0<t≤e2時(shí),f'(x)>0在[t,2t]上恒成立,函數(shù)f(x)在[t,2t]所以f(x)max=f(2t)=ln2tt當(dāng)t<e<2t,即e2<t<e時(shí),當(dāng)x∈(t,e)時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x∈(e,2t)時(shí),f'(x)<所以函數(shù)f(x)在(t,e)內(nèi)單調(diào)遞增,在(e,2t)內(nèi)單調(diào)遞減,所以f(x)max=f(e)=2e+當(dāng)t≥e時(shí),f'(x)≤0在[t,2t]上恒成立,函數(shù)f(x)在[t,2t]上單調(diào)遞減,所以f(x)max=f(t)=2lntt+綜上,當(dāng)0<t≤e2時(shí),f(x)max=ln2當(dāng)e2<t<e時(shí),f(x)max=2e當(dāng)t≥e時(shí),f(x)max=2lntt+6.解(1)由a=0,得函數(shù)f(x)=ln|x|+b|x|,易知其定義域?yàn)閧x|x≠0},由f(-x)=ln|-x|+b|-x|=f(x),得函數(shù)f(x)為偶函數(shù).當(dāng)x>0時(shí),f(x)=lnx+bx,顯然當(dāng)b≥0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,當(dāng)b<0時(shí),求導(dǎo)可得f'(x)=1x+b=bx+1x,令f'(x)=0,解得當(dāng)0<x<-1b時(shí),f'(x)>當(dāng)x>-1b時(shí),f'(x)<所以函數(shù)f(x)在0,-1b內(nèi)單調(diào)遞增,在綜上,當(dāng)b≥0時(shí),函數(shù)f(x)在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)b<0時(shí),函數(shù)f(x)在-∞,1b與0(2)由a=-1,得函數(shù)f(x)=ln(|x|-1)+b|x|,可得|x|-1>0,解得x<-1或x>1,所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,-1)∪(1,+∞),易知函數(shù)f(x)為偶函數(shù).當(dāng)x>1時(shí),函數(shù)f(x)=ln(x-1)+bx,當(dāng)b≥0時(shí),函數(shù)f(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,此時(shí)無極值;當(dāng)b<0時(shí),求導(dǎo)可得f'(x)=1x-1+b=bx-b+1x-1,令f'(x)=0,解得x=b-1b>1,當(dāng)1<x<b-1b時(shí),f'(所以函數(shù)f(x)在1,b-1b內(nèi)單調(diào)遞增故函數(shù)f(x)的極大值為fb-1b=b-1-由函數(shù)f(x)為偶函數(shù),則當(dāng)x<-1時(shí),函數(shù)f(x)的極大值為f1-bb=b-1-綜上,當(dāng)b≥0時(shí),函數(shù)f(x)無極值;當(dāng)b<0時(shí),函數(shù)f(x)的極大值為b-1-ln(-b),無極小值.7.(1)解由題意知f'(x)=ex(x+1)-ax-a=(ex-a)(x+1)(a∈R).若a=0,則f(x)=xex,所以f'(x)=ex(x+1).令f'(x)=0,得x=-1.當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x∈(-1,+∞)時(shí),f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,-1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(-1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以f(x)的極小值等于f(-1)=-1(2)解因?yàn)閍>1e,所以lna>-1由f'(x)>0,即(ex-a)(x+1)>0,解得x<-1或x>lna,所以f(x)在(-∞,-1)和(lna,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,由f'(x)<0,即(ex-a)(x+1)<0,解得-1<x<lna,所以f(x)在(-1,lna)內(nèi)單調(diào)遞減,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)和(lna,+∞).(3)證明當(dāng)a>1e時(shí),由(2)知,f(x)的極大值為f(-1)=g(a)=-1e+12當(dāng)a=1e時(shí),f'(x)≥0,f(x)單調(diào)遞增,f(x)無極大值當(dāng)0<a<1e時(shí),由f'(x)>0,得x<lna或x>-1,由f'(x)<0得lna<x<-1,所以f(x)在(-∞,lna)和(-1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在(lna,-1)內(nèi)單調(diào)遞減,所以f(x)的極大值為f(lna)=g(a)=-12a(lna)令g(x)=-12x(lnx)2(0<x<1e所以g'(x)=-lnx12當(dāng)x∈0,1e2時(shí),g'(x)<0,當(dāng)x∈1e2所以g(x)在0,1e2內(nèi)單調(diào)遞減,所以g(x)≥g1e2綜上,g(a)≥-28.(1)解顯然兩個(gè)函數(shù)的定義域均為R.由函數(shù)y=-x3-x,可得y'=-3x2-1,由y=cosx,可得y'=-sinx,因?yàn)?3x2-1≤-1≤-sinx,所以y=-x3-x是y=cosx的“DT—函數(shù)”.(2)證明由y=h(x)為定義在R上的函數(shù),可得函數(shù)y=g(x)的定義域?yàn)镽,因?yàn)間(-x)=h(-x)+h(x)=g(x),所以y=g(x)為偶函數(shù),又因?yàn)閒(x)是g(x)的“DT—函數(shù)”,所以f'(x)≤g'(x),因?yàn)閒(-x)=f(x),g(-x)=g(x),所以f(-x)是g(-x)的“DT—函數(shù)”,即-f'(-x)≤-g'(-x),用-x代替x,可得f'(x)≥g'(x),所以f'(x)=g'(x),令φ(x)=g(x)-f(x),則φ'(x)=g'(x)-f'(x)=0,所以φ(x)=c(c為常數(shù)),所以g(x)-f(x)=c(c為常數(shù)).(3)證明由函數(shù)f(x)=xlnx-(a+2)x,g(x)=ex+a(x-2),可得f'(x)=lnx-a-1,g'(x)=ex+a(x-1).設(shè)F(x)=ex+a(x-1)-lnx+a+1(x>0),可得F'(x)=xex+a-1設(shè)φ(x)=F'(x),則φ'(x)=ex+a(x+1)+1x則φ'(x)>0,所以φ(x)單調(diào)遞增,即F'(x)單調(diào)遞增,且F'12=12ea+12-2<0,F'存在x0∈12,1,使得F'(x0)=0,ex0+a=1x02,當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),F'(x)>0,F(x)單調(diào)遞增,所以F(x)min=F(x0)=ex0+a(x0-1)-