密★啟用前

廣東省2026屆普通高中畢業(yè)班第二次調(diào)研考試

數(shù)學(xué)

2025.12

本試卷共4頁(yè)，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必在答題卡寫上考生姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)等相關(guān)信息.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)；

如需改動(dòng)的，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以

上要求作答的答案無(wú)效.

4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.設(shè)m∈R,復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=2m+(m-3)i的點(diǎn)在直線x+y=0上，則z=()

A.2+2iB.2-2iC.-2-2iD.-2+2i

2.已知集合A={xkx2<2x},B={x1-1≤x≤1}、則AUB=()

A.{x|-1≤x<0}B.{x|0<x≤1}C.{x|I≤x<2}D.{x|-1≤x<2}

3.“a>b”是“a3>b3”成立的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.某人從住地外出有兩種方案，一種是騎自行車去，另一種是乘公共汽車去.顯然公共汽車的速度比自

行車快，但乘公共汽車有一個(gè)等候時(shí)間(候車時(shí)間假設(shè)是固定不變的).在任何情況下，他總是花時(shí)間

最少的最佳方案.下表列出他到達(dá)甲，乙，丙三地采用最佳方案所需的時(shí)間.則他離住地8千米的地

方，需要的時(shí)間為()

目的地目的地離住地的距離最佳方案所需時(shí)間

甲地2千米12分鐘

乙地4千米18分鐘

丙地6千米22分鐘

A.24分鐘B.26分鐘C.28分鐘D.30分鐘

5.已知向量a在向量b上的投影向量為·,b|=2,則a·b=()

A.-3B.C.D.3

數(shù)學(xué)第1頁(yè)(共4頁(yè))

6.已知{an}是首項(xiàng)和公差均為m的等差數(shù)列，是首項(xiàng)和公比均為m的等比數(shù)列，m∈N.若{an}的

前5項(xiàng)和與{b?}的前4項(xiàng)和都等于S,則S=()

A.30B.32C.42D.46

7.已知f(x)是R上的奇函數(shù)，f(x-1)-f(3-x)=0,若f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，且f(1)=2,則f(x)

在R上的最小值是()

A.-4B.-3C.-2D.-1

8.單位圓上有7個(gè)不同的點(diǎn)，則任意兩點(diǎn)間距離平方和的最大值為()

A.42B.49C.56D.64

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.兩組數(shù)據(jù)x?,x?,…,x,和y?,y?,…,yn,它們的平均數(shù)分別為x,y,方差分別為S2,s2,則()

A.x?+y?,x?+y?,…,xn+y,的平均數(shù)為x+yB.x?+y,x?+y?,…,x+y的方差為S2+s2

C.若x?<y1,x?<y?,…,x,<yn,則x<yD.若x?<y,x?<y?,…,xn<y,則S2<S2

10.如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，23=AC=AA?=2,AB⊥AC,點(diǎn)P,Q,M,N分別是BB?,CC?,

AA,BC的中點(diǎn)，則()

A.P,Q,M,N四點(diǎn)共面

B.線段BC?為直三棱柱ABC-A?B?C?外接球的直徑

C.三棱錐P-A?QN的體積為

D.異面直線MN與AC所成角為

11.雙曲線C:x2-y2=2的左、右焦點(diǎn)分別為F?,F?,過C上一點(diǎn)P作切線與x軸交于點(diǎn)Q,直線PQ與C

的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A,B,△PF?F?滿足sin2∠F?F?P+sin2∠F?PF?=sin2∠PF?F?,則()

A.|PF|·QF?|=|PF?|·QF?|B.滿足條件的點(diǎn)P有2個(gè)

C.|PF|·|PF?|≥|OA|·|OB|D.點(diǎn)P為△OAB外接圓圓心

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若(1+x)"的展開式中，x3的系數(shù)等于x的系數(shù)的5倍，則n=_.

13.已知圓x2+y2=4與圓(x-2)2+(y+2)2=20交于A,B兩點(diǎn)，則公共弦長(zhǎng)A|B|=.

14.已知函數(shù)f(x)=ax3-3x,若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤2成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

數(shù)學(xué)第2頁(yè)(共4頁(yè))

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

已知函數(shù)f(x)=sin2wx+2√3cos2wx-√3(w>0)的部分圖象如圖所示.

(1)求f(x)的解析式；

(2)把f(x)的圖象向右平移·個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x),求使g(x)≥-1成立的x的取值集合.

16.(15分)

某地舉行足球賽，共有16支球隊(duì)參加：賽程先進(jìn)行小組單循環(huán)賽(小組內(nèi)每?jī)芍蜿?duì)打一場(chǎng)比賽，

前兩名晉級(jí)下一輪);然后進(jìn)行淘汰賽(贏球晉練下一輪，輸球被淘汰),對(duì)陣圖如下.現(xiàn)16支球隊(duì)分為A,

B,C,D四組，每組4支球隊(duì).已知甲、乙、丙、4支球隊(duì)分在A組，甲隊(duì)勝乙隊(duì)、丙隊(duì)、丁隊(duì)的概

率分別為.假設(shè)每一輪每場(chǎng)比賽互不影響，甲隊(duì)在癌一輪每場(chǎng)比賽勝其他球隊(duì)的概率不變.

(1)求甲隊(duì)在小組單循環(huán)賽中至少勝兩場(chǎng)的概率；

(2)已知通過第一輪角逐，甲隊(duì)和乙隊(duì)均進(jìn)入淘汰賽，且甲隊(duì)對(duì)B、C、D組每支球隊(duì)的勝率均為

乙隊(duì)對(duì)B、C、D組每支球隊(duì)的勝率均為.求甲隊(duì)奪冠的概率.

A1—D2B2—C1A2D1B1—C2

??

?

冠軍

注：Al-D2表示A小組第1名與D小組第2名對(duì)陣.

數(shù)學(xué)第3頁(yè)(共4頁(yè))

17.(15分)

如圖，在三棱臺(tái)A?B?C?-ABC中，AB⊥AC,AB=AC=3,AA?=2A?B?=2,點(diǎn)A在底面的投影

是△ABC的重心G.

(1)證明：平面B?BCC?⊥平面ABC;

(2)已知空間直角坐標(biāo)系中的方程：(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2,它表示球心為(a,b,c),半徑

為R的球面.S,T是棱AB上兩點(diǎn)，AS=BT=1,P是三棱臺(tái)A?B?C?-ABC表面上一點(diǎn)，且PS=√2PT.求

滿足條件的P點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度.

C

18.(17分)

已知函數(shù),a∈R.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在(0,f(0))多的切線方程；

(2)若,證明：函數(shù)f(x)有3個(gè)零點(diǎn)；

(3)當(dāng)a>1時(shí)，對(duì)任意的xn<0(n∈N),滿足,證明：f(x?)+f(x?)+…+f(xn)

<(3n-1)(a-1).

19.(17分)

已知橢圓T0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別在直線y=2x與y=-2x上，P是廠上一點(diǎn)，

M,N,O,P四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形MONP.

(1)證明|MN|是定值，并求該值；

(2)求平行四邊形MONP面積的最大值；

(3)一族直線l:y=-2x+t,(i∈N)與廠交于點(diǎn)A,,B,證明每條弦A;B被定直線平分，并求該直線

的方程.

數(shù)學(xué)第4頁(yè)(共4頁(yè))

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廣東省2026屆普通高中畢業(yè)班第二次調(diào)研考試

數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

題號(hào)12345678

選項(xiàng)BDCBAACB

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

題號(hào)91011

選項(xiàng)ACBCACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5月、共15分.

12.713.2√214.44]

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.【解析】(1)

…………2分

由圖知，f(x)過點(diǎn),即,……3分

由圖得，解得w=1.………………5分

.…………………6分

(2)由題得，

,………………8分

由g(x)≥-1,得：則,……………9分

……………11分

數(shù)學(xué)參考答案第1頁(yè)(共8頁(yè))

解得t,k∈Z,…………12分

因此，使成立的的取值集合…………13分

g(x)≥-1x(ke∈Z)

16.【解析】(1)設(shè)在一輪比賽中，甲隊(duì)勝乙隊(duì)為事件A?,甲隊(duì)勝丙隊(duì)為事件A?,甲隊(duì)勝

丁隊(duì)為事件A?,

由題得，·……………1分

設(shè)甲隊(duì)在第一輪比賽中至少勝兩場(chǎng)為事件A,則

A=A?A?A?+A?A?A?+A?A?A?+A?A?A?·2分

由題可得，P(4)=P(A?A?A?)+P(4?A?A?)+P(A?A?A?)+PL?A?A?)

=P(4)P(A)P(4)+P(A)P(A)P(A?)+P(A)P(A)P(4)+P(A)P(A)P(4?)

·………………6分

因此，甲隊(duì)在第一輪比賽中至少勝兩場(chǎng)的概率為.…………………7分

(2)由題得，甲隊(duì)進(jìn)入決賽的概率為;……8分

乙隊(duì)進(jìn)入決賽的概率為………10分

則乙隊(duì)進(jìn)入決賽甲隊(duì)奪冠的概率為……12分

乙隊(duì)沒進(jìn)入決賽甲隊(duì)奪冠的概率為……………14分

因此，甲隊(duì)奪冠的概率.………………15分

17.【解析】(1)連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M,連接A?G,則M為BC中點(diǎn)，A?G⊥平

面ABC1分

取B?C?的中點(diǎn)為N,連接A?N,MN,則A?N//AM2分

由題得，,所以A?N=GM3分

所以四邊形A?NMG是平行四邊形，則MN//A?G4分

所以MN⊥平面ABC5分

因?yàn)镸Nc平面B?BCC?,所以平面B?BCC?⊥平面ABC6分

數(shù)學(xué)參考答案第2頁(yè)(共8頁(yè))

(2)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則S(1,0,0),T(2,0,0),設(shè)分

由PS=√2PT,得(x-1)2+y2+z2=2[(x-2)2+y2+z2],整理得

(x-3)2+y2+z2=2,8分

所以P點(diǎn)軌跡表示球心在B(3,0,0),半徑R=√2的球面.……………9分

又P是棱臺(tái)表面上的點(diǎn)，所以P點(diǎn)軌跡是球面與棱臺(tái)表面的交線.…10分

由題得,AA=2,則MN=A?G=√2,所以

BB?=√(√2)2+(√22=2.…………11分

又AB=3,BC=3√2,則R<AB,R<BC,R<BB?.

所以球面只與棱臺(tái)側(cè)面B?BCC?,側(cè)面B?BAA?,底面ABC相交.……12分

而計(jì)算得……14分

因此所求交線長(zhǎng)度為.……………15分

18.【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí)，,則

f'(x)=(x-2)e?-x+2,1分

所以f(0)=0,f'(0)=0.

因此曲線y=f(x)在(0,0)處的切線方程為y=0.…………分

(2)f(x)的定義域是x∈R,f'(x)=e*(x-2)-ax+2a=(e?-a)(x-2),4分

若,令f'(x)=0,得x=Ina或x=2,且Ina<2.…………5分

當(dāng)x∈(-∞0,Ina)時(shí)，f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(lna,2)時(shí)，f'(x)<0,f(x)單調(diào)

遞減；

當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)，f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；…………6分

數(shù)學(xué)參考答案第3頁(yè)(共8頁(yè))

所以f(x)在x=Ina處取得極大值

在x=2處取得極小值f(2)=-e2+5a7分

因?yàn)?所,又

所以3x?∈(2,3),使得f(x?)=0,即f(x)在(2,+∞)上有1個(gè)零點(diǎn)；…8分

因?yàn)?所以0<Ina<2-In5,則6-lna>0,所以

所以3x?∈(Ina,2),使得f(x?)=0,即f(x)在(lna,2)上有1個(gè)零點(diǎn)；………………9分

所以3x?∈(-∞,Ina),使得f(x?)=0,即f(x)在(-∞,Ina)上有1個(gè)零點(diǎn).

綜上，當(dāng),f(x)有3個(gè)零點(diǎn).…………………10分

(3)f(x)在(0,f(0))處的切線方程為x=(a-1)(2x+3),設(shè)

g(x)=(a-1)(2x+3),11分

下面證明：當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<g(x).

設(shè)h(x)=g(x)-f(x),則h(x)=g'(x)-f'(x)=-(x-2)(e-a)+2a-2,

設(shè)t(x)=h(x),則t'(x)=-(x-1)e×+a,顯然a>1,x<0時(shí)，t'(x)>0,所以t(x)遞增，

則z(x)<t(0)=0,即h(x)<0,所以h(x)遞減，則(x)>h(0)=0,

從而g(x)-f(x)>0,即f(x)<g(x)15分

所以f(x?)<g(x?),f(x?)<g(x?),…,f(x,)<g(x,),

得f(x?)+f(x?)+…+f(x。)<(a-1)(2x?+3)+(a-1)(2x?+3)+…+(a-1)(2xn+3)

=(a-1[2(x?+x?+…+xn)+3n]=(3n-1)(a-1).

即f(x?)+f(x?)+…+f(x,)<(3n-1)(a-1)·17分

19.【解析】(1)由題，設(shè)M(m,2m),N(n,-2n),P(x,y),又0(0,0),…………1分

因?yàn)樗倪呅蜯ONP是平行四邊形，則……2分

數(shù)學(xué)參考答案第4頁(yè)(共8頁(yè))

即|MN|是定值，且該定值為2.…………5分

(2)設(shè)直線y=2x的傾斜角為θ,則tanθ=2,.……7分

由(1)知，在△OMN中，由余弦定理得，4=|OMI2+|ON2-2|OM|·|ON|cos20,

所以4≥2(1-cos20)|OM|·|ON|,即,當(dāng)O|M|=|ON|時(shí)取等號(hào).

所以當(dāng)時(shí)，(OM|·|ON)ax=5.……………9分

因此平行四邊形MONP面積的最大值為

……………………11分

(3)設(shè)A,(x?,y;),B(x',y'),聯(lián)立,消元y整理得

20x2-4t,x+t2-16=0,12分

,從而A,B,的中點(diǎn)為

…………13分

任取不同于A,B的弦A,B,(i≠j),同理可得A,B的卵點(diǎn)

,……………14分

則直線M;M,的斜率為

所以直線M;M,的方程為,整理得y=8x.·………16分

從而可知該直線與t,無(wú)關(guān)，即任意弦A,B的中點(diǎn)均在直線y=8x上，

所以每條弦A?B,被定直線y=8x平分.…………………17分

數(shù)學(xué)參考答案第5頁(yè)(共8頁(yè))

【選填解析】

1、【解析】B;由題得，2m+m-3=0,解得m=1,則z=2-2i,故選B.

2、【解析】D;由x2<2x,得0<x<2,則A={x|0<x<2};由y=sinx,得

-1≤y≤1,則B={y|-1≤y≤1},所以AUB={x|-1≤x<2},故選D.

3、【解析】C;因?yàn)閥=x3是R上的增函數(shù)，故選C.

4、【解析】B;由22-18=4,6-4=2,則4÷2=2,結(jié)合到甲地需要12分鐘，得公共

汽車每行駛1千米需要2分鐘.所以4×2=8,18-8=10,即候車時(shí)間為10分鐘.若到

甲地乘公共汽車，則需要時(shí)間為10+2×2=14分鐘，大于12分鐘，則到甲地為騎自行

車，騎自行車每公里需要6分鐘.所以到8千米的地方，最佳方案是乘公共汽車，需要時(shí)

間為10+2×8=26分鐘.故選B.

5、【解析】A;故選A.

6、【解析】A;由題得，S=5a?=15m,

所以m(1+m2)(1+m)=15m,即(1+m2)(1+m)=15=5×3,則或

解得m=2,所以S=15×2=30,故選A.

7、【解析】C;由f(x)是奇函數(shù)，則f(-x)=-f(x);由f(x-1)-f(3-x)=0,則f(x)

的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，即f(2-x)=f(x),所以f(x+4)=f(x).因?yàn)閒(x)在[0,1]單調(diào)

遞增，則f(x)在[-1,0]單調(diào)遞增，在[1,2]單調(diào)遞減，從而在[-2,-1]單調(diào)遞減.所以

[f(x)]min=f(-1)=-f(1)=-2,故選C.

8、【解析】B;設(shè)P(cosθ,,sine,)(i=1,2,3…,7),則

pp2=(cos0,-cose,)2+(sinθ,-sinθ,)2=2-2(cose,cos0,+sinθ,sinθ,),所以

數(shù)學(xué)參考答案第6頁(yè)(共8頁(yè))

當(dāng)7個(gè)點(diǎn)均勻分布在單位圓上時(shí)，根據(jù)正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)有

則因此所求的最大值為49.故選B.

9、【解析】AC;根據(jù)平均數(shù)與方差的性質(zhì)，易知A、C正確，B、D錯(cuò)誤，故選AC.

10、【解析】BC;由于PM與QN是異面直線，則P,M,Q,N四點(diǎn)不可能共面，A錯(cuò)誤；

三棱柱ABC-AB?C?為正方體一半，側(cè)面BCC?B?為正方體對(duì)角面，其對(duì)角線BC?為正方

體外接球直徑，則B正確；

,則C正確；異面直線MN與AC所成