成考（專升本）高數(shù)（二）隨機(jī)變量的概念CONTENTS目錄02離散型隨機(jī)變量03連續(xù)型隨機(jī)變量01隨機(jī)變量的基本概念01隨機(jī)變量的基本概念01隨機(jī)試驗(yàn)是指結(jié)果不確定的試驗(yàn)樣本空間是隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果的集合個(gè)體元素稱為樣本點(diǎn)隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間02隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)隨機(jī)變量的取值是不確定的，具有隨機(jī)性隨機(jī)變量的取值與試驗(yàn)結(jié)果相關(guān)聯(lián)隨機(jī)變量的概念引入03離散型隨機(jī)變量：取值為有限或可列個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量：取值充滿某個(gè)區(qū)間復(fù)合型隨機(jī)變量：既有離散取值也有連續(xù)取值隨機(jī)變量的分類04離散型隨機(jī)變量常用分布律表示連續(xù)型隨機(jī)變量常用概率密度函數(shù)表示隨機(jī)變量的函數(shù)通常通過變換法則表示隨機(jī)變量的表示方法隨機(jī)變量的定義01隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)也是隨機(jī)變量函數(shù)的線性變換保持隨機(jī)變量的性質(zhì)隨機(jī)變量函數(shù)的期望值是原隨機(jī)變量期望值的函數(shù)02隨機(jī)變量的獨(dú)立性若兩個(gè)隨機(jī)變量之間互不影響，則稱為獨(dú)立獨(dú)立性在概率計(jì)算中可以簡化問題獨(dú)立隨機(jī)變量的乘積仍為獨(dú)立隨機(jī)變量03隨機(jī)變量的不變性在變換中保持分布不變的隨機(jī)變量位置不變性和尺度不變性是常見的變換不變性在統(tǒng)計(jì)分析中有重要作用04隨機(jī)變量的矩矩是隨機(jī)變量分布的特征期望是一階矩，方差是二階中心矩矩可以用來描述隨機(jī)變量的形狀和離散程度隨機(jī)變量的性質(zhì)01分布函數(shù)描述隨機(jī)變量取值的概率是隨機(jī)變量小于或等于某值的概率分布函數(shù)是單調(diào)不減的右連續(xù)函數(shù)分布函數(shù)的定義03離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)通過累加概率計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)通過積分計(jì)算分布函數(shù)可以用來求解隨機(jī)變量的概率問題分布函數(shù)的計(jì)算02分布函數(shù)的取值范圍在0到1之間分布函數(shù)的極限為0和1分布函數(shù)可以表示隨機(jī)變量的概率分布分布函數(shù)的性質(zhì)04分布函數(shù)用于描述隨機(jī)變量的整體性質(zhì)在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中有廣泛應(yīng)用可以用來求解隨機(jī)變量的不等式概率問題分布函數(shù)的應(yīng)用隨機(jī)變量的分布函數(shù)02離散型隨機(jī)變量取值為有限個(gè)或可列無限個(gè)每個(gè)取值有其對(duì)應(yīng)的概率可以一一列舉所有可能的取值離散型隨機(jī)變量的特征通常用變量X表示X的取值和對(duì)應(yīng)概率構(gòu)成分布列可以用表格或公式表示離散型隨機(jī)變量的表示伯努利分布二項(xiàng)分布負(fù)二項(xiàng)分布等離散型隨機(jī)變量的分類伯努利分布：只有兩個(gè)可能結(jié)果二項(xiàng)分布：n次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的成功次數(shù)泊松分布：單位時(shí)間（或空間）內(nèi)事件發(fā)生次數(shù)離散型隨機(jī)變量的常見分布離散型隨機(jī)變量的定義010203概率分布的定義描述隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率非負(fù)所有取值概率和為1概率分布的性質(zhì)概率值在0到1之間概率總和為1概率分布唯一確定隨機(jī)變量概率分布的計(jì)算利用概率公式計(jì)算通過頻率估計(jì)利用軟件工具計(jì)算概率分布的應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估數(shù)據(jù)分析統(tǒng)計(jì)推斷04離散型隨機(jī)變量的概率分布期望的定義與計(jì)算隨機(jī)變量取值的加權(quán)平均期望是概率加權(quán)下的平均值計(jì)算公式為E(X)

=

Σ[xi

*

P(xi)]方差的定義與計(jì)算衡量隨機(jī)變量取值的離散程度方差是取值與期望差值的平方的加權(quán)平均計(jì)算公式為Var(X)

=

Σ[(xi

-

E(X))^2

*

P(xi)]期望與方差的性質(zhì)期望是線性運(yùn)算方差具有非負(fù)性方差與期望有關(guān)聯(lián)期望與方差的應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量數(shù)據(jù)波動(dòng)分析決策制定離散型隨機(jī)變量的期望與方差03連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量的分類有界連續(xù)型隨機(jī)變量無界連續(xù)型隨機(jī)變量混合型連續(xù)隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量的特征取值范圍是不可數(shù)集合概率分布由概率密度函數(shù)描述概率為零的子集不影響整體概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量的常見分布正態(tài)分布指數(shù)分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布連續(xù)型隨機(jī)變量的表示通常使用概率密度函數(shù)表示可以通過積分來描述其概率特性常用符號(hào)如f(x)表示密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的定義概率密度的定義概率密度是概率分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)描述隨機(jī)變量落在某區(qū)間內(nèi)的概率非負(fù)且整體積分等于1概率密度的性質(zhì)非負(fù)性：f(x)

≥

0歸一性：∫f(x)dx

=

1可積性：概率密度函數(shù)必須可積概率密度的計(jì)算通過積分求得概率利用密度函數(shù)計(jì)算累積分布函數(shù)可以通過變換求得不同變量的密度函數(shù)概率密度的應(yīng)用用于計(jì)算隨機(jī)事件的概率用于求解隨機(jī)變量的期望和方差用于推導(dǎo)其他統(tǒng)計(jì)量連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度期望是隨機(jī)變量平均值的度量通過積分計(jì)算期望值E(X)可以用于描述隨機(jī)變量的中心位置01期望的定義與計(jì)算03期望是線性算子方差具有非負(fù)性期望和方差的計(jì)算不依賴于原點(diǎn)期望與方差的性質(zhì)02方差是隨機(jī)變量離散程度的度量通過