成考（專升本）高數(shù)（二）多元函數(shù)的極限多元函數(shù)極限的基本概念01CONTENTS

目錄多元函數(shù)極限的計算方法02多元函數(shù)極限的應用0301多元函數(shù)極限的基本概念二元函數(shù)極限是指當自變量(x,

y)趨向于某一點(x0,

y0)時，函數(shù)f(x,

y)趨向于某一確定的值A。若對于任意小的正數(shù)ε，總存在一個正數(shù)δ，使得當0

<

√[(x-

x0)2+(y-

y0)2]

<

δ時，有|f(x,

y)

-

A|

<

ε。極限存在要求點(x,

y)以任意方式趨向于(x0,

y0)，f(x,

y)都能無限接近A。多元函數(shù)極限可以推廣到n元函數(shù)，即當自變量向量(x1,

x2,

...,

xn)趨向于某一點(x01,

x02,

...,

x0n)時，函數(shù)f(x1,

x2,

...,

xn)趨向于某一確定的值A。類似于二元函數(shù)，多元函數(shù)極限的定義涉及一個n維空間中的ε-

δ條件。多元函數(shù)極限的驗證通常需要考慮自變量在n維空間中的任意路徑。極限存在的必要條件是，對于任意接近(x0,

y0)的點，f(x,

y)的函數(shù)值都接近A。充分條件是，對于任意給定的ε

>

0，總能找到一個δ

>

0，使得當點(x,

y)滿足上述δ條件時，f(x,

y)滿足ε條件。極限的存在性還需要函數(shù)在點(x0,

y0)附近有定義，但不一定在點(x0,

y0)本身有定義。當點(x,

y)趨向于(x0,

y0)時，如果f(x,

y)的值不趨向于任何特定值，則稱極限不存在。極限不存在可能表現(xiàn)為函數(shù)值在不同路徑上趨向于不同的值。還可能是函數(shù)值在某些路徑上趨于無窮大或不存在。二元函數(shù)極限的定義多元函數(shù)極限的定義極限存在的條件極限不存在的情況極限的定義01極限的基本性質(zhì)極限具有唯一性，即若極限存在，則其值唯一。極限具有局部有界性，即存在一個去心鄰域，函數(shù)值在此鄰域內(nèi)是有界的。極限具有保號性，即如果f(x,

y)在(x0,

y0)附近始終大于（或小于）0，則其極限也大于（或小于）0。02極限的四則運算法則如果f(x,

y)和g(x,

y)的極限分別存在，則它們的和、差、積和商（除數(shù)不為零）的極限也存在。對于常數(shù)k，k乘以f(x,

y)的極限等于k乘以f(x,

y)極限的值。極限的四則運算法則在多元函數(shù)極限計算中同樣適用。03極限的復合函數(shù)性質(zhì)如果內(nèi)函數(shù)的極限存在且落在外函數(shù)的定義域內(nèi)，則復合函數(shù)的極限等于外函數(shù)在內(nèi)函數(shù)極限點的值。如果內(nèi)函數(shù)的極限是外函數(shù)連續(xù)點的值，則復合函數(shù)的極限可以交換內(nèi)外函數(shù)極限的順序。復合函數(shù)極限的求法常用于簡化極限問題。04極限的有界性如果一個函數(shù)在某一點的極限存在，則該函數(shù)在這一點附近是有界的。有界性意味著存在一個實數(shù)M，使得函數(shù)的值在這一點附近的絕對值不超過M。有界性是極限存在的一個必要條件，但不是充分條件。極限的性質(zhì)無窮小的定義與性質(zhì)無窮小是指其絕對值可以任意小的量。無窮小量在極限過程中的值趨向于0。無窮小量的運算遵循特殊的規(guī)則，如無窮小量的和、差仍為無窮小量。無窮大的定義與性質(zhì)無窮大是指其絕對值可以任意大的量。當自變量趨向于某一點時，若函數(shù)的絕對值趨向于無窮大，則稱該函數(shù)在該點趨向于無窮大。無窮大的運算中，無窮大與有限數(shù)的和為無窮大，無窮大與無窮大的乘積也是無窮大。無窮小與無窮大02多元函數(shù)極限的計算方法等價無窮小替換法在極限過程中，將函數(shù)中的無窮小量替換為其等價無窮小，簡化計算需要熟悉常見的等價無窮小替換關系等價無窮小替換法常用于含有根號、三角函數(shù)等表達式的極限計算直接代入法當函數(shù)在點P的某個鄰域內(nèi)連續(xù)時，可以直接將P的坐標代入函數(shù)中求解極限對于簡單函數(shù)，直接代入是求解極限的最直觀方法直接代入法適用于一階或高階連續(xù)函數(shù)的極限計算復合函數(shù)極限法將復雜函數(shù)分解為簡單函數(shù)的復合，分別計算各部分的極限需要掌握復合函數(shù)極限的計算規(guī)則復合函數(shù)極限法適用于多步驟函數(shù)的極限計算極限存在定理法利用極限存在定理來判斷極限是否存在包括夾逼定理、海涅定理等，需要掌握各個定理的使用條件極限存在定理法適用于證明極限存在性，但不直接給出極限值極限的求解方法連續(xù)函數(shù)在某點極限存在且等于該點的函數(shù)值需要判斷函數(shù)在給定點的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)極限的計算通常較為直接連續(xù)函數(shù)的極限通過逐步逼近無定義點或邊界點來求解極限需要合理選擇逼近路徑和方式逐步逼近法常用于判斷極限是否存在以及計算極限值逐步逼近法可導函數(shù)的極限可以通過導數(shù)來求解需要計算函數(shù)的偏導數(shù)可導函數(shù)極限法適用于求解函數(shù)在可導點的極限可導函數(shù)的極限對于無定義點的極限，需要考慮函數(shù)在接近該點時的行為常通過鄰域極限或路徑極限來分析無定義點極限的分析可能需要更復雜的證明技巧無定義點的極限多元函數(shù)極限的特殊形式極限存在的充分條件極限存在的必要條件極限存在性的反證法極限存在性的構造法如果函數(shù)滿足某些充分條件，則可以斷定極限存在例如，函數(shù)在某點連續(xù)是極限存在的一個充分條件掌握各個充分條件及其應用場景極限存在的必要條件是證明極限存在的第一步例如，有界性是極限存在的必要條件之一需要理解并運用這些必要條件來輔助證明通過假設極限不存在來導出矛盾，從而證明極限存在反證法需要邏輯嚴謹，避免引入額外假設反證法在處理復雜極限存在性問題時特別有效通過構造特定的函數(shù)或序列來證明極限存在構造法需要創(chuàng)造性地選擇合適的函數(shù)或序列構造法在證明極限存在性時具有構造性和直觀性極限的存在性證明03多元函數(shù)極限的應用曲線的極限位置

研究曲線在無限接近某點時的位置變化分析曲線在特定條件下的漸進趨勢探討曲線在多維空間中的極限行為

曲面的極限形狀探索曲面在無限逼近某點的形狀變化分析曲面在極限情況下的拓撲結構研究曲面在邊界條件下的極限形態(tài)

空間解析幾何中的極限利用極限求解空間幾何問題分析空間圖形的極限性質(zhì)空間解析幾何中的極限與連續(xù)性關系

極限與曲率的關系研究曲率在極限過程中的變化探討曲率與極限位置的關系分析曲率在幾何形態(tài)分析中的作用極限在幾何中的應用研究物體運動軌跡在極限狀態(tài)下的變化分析運動軌跡的極限位置和形狀探討運動軌跡極限與物理定律的關系運動軌跡的極限探索場的強度在極限條件下的分布規(guī)律分析場在邊界處的極限行為研究場的極限分布與物理現(xiàn)象的關系場的極限分布研究力的作用在極限狀態(tài)下的變化分析力的極限與物體運動狀態(tài)的關系探討力的極限在材料科學中的應用力的極限分析研究熱力學過程中極限條件下的狀態(tài)變化分析熱力學定律在極限過程中的適用性探討熱力學極限過程與實際應用的關系熱力學中的極限過程極限在物理中的應用經(jīng)濟模型的極限分析研究經(jīng)濟模型在極限狀態(tài)下的行為分析經(jīng)濟模型極限與經(jīng)濟現(xiàn)象的關系探討經(jīng)濟模型極限分析在決策中的應用優(yōu)化問題的極限條件研究優(yōu)化問題在極限條件下的解的性質(zhì)分析極限條件