成考（專升本）高數(shù)（二）數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)01數(shù)學(xué)期望的基本概念目錄CONTENTS

02方差與協(xié)方差03相關(guān)系數(shù)及其應(yīng)用01數(shù)學(xué)期望的基本概念期望是隨機(jī)變量取值的加權(quán)平均，權(quán)重為取值發(fā)生的概率。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，期望是所有可能取值乘以其概率的總和。對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，期望是取值函數(shù)乘以概率密度函數(shù)的積分。期望的線性性質(zhì)，即期望的和等于各個(gè)期望的和。期望的獨(dú)立性，即獨(dú)立隨機(jī)變量的期望的乘積等于各自期望的乘積。期望的不變性，即常數(shù)的期望等于常數(shù)本身。期望的數(shù)學(xué)表述期望的性質(zhì)與定理對(duì)于離散型隨機(jī)變量，通過(guò)概率分布列計(jì)算期望。對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，通過(guò)概率密度函數(shù)計(jì)算期望。對(duì)于復(fù)合隨機(jī)變量，可能需要使用積分變換等方法計(jì)算期望。在金融領(lǐng)域中，期望用于計(jì)算投資的預(yù)期回報(bào)。在保險(xiǎn)業(yè)中，期望用于估算風(fēng)險(xiǎn)和制定保費(fèi)。在統(tǒng)計(jì)決策中，期望幫助評(píng)估不同決策方案的平均效果。期望的計(jì)算方法期望在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用數(shù)學(xué)期望的定義條件期望滿足線性性質(zhì)。條件期望與邊緣概率分布相關(guān)。條件期望可以用來(lái)更新先驗(yàn)信息。02條件期望的性質(zhì)條件期望是在給定一個(gè)事件發(fā)生的條件下，另一個(gè)隨機(jī)變量的期望值。計(jì)算條件期望需要先確定條件概率分布。條件期望可以通過(guò)條件概率分布的加權(quán)平均來(lái)計(jì)算。01條件期望的定義與計(jì)算全期望公式表達(dá)了隨機(jī)變量的總期望可以通過(guò)其條件期望的期望來(lái)表示。全期望公式在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。全期望公式有助于解決復(fù)雜的隨機(jī)變量期望問(wèn)題。04條件期望與全期望公式在數(shù)據(jù)分析中，條件期望用于預(yù)測(cè)給定條件下的事件結(jié)果。在貝葉斯統(tǒng)計(jì)中，條件期望用于計(jì)算后驗(yàn)分布。在機(jī)器學(xué)習(xí)中，條件期望用于構(gòu)建分類和回歸模型。03條件期望的應(yīng)用實(shí)例條件期望矩的數(shù)學(xué)期望矩的期望是隨機(jī)變量的冪次期望，用于描述隨機(jī)變量的形狀。期望的一階矩是隨機(jī)變量本身，二階矩用于計(jì)算方差。高階矩可以提供隨機(jī)變量分布的更多特征。期望的迭代公式迭代公式用于遞推地計(jì)算隨機(jī)變量的期望。迭代公式在馬爾可夫鏈等模型中尤為重要。迭代公式可以簡(jiǎn)化復(fù)雜隨機(jī)過(guò)程的期望計(jì)算。期望的生成函數(shù)生成函數(shù)是將隨機(jī)變量的概率分布轉(zhuǎn)化為函數(shù)的工具。生成函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分可以用來(lái)計(jì)算隨機(jī)變量的矩。生成函數(shù)在解決復(fù)雜概率問(wèn)題時(shí)非常有用。期望的隨機(jī)變量變換隨機(jī)變量的變換可以改變其期望值。變換后的期望可以通過(guò)原期望和變換函數(shù)來(lái)計(jì)算。期望的變換在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中用于簡(jiǎn)化問(wèn)題。數(shù)學(xué)期望的拓展02方差與協(xié)方差方差是描述隨機(jī)變量取值波動(dòng)程度的統(tǒng)計(jì)量它是隨機(jī)變量偏離其期望值的平方的平均數(shù)方差越大，表示隨機(jī)變量的取值越分散方差的定義方差的計(jì)算公式為：(

\sigma^2

=

\frac{\sum

(X_i

-

\mu)^2}{n}

)其中

(

X_i

)

是隨機(jī)變量的觀測(cè)值，(

\mu

)

是期望值，(

n

)

是觀測(cè)值的數(shù)量方差的計(jì)算需要先求出每個(gè)觀測(cè)值與期望值的差的平方，再求平均方差的計(jì)算方法方差總是非負(fù)的方差最小的值為0，此時(shí)所有觀測(cè)值都等于期望值方差不受觀測(cè)值單位變換的影響方差的性質(zhì)無(wú)偏估計(jì)指的是估計(jì)量的期望值等于被估計(jì)參數(shù)的真實(shí)值方差的無(wú)偏估計(jì)公式為：(

s^2

=

\frac{\sum

(X_i

-

\bar{X})^2}{n-

1}

)其中

(

\bar{X}

)

是樣本均值，(

n-

1

)

是自由度方差的無(wú)偏估計(jì)方差的基本概念協(xié)方差的定義協(xié)方差用于度量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量線性相關(guān)程度它是兩個(gè)隨機(jī)變量離差乘積的平均數(shù)協(xié)方差可以正、負(fù)或?yàn)榱銋f(xié)方差的計(jì)算協(xié)方差的計(jì)算公式為：(

\text{Cov}(X,

Y)

=

\frac{\sum

(X_i

-

\mu_X)(Y_i

-

\mu_Y)}{n}

)其中

(

X_i

)

和

(

Y_i

)

分別是兩個(gè)隨機(jī)變量的觀測(cè)值，(

\mu_X

)

和

(

\mu_Y

)

是它們的期望值計(jì)算時(shí)需要先求出每個(gè)隨機(jī)變量的離差，再計(jì)算離差乘積的平均協(xié)方差的性質(zhì)協(xié)方差不為零表示兩個(gè)隨機(jī)變量存在線性關(guān)系協(xié)方差的符號(hào)反映了兩個(gè)隨機(jī)變量變化趨勢(shì)的一致性協(xié)方差的大小受觀測(cè)值單位的影響協(xié)方差在多元統(tǒng)計(jì)分析中的應(yīng)用協(xié)方差用于構(gòu)建協(xié)方差矩陣，反映多個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系在多元回歸分析中，協(xié)方差用于評(píng)估自變量之間的相關(guān)性協(xié)方差是主成分分析等降維技術(shù)的基礎(chǔ)協(xié)方差協(xié)方差矩陣是一個(gè)方陣，表示多個(gè)隨機(jī)變量之間的協(xié)方差主對(duì)角線元素是各個(gè)隨機(jī)變量的方差非對(duì)角線元素是隨機(jī)變量之間的協(xié)方差相關(guān)系數(shù)矩陣是協(xié)方差矩陣的標(biāo)準(zhǔn)化的結(jié)果它反映了隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度相關(guān)系數(shù)矩陣的元素值在-

1到1之間矩陣運(yùn)算簡(jiǎn)化了多個(gè)隨機(jī)變量方差和協(xié)方差的計(jì)算在多元方差分析中，通過(guò)矩陣運(yùn)算可以得到各個(gè)變量的變異情況矩陣運(yùn)算有助于檢驗(yàn)多個(gè)隨機(jī)變量之間的統(tǒng)計(jì)顯著性矩陣的特征值可以反映協(xié)方差矩陣的性質(zhì)特征值與協(xié)方差矩陣的特征向量一起，可以揭示隨機(jī)變量的主成分特征值的大小表明了各個(gè)主成分對(duì)總方差的貢獻(xiàn)度協(xié)方差矩陣相關(guān)系數(shù)矩陣矩陣運(yùn)算在方差分析中的應(yīng)用矩陣的特征值與方差的關(guān)系方差的矩陣表示03相關(guān)系數(shù)及其應(yīng)用相關(guān)系數(shù)是衡量?jī)蓚€(gè)變量線性相關(guān)程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)其值介于

-

1

和

1

之間反映了變量之間線性關(guān)系的方向和強(qiáng)度相關(guān)系數(shù)的定義相關(guān)系數(shù)的取值范圍是

[-

1,

1]1

表示完全正相關(guān)，-

1

表示完全負(fù)相關(guān)，0

表示無(wú)相關(guān)絕對(duì)值越接近

1，相關(guān)性越強(qiáng)相關(guān)系數(shù)的范圍相關(guān)系數(shù)計(jì)算基于協(xié)方差和標(biāo)準(zhǔn)差使用公式

r

=

cov(X,

Y)

/

(σ_X

*

σ_Y)其中

cov(X,

Y)

是協(xié)方差，σ_X

和

σ_Y

是各自的標(biāo)準(zhǔn)差相關(guān)系數(shù)的計(jì)算相關(guān)系數(shù)表明變量之間線性關(guān)系的緊密程度高相關(guān)系數(shù)意味著變量值的變化趨勢(shì)相似低相關(guān)系數(shù)意味著變量值的變化趨勢(shì)不相似相關(guān)系數(shù)的直觀意義相關(guān)系數(shù)的基本概念相關(guān)系數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)相關(guān)系數(shù)具有對(duì)稱性，即

r_XY

=

r_YX相關(guān)系數(shù)的平方等于決定系數(shù)

R2相關(guān)系數(shù)不隨變量單位的改變而改變相關(guān)系數(shù)與協(xié)方差的關(guān)系相關(guān)系數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)化后的協(xié)方差協(xié)方差受變量單位影響，相關(guān)系數(shù)不受影響相關(guān)系數(shù)解決了協(xié)方差無(wú)法比較不同變量間關(guān)系強(qiáng)度的問(wèn)題相關(guān)系數(shù)與方差的關(guān)系相關(guān)系數(shù)的計(jì)算涉及到方差方差越大，相關(guān)系數(shù)的解釋力度可能越小相關(guān)系數(shù)本身不受方差大小的影響相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義相關(guān)系數(shù)用于描述樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)性提供了變量間線性關(guān)系的量化度量但不能確定因果關(guān)系相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)與線性回歸相關(guān)系數(shù)可以用來(lái)評(píng)估線性回歸模型的擬合度高相關(guān)系數(shù)可能意味著好的線性回歸模型相關(guān)系數(shù)可以指示回歸系數(shù)的方向相關(guān)系數(shù)與獨(dú)立性檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)可以輔助判斷變量間是否獨(dú)立低相關(guān)系數(shù)可能表明變量獨(dú)立但需謹(jǐn)慎，相關(guān)系數(shù)為零不必然意味著變量獨(dú)立相關(guān)系數(shù)與多元統(tǒng)計(jì)分析在多元統(tǒng)計(jì)分