成考（專升本）高數(shù)（二）常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)01常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念CONTENTS目錄常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法02常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用030101常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念03040201級(jí)數(shù)的基本形式級(jí)數(shù)是由無(wú)窮個(gè)有理數(shù)或?qū)崝?shù)排成的序列之和常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是每一項(xiàng)都是常數(shù)的級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)通常表示為

(

a_1

+

a_2

+

a_3

+

\ldots

)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的表示方法用求和符號(hào)

(\sum_{n=1}^{\infty}

a_n)

表示其中

(a_n)

是級(jí)數(shù)的第

(n)

項(xiàng)(n)

是正整數(shù)，表示項(xiàng)的序號(hào)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散如果級(jí)數(shù)部分和的極限存在，則稱級(jí)數(shù)收斂如果級(jí)數(shù)部分和的極限不存在，則稱級(jí)數(shù)發(fā)散收斂的級(jí)數(shù)有有限的和，發(fā)散的級(jí)數(shù)和無(wú)限級(jí)數(shù)的性質(zhì)及分類級(jí)數(shù)按照收斂性可分為收斂級(jí)數(shù)和發(fā)散級(jí)數(shù)按項(xiàng)的性質(zhì)可分為正項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)等按照收斂速度可分為絕對(duì)收斂和條件收斂常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)可以乘以常數(shù)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)可以相加或相減級(jí)數(shù)的和可以分解為多個(gè)級(jí)數(shù)和的和級(jí)數(shù)的線性性質(zhì)對(duì)于收斂的級(jí)數(shù)，其項(xiàng)可以任意交換順序交換后的級(jí)數(shù)仍然收斂交換后的級(jí)數(shù)的和不變級(jí)數(shù)的交換性質(zhì)兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加相加后的級(jí)數(shù)仍然收斂和等于原級(jí)數(shù)和的和級(jí)數(shù)的加法性質(zhì)兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相乘相乘后的級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散特定的級(jí)數(shù)乘法規(guī)則可保證乘積級(jí)數(shù)的收斂級(jí)數(shù)的乘法性質(zhì)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)對(duì)于冪級(jí)數(shù)，有一個(gè)半徑

(R)，在

((-

R,

R))

內(nèi)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂(R)

可以通過(guò)公式計(jì)算得出(R)

決定了級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間級(jí)數(shù)的收斂半徑絕對(duì)收斂是指級(jí)數(shù)的絕對(duì)值級(jí)數(shù)收斂條件收斂是指級(jí)數(shù)本身收斂但絕對(duì)值級(jí)數(shù)發(fā)散絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)其項(xiàng)的順序可以改變級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂級(jí)數(shù)收斂的區(qū)間是

((-

R,

R))

或其子區(qū)間在收斂區(qū)間的端點(diǎn)，級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散端點(diǎn)的收斂性需要單獨(dú)判斷級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間收斂階是描述級(jí)數(shù)收斂速度快慢的量收斂階可以用來(lái)比較不同級(jí)數(shù)的收斂速度收斂階高的級(jí)數(shù)收斂速度快級(jí)數(shù)的收斂階級(jí)數(shù)的重要概念02常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法通過(guò)比較級(jí)數(shù)各項(xiàng)與已知收斂或發(fā)散級(jí)數(shù)的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的大小關(guān)系來(lái)判定級(jí)數(shù)的收斂性。若存在常數(shù)N，使得當(dāng)n

>

N時(shí)，有a_n

<=

b_n，且級(jí)數(shù)Σb_n收斂，則級(jí)數(shù)Σa_n也收斂。若存在常數(shù)N，使得當(dāng)n

>

N時(shí)，有a_n

>=

b_n，且級(jí)數(shù)Σb_n發(fā)散，則級(jí)數(shù)Σa_n也發(fā)散。正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的方法，通過(guò)計(jì)算極限lim(n-

>∞)(a_{n+1}/a_n)。如果該極限小于1，則級(jí)數(shù)收斂；如果大于1，則級(jí)數(shù)發(fā)散；如果等于1，則無(wú)法判定。該方法對(duì)于比值迅速減小的級(jí)數(shù)尤其有效。正項(xiàng)級(jí)數(shù)的根值判別法判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的方法，通過(guò)計(jì)算極限lim(n-

>∞)√n

*

a_n。如果該極限小于1，則級(jí)數(shù)收斂；如果大于1，則級(jí)數(shù)發(fā)散；如果等于1，則無(wú)法判定。該方法對(duì)于項(xiàng)的根值迅速減小的級(jí)數(shù)特別適用。交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法用于判定交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂性，要求級(jí)數(shù)的項(xiàng)逐項(xiàng)交替變號(hào)。如果級(jí)數(shù)的絕對(duì)值項(xiàng)單調(diào)遞減且趨于0，則該交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。該判別法是交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂性的充分條件?；九袆e法調(diào)和級(jí)數(shù)的收斂性調(diào)和級(jí)數(shù)是項(xiàng)為1/n的級(jí)數(shù)，它是發(fā)散的。該級(jí)數(shù)的部分和隨著項(xiàng)數(shù)的增加無(wú)限增大，不會(huì)趨于某個(gè)常數(shù)。調(diào)和級(jí)數(shù)是研究其他級(jí)數(shù)收斂性的重要比較基準(zhǔn)。冪級(jí)數(shù)的收斂性冪級(jí)數(shù)是形式為Σ(a_n

*

x^n)的級(jí)數(shù)，其收斂性依賴于x的取值。冪級(jí)數(shù)在其收斂半徑內(nèi)絕對(duì)收斂，收斂半徑由根值判別法或比值判別法確定。冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間可能包含端點(diǎn)，需單獨(dú)討論端點(diǎn)的收斂性。等比級(jí)數(shù)的收斂性等比級(jí)數(shù)的收斂性取決于公比q的絕對(duì)值是否小于1。如果|q|

<

1，級(jí)數(shù)收斂；如果|q|

≥

1，級(jí)數(shù)發(fā)散。等比級(jí)數(shù)的求和公式為S

=

a

/

(1

-

q)，其中a是首項(xiàng)。p-級(jí)數(shù)的收斂性p-

級(jí)數(shù)的形式為Σ(1/n^p)，其收斂性取決于p的值。當(dāng)p

>

1時(shí)，p-

級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)p

≤

1時(shí)，p-

級(jí)數(shù)發(fā)散。p-

級(jí)數(shù)在分析p的取值對(duì)級(jí)數(shù)收斂性影響時(shí)具有重要意義。特殊級(jí)數(shù)的收斂判別04級(jí)數(shù)方法可以用于求解線性微分方程的解析解。冪級(jí)數(shù)02級(jí)數(shù)可以用來(lái)逼近函數(shù)的值，尤其是泰勒級(jí)數(shù)和麥克勞林級(jí)數(shù)。函數(shù)的級(jí)數(shù)展開可以在某個(gè)區(qū)間內(nèi)提供函數(shù)的近似表達(dá)式。級(jí)數(shù)逼近的精度可以通過(guò)增加級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)來(lái)提高。級(jí)數(shù)在函數(shù)逼近中的應(yīng)用級(jí)數(shù)在解微分方程中的應(yīng)用03級(jí)數(shù)在數(shù)值計(jì)算中用于求解極限、定積分等。利用級(jí)數(shù)可以避免直接計(jì)算可能出現(xiàn)的數(shù)值不穩(wěn)定問(wèn)題。級(jí)數(shù)方法在數(shù)值分析中是一種重要的計(jì)算手段。01利用級(jí)數(shù)求和的方法可以計(jì)算某些函數(shù)的解析表達(dá)式。級(jí)數(shù)求和可以通過(guò)直接求和、間接求和（如利用已知的級(jí)數(shù)和公式）等方法進(jìn)行。對(duì)于某些特殊級(jí)數(shù)，可以借助復(fù)變函數(shù)等高級(jí)數(shù)學(xué)工具進(jìn)行求和。級(jí)數(shù)求和的方法級(jí)數(shù)在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用級(jí)數(shù)的應(yīng)用03常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用級(jí)數(shù)的內(nèi)積是指兩個(gè)級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘后求和的結(jié)果內(nèi)積可以將兩個(gè)序列的線性組合轉(zhuǎn)化為一個(gè)標(biāo)量值內(nèi)積定義要求級(jí)數(shù)收斂，否則內(nèi)積沒(méi)有意義級(jí)數(shù)的內(nèi)積定義級(jí)數(shù)的內(nèi)積滿足交換律和分配律級(jí)數(shù)的內(nèi)積與級(jí)數(shù)的收斂性相關(guān)級(jí)數(shù)的內(nèi)積可以用來(lái)判斷級(jí)數(shù)的正交性級(jí)數(shù)的內(nèi)積性質(zhì)在信號(hào)處理中，內(nèi)積用于計(jì)算信號(hào)的相關(guān)性在數(shù)值分析中，內(nèi)積用于評(píng)估算法的穩(wěn)定性在物理學(xué)中，內(nèi)積用于計(jì)算向量場(chǎng)的能量級(jí)數(shù)的內(nèi)積應(yīng)用實(shí)例通過(guò)逐項(xiàng)相乘后求和來(lái)計(jì)算內(nèi)積利用已知的級(jí)數(shù)和公式簡(jiǎn)化內(nèi)積計(jì)算對(duì)于某些特殊級(jí)數(shù)，可以使用Parseval恒等式進(jìn)行計(jì)算級(jí)數(shù)的內(nèi)積計(jì)算方法級(jí)數(shù)的內(nèi)積性質(zhì)03通過(guò)構(gòu)造乘積級(jí)數(shù)的通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算利用級(jí)數(shù)的收斂性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算對(duì)于特定級(jí)數(shù)，可以使用Cauchy乘積公式級(jí)數(shù)的乘積計(jì)算方法04在函數(shù)逼近中，乘積級(jí)數(shù)用于構(gòu)造逼近多項(xiàng)式在數(shù)值分析中，乘積級(jí)數(shù)用于求解線性方程組在概率論中，乘積級(jí)數(shù)用于計(jì)算隨機(jī)變量的聯(lián)合分布級(jí)數(shù)的乘積應(yīng)用實(shí)例01級(jí)數(shù)的乘積是指兩個(gè)級(jí)數(shù)的每一對(duì)對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘后所形成的級(jí)數(shù)乘積級(jí)數(shù)的收斂性取決于原級(jí)數(shù)的收斂性乘積級(jí)數(shù)的收斂域可能是原級(jí)數(shù)收斂域的交集級(jí)數(shù)的乘積定義02級(jí)數(shù)的乘積滿足交換律和結(jié)合律級(jí)數(shù)的乘積可能改變級(jí)數(shù)的收斂速度級(jí)數(shù)的乘積可以用于構(gòu)造新的級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的乘積性質(zhì)級(jí)數(shù)的乘積性質(zhì)級(jí)數(shù)的和差定義級(jí)數(shù)的和是指將級(jí)數(shù)的各項(xiàng)相加的結(jié)果級(jí)數(shù)的差是指將級(jí)數(shù)的各項(xiàng)進(jìn)行相減的結(jié)果和差級(jí)數(shù)的收斂性取決于原級(jí)數(shù)的收斂性級(jí)數(shù)的和差性質(zhì)級(jí)數(shù)的和差滿足交換律和結(jié)合律級(jí)數(shù)的和差可以改變級(jí)數(shù)的收斂速度級(jí)數(shù)的和差可以用來(lái)分析級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間級(jí)數(shù)的和差應(yīng)用實(shí)例在求解微分方程中，和差級(jí)數(shù)用于構(gòu)造解的級(jí)數(shù)形式在數(shù)值計(jì)算中，和差級(jí)數(shù)用于近似計(jì)算函數(shù)值在物理學(xué)中，和差級(jí)數(shù)用于分析波動(dòng)現(xiàn)象級(jí)數(shù)的和差計(jì)算方法直接將級(jí)數(shù)的各項(xiàng)相加或相減利用級(jí)數(shù)的收斂性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)化對(duì)于特定級(jí)數(shù)，可以使用級(jí)數(shù)重組技巧級(jí)數(shù)的和差性質(zhì)泰勒級(jí)數(shù)和麥克勞林級(jí)數(shù)用于將函數(shù)展開為級(jí)數(shù)形式函數(shù)展開級(jí)數(shù)用于求解函數(shù)的近似值函數(shù)展開級(jí)數(shù)在數(shù)值分析中用于誤差估計(jì)級(jí)數(shù)在函數(shù)展開中的應(yīng)用利用級(jí)數(shù)展開求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分級(jí)數(shù)展開在