成考（專(zhuān)升本）高數(shù)（一）極限的概念與計(jì)算目錄Contents01極限的基本概念02極限的計(jì)算方法03極限的應(yīng)用01極限的基本概念數(shù)列極限是指當(dāng)項(xiàng)數(shù)無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)無(wú)限接近某個(gè)確定的數(shù)。數(shù)列收斂到這個(gè)確定的數(shù)，我們稱(chēng)這個(gè)數(shù)為數(shù)列的極限。數(shù)列發(fā)散時(shí)，不存在極限。01數(shù)列極限的定義函數(shù)極限是指當(dāng)自變量趨向某個(gè)值時(shí)，函數(shù)值無(wú)限接近某個(gè)確定的數(shù)。函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，則該點(diǎn)的極限值等于函數(shù)值。函數(shù)在某點(diǎn)極限存在，但不一定等于函數(shù)在該點(diǎn)的值。02函數(shù)極限的定義無(wú)窮小是指絕對(duì)值可以任意小的量。無(wú)窮大是指絕對(duì)值可以任意大的量。無(wú)窮小和無(wú)窮大是相對(duì)的，需要與另一個(gè)量進(jìn)行比較。03無(wú)窮小與無(wú)窮大的概念極限具有唯一性，一個(gè)數(shù)列或函數(shù)的極限最多只有一個(gè)。極限具有保號(hào)性，若極限為正，則函數(shù)最終總為正；若極限為負(fù)，則函數(shù)最終總為負(fù)。極限具有局部保序性，即在不考慮極少數(shù)點(diǎn)的情況下，極限保持函數(shù)的增減性。04極限的性質(zhì)極限的定義

極限存在的準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則：若兩個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)極限相同，且第三個(gè)函數(shù)被這兩個(gè)函數(shù)夾逼，則第三個(gè)函數(shù)在該點(diǎn)的極限也存在且相同。單調(diào)有界定理：?jiǎn)握{(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限；單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限。無(wú)窮小比較的方法比較無(wú)窮小的比值的極限，若比值趨于0，則稱(chēng)無(wú)窮小是高階的。比較無(wú)窮小的差值的極限，若差值趨于0，則稱(chēng)無(wú)窮小是同階的。利用洛必達(dá)法則或泰勒展開(kāi)等方法進(jìn)行無(wú)窮小比較。極限存在的條件極限存在要求函數(shù)在該點(diǎn)的左右極限相等。對(duì)于數(shù)列，要求它的任一子數(shù)列的極限都相同。函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是極限存在的充分條件。極限不存在的情況函數(shù)在某點(diǎn)振幅越來(lái)越大，導(dǎo)致極限不存在。函數(shù)在某點(diǎn)的左右極限不相等。數(shù)列的子數(shù)列極限值不唯一。極限的存在性

若兩個(gè)函數(shù)的極限存在，則它們的和、差、積、商（除數(shù)不為0）的極限也存在。極限的乘方、開(kāi)方運(yùn)算，需在原函數(shù)極限存在的前提下進(jìn)行。極限的乘法法則可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的乘積。復(fù)合函數(shù)的極限若內(nèi)函數(shù)的極限存在，外函數(shù)在該極限值處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)的極限等于外函數(shù)在內(nèi)函數(shù)極限值處的函數(shù)值。若內(nèi)函數(shù)的極限不存在，復(fù)合函數(shù)的極限可能存在也可能不存在，需具體分析。無(wú)窮小量與常數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為0）仍是無(wú)窮小量。兩個(gè)無(wú)窮小量的和、差、積仍是無(wú)窮小量，但商可能不是無(wú)窮小量。無(wú)窮小量的運(yùn)算法則在極限計(jì)算中，可以將無(wú)窮小量替換為其等價(jià)無(wú)窮小，簡(jiǎn)化計(jì)算。替換時(shí)要注意等價(jià)無(wú)窮小的選取，以及替換的條件。等價(jià)無(wú)窮小的替換是一種有效的極限計(jì)算技巧。無(wú)窮小替換的方法極限的四則運(yùn)算法則極限的運(yùn)算法則

02極限的計(jì)算方法直接代入法直接將變量代入極限表達(dá)式中計(jì)算結(jié)果適用于表達(dá)式在定義域內(nèi)直接有效的情況需要注意函數(shù)的連續(xù)性無(wú)窮小替換法用無(wú)窮小量替換極限表達(dá)式中的無(wú)窮小因子常用于簡(jiǎn)化表達(dá)式中的復(fù)雜項(xiàng)需要掌握無(wú)窮小的基本性質(zhì)極限的性質(zhì)應(yīng)用利用極限的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算包括極限的保號(hào)性、唯一性等常用于證明極限的等價(jià)變形極限的四則運(yùn)算應(yīng)用極限的四則運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算包括加、減、乘、除等運(yùn)算規(guī)則需要注意分母不為零的條件直接計(jì)算

夾逼定理通過(guò)夾逼定理確定極限的值適用于未知極限被兩個(gè)已知極限夾逼的情況需要找到合適的上下界函數(shù)洛必達(dá)法則使用洛必達(dá)法則求解不定型極限適用于0/0型或∞/∞型不定式需要掌握導(dǎo)數(shù)的基本計(jì)算極限存在的準(zhǔn)則應(yīng)用利用極限存在的準(zhǔn)則進(jìn)行判斷包括必要條件和充分條件常用于證明極限存在性010203無(wú)窮小的比較對(duì)比不同無(wú)窮小的階數(shù)判斷無(wú)窮小的相對(duì)大小常用于分析函數(shù)的漸近行為04間接計(jì)算

無(wú)窮大的極限計(jì)算當(dāng)變量趨向無(wú)窮大時(shí)的極限需要理解無(wú)窮大的概念和性質(zhì)常涉及無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系無(wú)窮小的極限計(jì)算當(dāng)變量趨向無(wú)窮小時(shí)的極限需要理解無(wú)窮小的概念和性質(zhì)包括無(wú)窮小量的運(yùn)算規(guī)則間斷點(diǎn)的極限計(jì)算函數(shù)在間斷點(diǎn)處的極限需要判斷間斷點(diǎn)的類(lèi)型包括可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)等高階無(wú)窮小的極限計(jì)算高階無(wú)窮小的極限需要理解高階無(wú)窮小的定義常用于分析函數(shù)的高階漸近展開(kāi)特殊極限的計(jì)算

03極限的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)是極限的運(yùn)算結(jié)果，表示函數(shù)在某一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率導(dǎo)數(shù)的定義基于極限的概念，通過(guò)極限來(lái)求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的存在性可以通過(guò)極限的判定定理來(lái)確定定積分可以通過(guò)極限定義，是函數(shù)在區(qū)間上的累加和的極限積分和極限結(jié)合可以解決函數(shù)的面積和體積問(wèn)題積分的第一和第二基本定理都與極限的計(jì)算緊密相關(guān)極限與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系極限與積分的關(guān)系級(jí)數(shù)的收斂性可以通過(guò)極限來(lái)判斷，級(jí)數(shù)是數(shù)列極限的一種表現(xiàn)形式級(jí)數(shù)求和可以看作是特定函數(shù)極限的一種應(yīng)用級(jí)數(shù)的收斂域和發(fā)散域分析依賴(lài)于極限的計(jì)算方程的解可以看作是使函數(shù)極限存在的特定值極限可以幫助分析方程解的存在性和唯一性極限方法可以用來(lái)求解某些非線(xiàn)性方程極限與級(jí)數(shù)的關(guān)系極限與方程的關(guān)系極限在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用

01物理中的連續(xù)變化過(guò)程可以用極限來(lái)描述，如速度和加速度物理定律的建立往往基于極限過(guò)程，如牛頓和萊布尼茨的工作極限方法可以幫助解決物理中的臨界現(xiàn)象和穩(wěn)定性問(wèn)題極限在物理中的應(yīng)用02工程設(shè)計(jì)中的優(yōu)化問(wèn)題可以通過(guò)極限方法來(lái)求解最值極限可以幫助分析系統(tǒng)在極端條件下的行為工程中的模型建立往往涉及到極限的概念，如微分方程和積分方程極限在工程中的應(yīng)用03經(jīng)濟(jì)模型中的邊際分析可以用極限來(lái)表示極限方法可以用于分析市場(chǎng)的均衡狀態(tài)和變動(dòng)趨勢(shì)經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中的趨勢(shì)分析往