2025年線性代數(shù)創(chuàng)新題嘗鮮版試題一、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共10題）設(shè)矩陣(A)為3階方陣，且行列式(|A|=2)，則行列式(|2A^TA^{-1}|)的值為（）A.2B.4C.8D.16某醫(yī)療影像的局部區(qū)域可用矩陣(A=\begin{pmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{pmatrix})表示，對(duì)其進(jìn)行正交變換后得到矩陣(B)，則下列結(jié)論正確的是（）A.(A)與(B)有相同的特征值B.(A)與(B)的行列式互為倒數(shù)C.(A)與(B)的秩不同D.(A)與(B)的行向量組等價(jià)向量組(\alpha_1=(1,2,3)^T)，(\alpha_2=(2,4,t)^T)，(\alpha_3=(3,6,9)^T)線性相關(guān)的充要條件是（）A.(t=6)B.(t\neq6)C.(t=0)D.(t\neq0)齊次線性方程組(\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3=0\2x_1+5x_2+4x_3=0\3x_1+6x_2+9x_3=0\end{cases})的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}1&a&1\a&1&b\1&b&1\end{pmatrix})正定，則實(shí)數(shù)(a,b)應(yīng)滿足（）A.(a^2+b^2<1)B.(a=b=0)C.(|a|<1)且(|b|<1)D.(a^2<1)且(b^2<1)已知矩陣(A)滿足(A^2-5A+6E=0)，則(A)的特征值可能是（）A.2和3B.1和5C.0和6D.-2和-3在基因表達(dá)數(shù)據(jù)分析中，某樣本的特征向量為(\alpha=(1,3,5)^T)，(\beta=(2,4,6)^T)，則兩樣本的余弦相似度為（）A.(\frac{46}{\sqrt{35}\sqrt{56}})B.(\frac{46}{\sqrt{35}\sqrt{56}})C.(\frac{40}{\sqrt{35}\sqrt{56}})D.(\frac{38}{\sqrt{35}\sqrt{56}})設(shè)(A)是4階方陣，其秩(r(A)=2)，則伴隨矩陣(A^*)的秩為（）A.0B.1C.2D.4下列矩陣中，既是正交矩陣又是對(duì)稱(chēng)矩陣的是（）A.(\begin{pmatrix}0&1\1&0\end{pmatrix})B.(\begin{pmatrix}1&0\0&-1\end{pmatrix})C.(\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix})D.(\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix})某CT圖像的平移變換可用矩陣(A=\begin{pmatrix}1&0&2\0&1&3\0&0&1\end{pmatrix})表示，其逆變換矩陣為（）A.(\begin{pmatrix}1&0&-2\0&1&-3\0&0&1\end{pmatrix})B.(\begin{pmatrix}1&0&2\0&1&3\0&0&1\end{pmatrix})C.(\begin{pmatrix}-1&0&2\0&-1&3\0&0&-1\end{pmatrix})D.(\begin{pmatrix}1&0&-2\0&1&3\0&0&1\end{pmatrix})二、填空題（每題4分，共5題）行列式(\begin{vmatrix}1&2&3&4\2&3&4&1\3&4&1&2\4&1&2&3\end{vmatrix})的值為_(kāi)_______。已知向量組(\alpha_1=(1,1,1)^T)，(\alpha_2=(1,2,3)^T)，(\alpha_3=(1,3,t)^T)的秩為2，則(t=)________。矩陣(A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix})的特征值之和為_(kāi)_______，特征值之積為_(kāi)_______。二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3)的矩陣為_(kāi)_______。在機(jī)器學(xué)習(xí)中，某模型的損失函數(shù)為(L(w)=||Xw-y||^2)，其中(X)為(m\timesn)矩陣，(y)為(m)維向量，則損失函數(shù)取最小值時(shí)(w)滿足的方程為_(kāi)_______。三、解答題（共60分）（12分）設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}1&-1&1\2&4&-2\-3&-3&5\end{pmatrix})，求：（1）矩陣(A)的特征值與特征向量；（2）可逆矩陣(P)使得(P^{-1}AP)為對(duì)角矩陣。（12分）已知線性方程組[\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=1\x_1+2x_2+3x_3+4x_4=2\x_1+3x_2+5x_3+7x_4=3\x_1+4x_2+7x_3+10x_4=k\end{cases}]（1）當(dāng)(k)為何值時(shí)，方程組有解？（2）當(dāng)方程組有解時(shí)，求其通解（用向量形式表示）。（12分）在圖像處理中，某像素點(diǎn)的坐標(biāo)變換可表示為：[\begin{cases}x'=2x+y+1\y'=x+2y+2\end{cases}]（1）將該變換表示為矩陣形式(\begin{pmatrix}x'\y'\1\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\y\1\end{pmatrix})，求矩陣(A)；（2）求該變換的逆變換，即由((x',y'))表示((x,y))的表達(dá)式。（12分）設(shè)向量組(\alpha_1=(1,2,1,3)^T)，(\alpha_2=(2,1,3,4)^T)，(\alpha_3=(3,-1,2,1)^T)，(\alpha_4=(4,3,5,8)^T)。（1）求該向量組的秩；（2）求一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示。（12分）某生物實(shí)驗(yàn)室在研究藥物擴(kuò)散模型時(shí)，得到二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3+6x_2x_3)。（1）寫(xiě)出二次型的矩陣(A)；（2）求正交變換(x=Qy)將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形；（3）判斷該二次型是否正定，并說(shuō)明理由。四、創(chuàng)新應(yīng)用題（20分）某醫(yī)院放射科使用CT影像的三維重建技術(shù)，其中一個(gè)關(guān)鍵步驟是將三維體素?cái)?shù)據(jù)通過(guò)矩陣分解進(jìn)行降維處理。已知體素?cái)?shù)據(jù)矩陣(M)為(500\times1000)的實(shí)矩陣，其奇異值分解為(M=U\SigmaV^T)，其中(U)為(500\times500)正交矩陣，(V)為(1000\times1000)正交矩陣，(\Sigma)為(500\times1000)對(duì)角矩陣，奇異值(\sigma_1\geq\sigma_2\geq\cdots\geq\sigma_{500}\geq0)。（1）若前50個(gè)奇異值的平方和占總奇異值平方和的95%，解釋此時(shí)如何用低秩矩陣(M_k)近似表示(M)，并說(shuō)明(k)的取值及近似誤差的數(shù)學(xué)表達(dá)式；（2）設(shè)(M)的秩為100，證明(M)可以表示為100個(gè)秩1矩陣的和；（3）在圖像重建中，若需保留原始數(shù)據(jù)90%的能量（即奇異值平方和的90%），已知(\sigma_1=100)，(\sigma_2=90)，(\sigma_3=80)，(\sigma_4=70)，(\sigma_5=60)，(\sigma_6=50)，后續(xù)奇異值按等差數(shù)列遞減至(\sigma_{500}=0)，計(jì)算至少