2025年線性代數多智能體系統(tǒng)中的協(xié)同控制試題一、填空題（每題3分，共30分）設多智能體系統(tǒng)通信拓撲對應的無向圖鄰接矩陣為(A=\begin{bmatrix}0&1&0\1&0&1\0&1&0\end{bmatrix})，則其拉普拉斯矩陣(L)的秩為2，系統(tǒng)實現(xiàn)一致性控制的必要條件是圖的連通性。對于一階積分器多智能體系統(tǒng)(\dot{x}i=u_i)，分布式一致性協(xié)議(u_i=\sum{j\inN_i}k(x_j-x_i))中，反饋增益(k)的取值需滿足(k>0)，此時閉環(huán)系統(tǒng)的特征值均位于復平面的左半平面。若某多智能體系統(tǒng)的通信拓撲為有向生成樹，且存在唯一根節(jié)點，則其拉普拉斯矩陣的零特征值代數重數為1，幾何重數為1?？紤]含有5個智能體的系統(tǒng)，其拉普拉斯矩陣特征值為(0,1.2,2.5,3.0,4.8)，則系統(tǒng)一致性收斂速率由特征值1.2決定，該值越小，收斂速度越慢。設智能體的狀態(tài)向量為(\boldsymbol{x}i=[x_i,y_i]^T)，要實現(xiàn)編隊控制目標(\boldsymbol{x}i-\boldsymbol{x}j=\boldsymbol1166111{ij})（(\boldsymbol1116116{ij})為期望距離向量），可通過構造**誤差向量(\boldsymbol{e}{ij}=(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{x}j)-\boldsymbol6111666{ij})**設計控制協(xié)議。當多智能體系統(tǒng)存在通信時滯(\tau)時，可采用頻域分析法或Lyapunov-Krasovskii泛函證明系統(tǒng)穩(wěn)定性，此時最大允許時滯(\tau_{\text{max}})與系統(tǒng)最小非零特征值負相關。若某智能體的控制協(xié)議為(u_i=-k\sum_{j\inN_i}(x_i-x_j)+u_0)，其中(u_0)為常數輸入，則系統(tǒng)最終收斂到的一致性狀態(tài)為(x_i=\frac{u_0}{k\cdot\text{deg}(i)})（與入度相關）。對于異構多智能體系統(tǒng)（部分智能體為領導者），領航-跟隨控制中跟隨者的協(xié)議需包含領導者狀態(tài)反饋項和鄰居狀態(tài)誤差項，以實現(xiàn)對領導者軌跡的跟蹤。設矩陣(A)為多智能體系統(tǒng)的閉環(huán)控制矩陣，若(A)的所有特征值實部均小于0，則系統(tǒng)漸進穩(wěn)定；若存在特征值實部為0且對應Jordan塊為1階，則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。在分布式優(yōu)化問題中，智能體通過局部交互求解(\min\sum_{i=1}^nf_i(x_i))，其梯度下降協(xié)議可表示為(\dot{x}i=-\nablaf_i(x_i)-\sum{j\inN_i}(x_i-x_j))，其中第二項的作用是實現(xiàn)變量一致性。二、選擇題（每題3分，共15分）下列哪種通信拓撲結構一定能保證多智能體系統(tǒng)實現(xiàn)一致性？（B）A.有向環(huán)圖（每個節(jié)點僅指向一個鄰居）B.無向連通圖C.有向非連通圖（含兩個獨立子圖）D.星型有向圖（中心節(jié)點僅接收不發(fā)送信息）對于二階多智能體系統(tǒng)(\ddot{q}_i+\dot{q}_i=u_i)，若要實現(xiàn)位置和速度同步，控制協(xié)議(u_i)至少需包含的狀態(tài)信息是（D）A.僅鄰居位置(q_j)B.僅自身速度(\dot{q}_i)C.鄰居位置(q_j)和自身速度(\dot{q}_i)D.鄰居位置(q_j)、鄰居速度(\dot{q}_j)、自身位置(q_i)和自身速度(\dot{q}_i)拉普拉斯矩陣(L)的零特征值對應的特征向量為（A）A.全1向量(\mathbf{1}=[1,1,\dots,1]^T)B.隨機向量C.零向量D.單位向量下列哪種方法不能用于分析多智能體系統(tǒng)的魯棒性？（C）A.H∞控制理論B.小增益定理C.最小二乘法D.蒙特卡洛仿真在分布式協(xié)同控制中，“一致性”的本質是指（A）A.所有智能體狀態(tài)收斂到同一值B.智能體保持固定隊形C.系統(tǒng)總能量最小D.通信拓撲保持連通三、計算題（共40分）1.一階多智能體系統(tǒng)一致性控制（15分）問題：考慮3個智能體組成的無向連通系統(tǒng)，通信拓撲為三角形（每個智能體與其他兩個相連），鄰接矩陣(A=\begin{bmatrix}0&1&1\1&0&1\1&1&0\end{bmatrix})，智能體動態(tài)模型為(\dot{x}_i=u_i)，初始狀態(tài)(x(0)=[1,3,5]^T)。（1）求系統(tǒng)拉普拉斯矩陣(L)及特征值；（2）設計分布式一致性協(xié)議(u_i)，并證明系統(tǒng)能實現(xiàn)一致性；（3）計算系統(tǒng)收斂后的一致性狀態(tài)(x^*)。解析：（1）拉普拉斯矩陣(L=D-A)，其中度矩陣(D=\text{diag}(2,2,2))，故[L=\begin{bmatrix}2&-1&-1\-1&2&-1\-1&-1&2\end{bmatrix}]特征多項式(\det(\lambdaI-L)=\lambda(\lambda-3)^2)，特征值為(\lambda_1=0,\lambda_2=\lambda_3=3)。（2）設計協(xié)議(u_i=-\sum_{j\inN_i}(x_i-x_j)=\sum_{j\inN_i}(x_j-x_i))，閉環(huán)系統(tǒng)為(\dot{\boldsymbol{x}}=-L\boldsymbol{x})。由于(L)對稱半正定且零特征值幾何重數為1（圖連通），系統(tǒng)漸進收斂到一致性狀態(tài)。（3）一致性狀態(tài)(x^*=\frac{1^T\boldsymbol{x}(0)}{n}=\frac{1+3+5}{3}=3)。2.二階多智能體系統(tǒng)編隊控制（25分）問題：4個智能體（編號1-4）需實現(xiàn)正方形編隊，期望相對位置為：智能體2在智能體1右側2m：(x_2-x_1=2)，(y_2-y_1=0)智能體3在智能體1下方2m：(x_3-x_1=0)，(y_3-y_1=-2)智能體4在智能體2下方2m：(x_4-x_2=0)，(y_4-y_2=-2)通信拓撲為無向圖，鄰接關系(N_1={2,3},N_2={1,4},N_3={1,4},N_4={2,3})，智能體動態(tài)模型為(\ddot{\boldsymbol{p}}_i=\boldsymbol{u}_i)（(\boldsymbol{p}_i=[x_i,y_i]^T)為位置向量）。（1）寫出各智能體的期望位置誤差向量(\boldsymbol{e}_i)；（2）設計基于位置和速度反饋的編隊控制協(xié)議(\boldsymbol{u}_i)；（3）若智能體1為領導者且以速度(\boldsymbol{v}_0=[1,0]^T)勻速運動，修改控制協(xié)議使整個編隊跟隨領導者軌跡。解析：（1）誤差向量定義為(\boldsymbol{e}i=\sum{j\inN_i}[(\boldsymbol{p}i-\boldsymbol{p}j)-\boldsymbol6666111{ij}])，其中(\boldsymbol1166616{ij})為期望相對位置：(\boldsymbol1166611{12}=[-2,0]^T,\boldsymbol6116611{13}=[0,2]^T)(\boldsymbol6116616{21}=[2,0]^T,\boldsymbol1116111{24}=[0,2]^T)(\boldsymbol6116161{31}=[0,-2]^T,\boldsymbol1166661{34}=[0,2]^T)(\boldsymbol1616111{42}=[0,-2]^T,\boldsymbol1111116{43}=[0,-2]^T)（2）采用PD控制協(xié)議：[\boldsymbol{u}_i=-k_p\boldsymbol{e}_i-k_d\dot{\boldsymbol{e}}_i]其中(k_p>0,k_d>0)為控制增益，(\dot{\boldsymbol{e}}i=\sum{j\inN_i}(\dot{\boldsymbol{p}}_i-\dot{\boldsymbol{p}}_j))。（3）領導者1的控制協(xié)議加入速度前饋：(\boldsymbol{u}_1=\boldsymbol{v}_0-k_p\boldsymbol{e}_1-k_d\dot{\boldsymbol{e}}_1)；跟隨者協(xié)議不變，通過與領導者的誤差反饋實現(xiàn)軌跡跟蹤。四、證明題（15分）問題：考慮無向連通多智能體系統(tǒng)(\dot{\boldsymbol{x}}i=-\sum{j\inN_i}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{x}_j))，其中(\boldsymbol{x}_i\in\mathbb{R}^m)，證明系統(tǒng)狀態(tài)(\boldsymbol{x}i)漸進收斂到一致性狀態(tài)(\boldsymbol{x}^*=\frac{1}{n}\sum{i=1}^n\boldsymbol{x}_i(0))。證明：定義Lyapunov函數(V=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\boldsymbol{x}i^T\boldsymbol{x}i-\frac{1}{2n}\left(\sum{i=1}^n\boldsymbol{x}i\right)^T\left(\sum{i=1}^n\boldsymbol{x}i\right))，化簡得(V=\frac{1}{2n}\sum{i=1}^n\sum{j=1}^n(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{x}_j)^T(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{x}_j)\geq0)，當且僅當(\boldsymbol{x}_i=\boldsymbol{x}_j)時(V=0)。對(V)求導：[\dot{V}=\sum_{i=1}^n\boldsymbol{x}i^T\dot{\boldsymbol{x}}i-\frac{1}{n}\left(\sum{i=1}^n\boldsymbol{x}i\right)^T\sum{i=1}^n\dot{\boldsymbol{x}}i]由于(\sum{i=1}^n\dot{\boldsymbol{x}}i=-\sum{i=1}^n\sum{j\inN_i}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{x}_j)=0)（雙重求和中每項((\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{x}_j))與((\boldsymbol{x}_j-\boldsymbol{x}i))抵消），故(\dot{V}=\sum{i=1}^n\boldsymbol{x}i^T\left(-\sum{j\inN_i}(\boldsymbol{x}i-\boldsymbol{x}j)\right)=-\frac{1}{2}\sum{i=1}^n\sum{j\inN_i}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{x}_j)^T(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{x}_j)\leq0)，當且僅當(\boldsymbol{x}_i=\boldsymbol{x}_j)時(\dot{V}=0)。由LaSalle不變集原理，系統(tǒng)軌跡收斂到(\dot{V}=0)的最大不變集，即(\boldsymbol{x}i=\boldsymbol{x}^*)（常數向量），代入原方程得(\boldsymbol{x}^*=\frac{1}{n}\sum{i=1}^n\boldsymbol{x}_i(0))，證畢。五、綜合應用題（20分）問題：某無人機集群由5架無人機組成，通信拓撲為有向星型圖（中心節(jié)點1為領導者，其余為跟隨者，僅領導者可向跟隨者發(fā)送信息），領導者軌跡為(\boldsymbol{p}_0(t)=[t,\sint]^T)，跟隨者動態(tài)模型為(\ddot{\boldsymbol{p}}_i+0.5\dot{\boldsymbol{p}}_i=\boldsymbol{u}_i)（(i=2,3,4,5)）。（1）判斷該拓撲是否能實現(xiàn)跟隨者對領導者的軌跡跟蹤，并說明理由；（2）設計跟隨者的分布式跟蹤控制協(xié)議，要求包含位置誤差和速度誤差反饋；（3）若中心節(jié)點1突發(fā)故障，需重新選擇領導者，應優(yōu)先選擇哪個節(jié)點（假設各節(jié)點通信半徑相同）？并從圖論角度解釋原因。解析：（1）不能。有向星型圖中跟隨者之間無通信鏈路，跟隨者無法獲取鄰居狀態(tài)，僅能接收領導者信息，導致系統(tǒng)不滿足“入度平衡”條件，跟隨者之間存在累積誤差。（2）改進拓撲為有向生成樹（領導者1與所有跟隨者相連，跟隨者之間增加局部通信），設計協(xié)議：[\boldsymbol{u}_i=\ddot{\boldsymbol{p}}_0(t)-k_p(\boldsymbol{p}